肖 紅

(西南大學(xué) 教師教育學(xué)院，重慶 400715)

近幾十年來，有關(guān)“數(shù)學(xué)文化”的研究一直是我國數(shù)學(xué)教育界關(guān)注的熱點話題之一。2003年的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(實驗)用較大篇幅提及“數(shù)學(xué)文化”，表明“數(shù)學(xué)文化”一詞已在國家層面的文件中正式使用；2017年，新版《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》繼續(xù)強(qiáng)調(diào)把“數(shù)學(xué)文化融入課程內(nèi)容”[1]1，并為進(jìn)一步推動數(shù)學(xué)文化的教學(xué)實踐指明了方向。然而，由于存在對“數(shù)學(xué)文化”涵義過于寬泛化的解讀和數(shù)學(xué)文化觀的教育學(xué)立場不突出等問題，使得教師不能很好地把握如何在教學(xué)中滲透“數(shù)學(xué)文化”，從而影響了數(shù)學(xué)文化育人目標(biāo)的實現(xiàn)。目前，“素養(yǎng)培育為本”的基礎(chǔ)教育課程改革面臨知識觀的轉(zhuǎn)型問題，在此背景下，應(yīng)當(dāng)確定什么樣的“數(shù)學(xué)文化”觀以及如何解讀它的內(nèi)涵，是當(dāng)前數(shù)學(xué)教育界亟須回答的問題。本文愿為此做一些探討，以期為深化“數(shù)學(xué)文化”涵義的解讀，以及在以素養(yǎng)為導(dǎo)向的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中如何更好地滲透“數(shù)學(xué)文化”提供啟示。

一、關(guān)于“數(shù)學(xué)文化”的已有解析

“數(shù)學(xué)文化”一詞的提出雖然已有很長一段時間，但是關(guān)于什么是“數(shù)學(xué)文化”，目前學(xué)界并沒有一個相對統(tǒng)一的觀點。不同的研究者基于不同的研究背景、立場和目的，提出了不同的有關(guān)“數(shù)學(xué)文化”的說法，歸納起來有如下三種代表性定義：

(1)“數(shù)學(xué)與文化”說。針對一般人認(rèn)為數(shù)學(xué)僅僅是對科學(xué)家、工程師等有用的一系列實用工具和計算技巧，一些數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史家從人類文化的角度出發(fā)，把數(shù)學(xué)作為人類文化子系統(tǒng)的一部分，研究數(shù)學(xué)與其他文化、與整個文明的關(guān)系，指出“數(shù)學(xué)一直是形成現(xiàn)代文化的主要力量，同時又是這種文化極其重要的因素”[2]2，而且強(qiáng)調(diào)“一個沒有現(xiàn)代數(shù)學(xué)的文化是注定要衰落的”[3]。從這一意義上而言，當(dāng)把數(shù)學(xué)作為一種文化廣泛影響人們的生活和思想乃至社會發(fā)展、文明興衰的力量時，所謂“數(shù)學(xué)文化”，就是把數(shù)學(xué)與其他文化聯(lián)系起來的一種數(shù)學(xué)觀念和認(rèn)識。

(2)“文化的數(shù)學(xué)”說。有一種十分常見的看法，認(rèn)為數(shù)學(xué)是人們得到的各種數(shù)學(xué)知識(包括數(shù)學(xué)概念、公式、命題等知識結(jié)論)的靜態(tài)集合體。針對這種看法，一些研究者基于數(shù)學(xué)是一項動態(tài)的人類文化活動的觀點，把數(shù)學(xué)本身作為一個文化體系[4]，研究數(shù)學(xué)的發(fā)生、發(fā)展及其規(guī)律，提出數(shù)學(xué)是一個按自身規(guī)律不斷發(fā)展的“超有機(jī)體”或多元復(fù)合體，既包括數(shù)學(xué)的知識成分，也包括數(shù)學(xué)的觀念成分。概括地說，當(dāng)人們從一種文化活動的觀念看數(shù)學(xué)時，“數(shù)學(xué)文化”就是數(shù)學(xué)共同體所特有的行為、觀念和態(tài)度等[5]。

(3)“數(shù)學(xué)的文化價值”說。在學(xué)校的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，大多數(shù)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)就是為了會做題、能應(yīng)付考試，對數(shù)學(xué)的思想、精神了解得比較膚淺。針對這種現(xiàn)象，一些研究者認(rèn)為，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)超越對數(shù)學(xué)知識與技能的掌握，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的思想、精神、方法、觀點等，學(xué)會“數(shù)學(xué)方式的理性思維”，因為這些是形成數(shù)學(xué)素養(yǎng)的關(guān)鍵因素，對學(xué)生的終身發(fā)展具有不可替代的作用。因此，從發(fā)揮數(shù)學(xué)的育人價值這一角度而言，“數(shù)學(xué)文化”是指“數(shù)學(xué)的思想、精神、方法、觀點，以及它們的形成和發(fā)展，除此以外，還包含數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)發(fā)展中的人文成分等等”[6]。

以上三種有關(guān)“數(shù)學(xué)文化”的說法，在數(shù)學(xué)觀層面豐富和加深了人們對數(shù)學(xué)的認(rèn)識，也在數(shù)學(xué)教育觀上，對于為什么教數(shù)學(xué)、教什么樣的數(shù)學(xué)提出了十分合理的見解。特別是，數(shù)學(xué)文化的“文化價值說”觀點已在我國數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中明確下來?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2017年版)指出：“數(shù)學(xué)文化是指數(shù)學(xué)的思想、精神、語言、方法、觀點，以及它們的形成和發(fā)展；還包括數(shù)學(xué)在人類生活、科學(xué)技術(shù)、社會發(fā)展中的貢獻(xiàn)和意義，以及與數(shù)學(xué)相關(guān)的人文活動?！盵1]104可以說，現(xiàn)有數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對于“數(shù)學(xué)文化”的定義，綜合了“數(shù)學(xué)與文化”說、“文化的數(shù)學(xué)”說以及“數(shù)學(xué)的文化價值”說三種關(guān)于數(shù)學(xué)文化的界定。

然而，這種“數(shù)學(xué)文化”定義雖然描述比較全面，卻存在一些不足，不僅從表面上看顯得繁瑣，而且從深層次的知識觀來剖析，是一種基于(或傾向于)學(xué)科主義立場的“事實覆蓋”型文化觀。其局限性具體表現(xiàn)在：一方面，由于定義表述的寬泛性，以及對于什么是數(shù)學(xué)思想、精神、方法、觀點等語焉不詳，使得一線教育工作者不能很好地把握數(shù)學(xué)文化的本質(zhì)內(nèi)涵；另一方面，這種“事實覆蓋”型數(shù)學(xué)文化觀容易造成教師在教學(xué)中對“數(shù)學(xué)文化”做簡單化處理。即：在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識教學(xué)中，僅是增加一些所謂“數(shù)學(xué)文化”內(nèi)容的知識“補(bǔ)丁”，比如講一些數(shù)學(xué)史或介紹一點有關(guān)數(shù)學(xué)的趣味故事等。這種做法在促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的形成和發(fā)展上所發(fā)揮的作用有限，也不能充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價值。

目前，我國基礎(chǔ)教育課程改革已進(jìn)入“素養(yǎng)時代”，從學(xué)生知識技能的訓(xùn)練到學(xué)科素養(yǎng)的培育，必然帶來知識觀的深層變革。同樣，人們也應(yīng)在數(shù)學(xué)文化觀方面做出必要的轉(zhuǎn)型，以滿足目前在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中融入“數(shù)學(xué)文化”的現(xiàn)實需要。在此，我們應(yīng)揚(yáng)棄基于學(xué)科主義立場的“事實覆蓋”型數(shù)學(xué)文化觀，確定一種有鮮明教育學(xué)立場的數(shù)學(xué)文化觀，并明確其內(nèi)涵。

二、“理解取向”文化觀的涵義

在人們的日常生活和學(xué)者們的學(xué)術(shù)探討中，“文化”(culture)是一個被長期討論但又相當(dāng)模糊的概念，由此帶來的文化觀也是多種多樣的。美國人類學(xué)家克拉克洪(C.Kluckhohn)曾在1952年出版了《文化：概念和定義的檢討》一書，書中統(tǒng)計從1871至1951年間，關(guān)于“文化”的定義有一百六十四種之多?？死撕樵诜治鑫幕亩喾N定義的基礎(chǔ)上，提出了如下關(guān)于“文化”的定義：“文化由外顯的和內(nèi)隱的行為模式構(gòu)成；這種行為模式通過象征符號而獲致和傳遞；文化代表了人類群體的顯著成就，包括它們在人造器物中的體現(xiàn)；文化的核心部分是傳統(tǒng)的觀念，尤其是它們所帶來的價值?！盵7]顯然，這是一個包容性很強(qiáng)的文化觀。但是如果從教育學(xué)的立場出發(fā)，這樣的文化觀難以與我們的研究目的建立起工具性聯(lián)系。

在教育研究中，杜威(J.Dewey)針對“文化”給出了自己的理解，認(rèn)為“文化就是不斷擴(kuò)大一個人對事物意義的理解的范圍，增加理解的正確性的能力，也許沒有比這更好的文化的定義了”[8]136。杜威的文化定義包含了人、事物、對事物意義的理解、人的改變等因素，是一種有鮮明教育學(xué)立場的文化觀。這種文化觀突出“以人為本”，在關(guān)注個體發(fā)展變化的過程中，強(qiáng)調(diào)通過理解事物的意義來改變個體。我們稱這種文化觀為“理解取向”的文化觀。以下，結(jié)合杜威的文化定義，闡述“理解取向”文化觀所具有的三種特性：

(一)文化是“三元合一”的

德國哲學(xué)家卡西爾(E.Cassirer)對人的本質(zhì)給出了這樣一個定義：“人是符號的動物，人的所有文化形式都是符號形式?！盵9]據(jù)此，文化整體上可看作一種符號現(xiàn)象。借鑒美國哲學(xué)家、實用主義創(chuàng)始人皮爾士(C.S.Peirce)關(guān)于符號具有“三元合一”性的思想，筆者認(rèn)為，當(dāng)把文化看作符號現(xiàn)象時，文化的構(gòu)成要素包含三個方面：(1)作為文化主體的人；(2)作為文化對象的事物；(3)作為文化對象的解釋(或意義)。這三個要素缺一不可，密不可分?？梢哉f，文化是由這三個要素共同組成的“三元合一”體。

首先，文化并不在人之外而獨(dú)立存在。不論把文化定義為“人化”[10]還是“化人”，都含有人的因素。杜威也說，“所謂文化，是某種屬于個人的東西”[8]133-134。因此，文化從根本上而言就是屬于人的。談文化就意味著，在世界萬物中，永遠(yuǎn)要以人為本，面向人、為了人，而不是以人之外的任何東西為本。也可以這樣說，人是文化的主體，是文化的“第一性”(1)“第一性”“第二性”“第三性”，是美國哲學(xué)家、實用主義創(chuàng)始人皮爾士(C.S.Peirce)所創(chuàng)設(shè)的現(xiàn)象學(xué)范疇用語。。其次，文化還應(yīng)當(dāng)有作為文化對象的事物，即文化的“第二性”。人類創(chuàng)造的一切物質(zhì)產(chǎn)品和精神產(chǎn)品都是文化對象事物。沒有作為文化對象的事物，作為文化主體的人就會被懸空，人也就不成為文化主體了。第三，在文化主體和文化對象之間有一個中介，這就是文化對象的解釋(或意義)，也即文化的“第三性”。正是有了作為文化主體的人對文化對象事物的解釋，或?qū)ξ幕瘜ο笫挛镆饬x的理解，文化對象的作用才得以發(fā)揮，其價值才得以體現(xiàn)。也正是有了文化對象的解釋(或意義)，文化中的“人化”和“化人”才統(tǒng)一結(jié)合起來?？傊?，結(jié)合杜威文化定義的討論，可以得出如下結(jié)論：文化作為人的一種符號現(xiàn)象，由文化“第一性”“第二性”和“第三性”，即作為文化主體的人、作為文化對象的事物以及作為文化對象的解釋(或意義)三方面構(gòu)成。這三方面缺一不可、密不可分。同時，它們也是按等級排列的，沒有文化主體的人，就沒有文化對象的事物；有了文化對象的事物才能引出文化對象的解釋(或意義)。因此，文化是“三元(或三性)合一”的。

(二)文化是理解取向的

從教育的角度看，“文化”主要是一個動詞，所謂“文而化之”即文化。按文化是“三元合一”的解讀，這里的“文”指的是作為文化對象的事物，是人類創(chuàng)造的一切物質(zhì)產(chǎn)品和精神產(chǎn)品；“化”既是“化物”，也是“化人”。也就是說，作為文化主體的人與文化對象事物相遇時，一方面文化對象事物被賦予意義，“化”成了文化對象事物的解釋(或意義)，另一方面文化主體的人也在“知、情、意”等方面，相應(yīng)地發(fā)生了知識改變、獲得了情感觸動、得到了精神升華，“化”成了素養(yǎng)更高的人。所以，“文化就是不斷擴(kuò)大一個人對事物意義的理解的范圍，增加理解的正確性的能力”。

如果僅僅把“文化”看成是一個名詞，容易把它簡單歸結(jié)為文化對象事物，即認(rèn)為文化就是人類創(chuàng)造的一切物質(zhì)產(chǎn)品和精神產(chǎn)品，是一種人類創(chuàng)造的“事實性成果”。在教育中，這種“事實覆蓋”型文化觀，只能為教育工作者提供一個被稱為“文化”的客觀的、結(jié)果性的事實，以及其“假定性的文化意義”而非“理解生成性的文化意義”，從而導(dǎo)致把文化教育變成文化知識的傳遞或灌輸，失去在“化物”的過程中“化人”的意義和價值。這也許就是杜威主張把“文化”定義為一種“理解取向”型的重要原因。

所謂“理解”，就是在“事物”與“意義”間建立起聯(lián)系[11]125?？梢哉f，沒有理解就沒有文化。如果僅從孤立的事物這一角度看，個人所遇到的事物只是個別的、片段的事實，按“三元合一”的文化解釋，它還不能稱之為文化對象事物，這時也沒有所謂的“文化”發(fā)生。只有當(dāng)作為文化主體的人，把個別的片段性事實結(jié)合為一個統(tǒng)一的整體(或結(jié)構(gòu))，賦予其某種普遍的、連續(xù)性的價值意義，作為文化對象的事物和文化對象的解釋(或意義)才同時出現(xiàn)，文化才得以發(fā)生。因此，文化不是“事實取向”的，而是“理解取向”的。譬如，《史記》中所載“孔子學(xué)琴”的故事，正是一個說明“文化是理解取向”的極好例子。面對一首曲子，孔子通過自己不斷的練習(xí)和理解，從了解這首曲子(“丘已習(xí)其曲”)，到掌握曲子的技法(“已習(xí)其數(shù)”)，再到領(lǐng)悟曲子的主旨、意趣(“已習(xí)其志”)，一直到品味出曲子創(chuàng)作者的精神境界(“丘得其為人”)，這正是所謂“文化”！理解有廣度和深度之分，廣度指的是理解的范圍，而深度是指理解的層次。

(三)文化是動態(tài)發(fā)展的

文化的動態(tài)發(fā)展體現(xiàn)在兩方面。第一，作為文化“第一性”的人，其素養(yǎng)在文化中得以形成和不斷發(fā)展，在面對文化對象事物時，“人化”的能力，即人對事物的理解力得到增強(qiáng)；同時，反過來也表現(xiàn)在“化人”的成效變化中，人的素養(yǎng)層次和境界得以改變與提升。第二，文化“第三性”與文化“第二性”的互換，即文化對象事物的解釋(或意義)可以在新的文化中成為文化對象的事物(文化“第二性”)，進(jìn)而生成新的文化對象事物的解釋(或意義)。文化對象事物與文化對象事物的解釋(或意義)不是“二元對立”的，而是處于辯證的動態(tài)發(fā)展關(guān)系之中。這種“事物”與“意義”的關(guān)系，類似于杜威所討論的“事實”與“觀念”之間的關(guān)系：“事實或資料必須用來暗示或檢驗?zāi)承┯^念，……否則，單純的事實或資料便是一堆死東西。另一方面，觀念必須用來對實際情況進(jìn)行反思，否則，單純的觀念就是憑空的推測、空想和夢幻?！盵11]93

綜上所述，以杜威文化定義為代表的“理解取向”型文化觀，是一種基于教育學(xué)立場的文化觀。文化是人(文化主體)、事物(文化對象)、事物的解釋或意義“三元合一”體，它的效用體現(xiàn)在“不斷擴(kuò)大一個人對事物意義的理解范圍，增加理解的正確性的能力”上，其特點是“理解取向”且動態(tài)發(fā)展的。在此需指出的是，與其說這樣的文化觀是在眾多“文化”定義中增加了一種新的說法，不如說為我們在認(rèn)識論層面解讀數(shù)學(xué)文化提供了一種基本觀點和思維模式。

三、“數(shù)學(xué)文化”的教育學(xué)定義及其解讀

已有“數(shù)學(xué)文化”的定義，不論是“數(shù)學(xué)與文化”說、“文化的數(shù)學(xué)”說還是“數(shù)學(xué)的文化價值”說，在認(rèn)識論層面上，整體上反映的是一種基于(或傾向于)“事實覆蓋”的文化觀。這樣的數(shù)學(xué)文化觀在教學(xué)中容易造成數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)文化的隔離，使得“數(shù)學(xué)文化融入課程教學(xué)”的要求和目標(biāo)無法真正落到實處。在此，筆者以“理解取向”文化觀為指導(dǎo)，嘗試給出一種新的數(shù)學(xué)文化定義，并解讀其涵義。

從學(xué)校教育的角度看，本文認(rèn)為：“數(shù)學(xué)文化”就是指學(xué)生(或教師)在學(xué)習(xí)(教學(xué))數(shù)學(xué)知識的數(shù)學(xué)活動中，理解到數(shù)學(xué)的思想(方法)、觀點、精神等數(shù)學(xué)觀念意義，并內(nèi)化為數(shù)學(xué)素養(yǎng)，這種數(shù)學(xué)理解的過程和結(jié)果統(tǒng)稱為數(shù)學(xué)文化。至于數(shù)學(xué)思想(方法)、數(shù)學(xué)觀點、數(shù)學(xué)精神的含義又是什么，下文將給出進(jìn)一步解釋。

根據(jù)文化的“三元合一”性特點，數(shù)學(xué)文化“第一性”是指數(shù)學(xué)文化主體(包括學(xué)生和教師)，數(shù)學(xué)文化“第二性”為數(shù)學(xué)文化對象，即人類創(chuàng)造的一切數(shù)學(xué)形態(tài)(比如純粹數(shù)學(xué)形態(tài)、學(xué)校數(shù)學(xué)形態(tài)、應(yīng)用數(shù)學(xué)形態(tài)、民族數(shù)學(xué)形態(tài)等)[12]，數(shù)學(xué)文化“第三性”指數(shù)學(xué)文化對象的解釋(或意義)，也即由數(shù)學(xué)文化主體通過理解數(shù)學(xué)文化對象而引出的或賦予的數(shù)學(xué)思想、精神、方法、觀點等數(shù)學(xué)觀念意義。由于“文化”是理解取向的，這里的數(shù)學(xué)的思想、精神、方法、觀點等數(shù)學(xué)觀念意義，是由數(shù)學(xué)文化主體通過理解數(shù)學(xué)文化對象而生成的。需進(jìn)一步說明的是，盡管我們在單獨(dú)討論數(shù)學(xué)觀念意義時，可以把它當(dāng)作具有普遍性、確定性的“某種知識”，但在數(shù)學(xué)文化中，數(shù)學(xué)觀念意義是由數(shù)學(xué)文化主體在理解數(shù)學(xué)文化對象時生成的，因此，孤立地談?wù)摂?shù)學(xué)的思想、精神、方法、觀點等數(shù)學(xué)觀念意義，或把它們與數(shù)學(xué)文化相混淆，是不符合本文所提出的“數(shù)學(xué)文化”宗旨的。

討論“數(shù)學(xué)文化”離不開對數(shù)學(xué)知識本性的認(rèn)識。由于數(shù)學(xué)知識對象并不是某種具體的物質(zhì)和具體的物質(zhì)運(yùn)動形態(tài)，而是從眾多的物質(zhì)運(yùn)動形態(tài)中抽象出來的事物，是人腦的產(chǎn)物，數(shù)學(xué)具有超越具體科學(xué)和普遍適用的特征，具有公共基礎(chǔ)的地位，因此，“數(shù)學(xué)文化”比其他學(xué)科文化具有更為廣泛的影響和作用。英國數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家懷特海(A.N.Whitehead)在討論數(shù)學(xué)知識的本性時指出：“數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征就是，在從模式化的個體作抽象的過程中對模式進(jìn)行研究?！盵13]13根據(jù)數(shù)學(xué)的這種特征，可以說，基于“理解取向”的數(shù)學(xué)文化就是數(shù)學(xué)文化主體在“可模式化的個體”與“模式”之間建立起聯(lián)系，即通過模式化的理解，把個別經(jīng)驗知識材料納入一般的數(shù)學(xué)觀念模式中。模式化理解是一種深度理解。我國學(xué)者郭貴春等在從語境層面分析數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生和發(fā)展的特征時指出，數(shù)學(xué)經(jīng)歷著“數(shù)學(xué)模型的語用構(gòu)造→數(shù)學(xué)系統(tǒng)的語形變換→數(shù)學(xué)模型的語義解釋”[14]這樣一個產(chǎn)生和發(fā)展的過程。據(jù)此，本文認(rèn)為，與這個過程相對應(yīng)的模式化理解可分為三個層次，即：從經(jīng)驗感受到數(shù)學(xué)認(rèn)識模式的“明理化”理解，從數(shù)學(xué)認(rèn)識到數(shù)學(xué)理性模式的“理性化”理解，從數(shù)學(xué)理性到數(shù)學(xué)悟性模式的“道理化”理解。因此也可以說，數(shù)學(xué)文化是有層次結(jié)構(gòu)的。

(一)第一層次：“明理化”理解——從經(jīng)驗感受到數(shù)學(xué)認(rèn)識模式

所謂“明理化”理解，是指在數(shù)學(xué)活動中，把具體經(jīng)驗感受到的數(shù)學(xué)知識形態(tài)與普遍的數(shù)學(xué)認(rèn)識模式建立起聯(lián)系?！懊骼砘敝械摹袄怼本褪巧畈赜诰唧w數(shù)學(xué)知識形態(tài)背后的數(shù)學(xué)認(rèn)識模式結(jié)構(gòu)，它表現(xiàn)為數(shù)學(xué)思想，是數(shù)學(xué)知識的核心。鄭毓信教授指出：“數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)知識相比反映了更深層次的理解，從而可以被看成相關(guān)知識的核心。正因為此，數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)知識相比不僅具有更大的‘潛在性’，也具有更大的普遍意義?！盵15]在數(shù)學(xué)活動中，當(dāng)個體對數(shù)學(xué)知識形態(tài)只有具體經(jīng)驗感受時，還達(dá)不到數(shù)學(xué)文化的層次，必須與某種普遍的數(shù)學(xué)思想建立聯(lián)系，即理解到具體數(shù)學(xué)知識形態(tài)所潛在的數(shù)學(xué)認(rèn)識模式結(jié)構(gòu)時，或者說，能用某種深層的數(shù)學(xué)思想(模式結(jié)構(gòu))詮釋經(jīng)驗感受的數(shù)學(xué)知識形態(tài)時，才達(dá)到了數(shù)學(xué)文化的明理化理解層次。當(dāng)然，對數(shù)學(xué)知識形態(tài)的具體經(jīng)驗感受是數(shù)學(xué)文化的必要條件，如果沒有對數(shù)學(xué)知識形態(tài)的具體經(jīng)驗感受，數(shù)學(xué)文化就成為“無源之水”。

這里還需要對“理解”做進(jìn)一步的說明。所謂“理解某物，就是認(rèn)識到貫穿于一系列實例中的更加簡單和簡潔的結(jié)構(gòu)，這是數(shù)學(xué)上為人稱道的真理”[16]。因此，數(shù)學(xué)理解就是從數(shù)量關(guān)系和空間形式方面，在一些具體的數(shù)學(xué)知識形態(tài)中，通過某種模式結(jié)構(gòu)建立起深層次的聯(lián)系。所以懷特海曾說，“首先注意到7條魚和7天之間的共同點的人，是第一個具有純數(shù)學(xué)觀念的人”[17]。數(shù)學(xué)的特點之一就是不斷追求簡單的、深層次的、超出人類感官所及的模式結(jié)構(gòu)。當(dāng)作為數(shù)學(xué)思想的數(shù)學(xué)認(rèn)識模式結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為具有操作性的具體門路、程序時，就成為數(shù)學(xué)思想方法，而理解了的數(shù)學(xué)思想方法具有可遷移性。因此，作為數(shù)學(xué)文化主體的人，通過不斷地把具體數(shù)學(xué)知識形態(tài)與某種深層的模式結(jié)構(gòu)建立聯(lián)系，從而養(yǎng)成對現(xiàn)實世界中的現(xiàn)象和過程進(jìn)行合理簡化和量化的素養(yǎng)，這是數(shù)學(xué)文化的基礎(chǔ)要義。

(二)第二層次：“理性化”理解——從數(shù)學(xué)認(rèn)識到數(shù)學(xué)理性模式

所謂“理性化”理解，是指在數(shù)學(xué)活動中，把已經(jīng)認(rèn)識到的處于表面的分散的數(shù)學(xué)知識形態(tài)與系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)體系(即數(shù)學(xué)理性模式)建立起聯(lián)系。這個系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)體系具有自身的邏輯架構(gòu)，是理性的化身，不以人的主觀意志為轉(zhuǎn)移，具有客觀獨(dú)立性。在數(shù)學(xué)史中，歐幾里得用公理演繹的方式整理古希臘人已經(jīng)掌握了的幾何知識，最終成就《幾何原本》，從而確立了一種理性模式的典范。“歐幾里得幾何的創(chuàng)立，對人類的貢獻(xiàn)不僅僅在于產(chǎn)生了一些有用的、美妙的定理，更重要的是它孕育出了一種理性精神?！盵2]53自此以后，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，數(shù)學(xué)家們至今遵循《幾何原本》所確定的范例研究整理數(shù)學(xué)知識，數(shù)學(xué)也因此具有確定性與可靠性，被看作是所有科學(xué)的標(biāo)桿。

所謂數(shù)學(xué)觀點，就是人們觀察事物時所秉持的數(shù)學(xué)理性態(tài)度，是人的一種基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)。數(shù)學(xué)觀點的形成依賴于數(shù)學(xué)理性化理解。即：人們在一次又一次地把處于表面的分散的數(shù)學(xué)知識形態(tài)與系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)體系建立聯(lián)系的過程中，形成數(shù)學(xué)理性態(tài)度。我國數(shù)學(xué)特級教師孫維剛曾指出：“由尋找聯(lián)系入手，運(yùn)用規(guī)定(定義)平移、變換等數(shù)學(xué)思想和從‘特殊到一般，又從一般到特殊’的方法，把個別、離散的現(xiàn)象構(gòu)造成渾然一體的系統(tǒng)，這已經(jīng)標(biāo)志著能力的提高和素質(zhì)的發(fā)展了?！盵18]作為數(shù)學(xué)文化主體的人，從系統(tǒng)的角度學(xué)習(xí)理解數(shù)學(xué)知識，置分散的知識于系統(tǒng)中，發(fā)現(xiàn)知識之間的聯(lián)系和規(guī)律，在潛移默化中養(yǎng)成數(shù)學(xué)理性態(tài)度、形成數(shù)學(xué)觀點，這是數(shù)學(xué)文化的核心要義。

(三)第三層次：“道理化”理解——從數(shù)學(xué)理性到數(shù)學(xué)悟性模式

所謂“道理化”理解，是指在數(shù)學(xué)活動中，把某種數(shù)學(xué)知識形態(tài)的關(guān)系結(jié)構(gòu)，與另一種表現(xiàn)形態(tài)的數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)或現(xiàn)實世界中事物的關(guān)系結(jié)構(gòu)建立起聯(lián)系?！暗览砘敝械摹暗馈?，是一種創(chuàng)造性的精神品質(zhì)，表現(xiàn)為一種數(shù)學(xué)悟性模式。數(shù)學(xué)理性模式雖然能展示數(shù)學(xué)知識之間的相互聯(lián)系，奠定數(shù)學(xué)的確定性與可靠性基礎(chǔ)，但在數(shù)學(xué)無窮多的主題內(nèi)容中，它僅是其中一個理想目標(biāo)而已。如果把數(shù)學(xué)理性模式看成是數(shù)學(xué)的唯一目標(biāo)，或者說，“相信公理體系構(gòu)成了數(shù)學(xué)的精髓，這是一個危險的錯誤”[19]226。懷特海曾做過這樣的比喻：“一幅寫生畫竟能取代一幅完全的圖畫”，這是數(shù)學(xué)的“一種微不足道的惡”[13]12。數(shù)學(xué)的發(fā)展和數(shù)學(xué)現(xiàn)實價值的體現(xiàn)，尤其是數(shù)學(xué)的創(chuàng)新與應(yīng)用，需要數(shù)學(xué)悟性。

“數(shù)學(xué)悟性”一詞出自懷特海。他曾在題為“數(shù)學(xué)與善”的著名演講中說過，“考慮到數(shù)學(xué)有無窮多的主題內(nèi)容，數(shù)學(xué)甚至現(xiàn)代數(shù)學(xué)也是處于嬰兒時期的一門科學(xué)。如果文明繼續(xù)發(fā)展，那么在今后兩千年，人類思想中壓倒一切的新特點就是數(shù)學(xué)悟性要占統(tǒng)治地位”[13]12。所謂數(shù)學(xué)悟性，筆者認(rèn)為就是在不同的數(shù)學(xué)知識形態(tài)中或數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界中，發(fā)現(xiàn)相通的關(guān)系結(jié)構(gòu)。因此，其思維特點不是邏輯演繹，而是直覺構(gòu)造，體現(xiàn)出創(chuàng)新性特點。數(shù)學(xué)中“凡是重要的發(fā)現(xiàn)或者具有實質(zhì)性內(nèi)容的見解，很少是由單純的公理程序得到的。在直覺指引下的構(gòu)造性思想是數(shù)學(xué)動力的真正源泉”[19]226。數(shù)學(xué)史和科學(xué)史已表明，面對層出不窮、錯綜復(fù)雜的主題，數(shù)學(xué)家及科學(xué)家們依靠數(shù)學(xué)悟性思維模式不斷開辟人類知識前進(jìn)的道路，展示出數(shù)學(xué)的現(xiàn)實價值和意義。比如，笛卡爾在面對古希臘人留下的幾何作圖問題時，把作為幾何形態(tài)的單位線段與作為代數(shù)形態(tài)的數(shù)“1”對應(yīng)，將數(shù)的運(yùn)算規(guī)則(即加、減、乘、除、開方等代數(shù)運(yùn)算關(guān)系結(jié)構(gòu))與幾何作圖的運(yùn)算規(guī)則(即線段的加、減、乘、除、開方等幾何作圖運(yùn)算關(guān)系結(jié)構(gòu))相聯(lián)系，不僅有效解決了幾何作圖問題，更為重要的是，由此創(chuàng)立了解析幾何；愛因斯坦把黎曼幾何(非歐幾何)的空間關(guān)系結(jié)構(gòu)與物理世界的空間關(guān)系結(jié)構(gòu)對應(yīng)起來，建立聯(lián)系，為創(chuàng)立相對論鋪平了道路[20]。這些都是人類思想中數(shù)學(xué)悟性模式的精彩篇章。

數(shù)學(xué)精神，就是人們在數(shù)學(xué)悟性模式中表現(xiàn)出的創(chuàng)造性思維，是人的一種高級數(shù)學(xué)素養(yǎng)。數(shù)學(xué)精神的培養(yǎng)離不開數(shù)學(xué)道理化理解，即：在數(shù)學(xué)活動中(特別是在問題解決中)，通過在不同的數(shù)學(xué)知識形態(tài)之間或數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界之間，建構(gòu)相對應(yīng)的關(guān)系結(jié)構(gòu)，領(lǐng)悟在創(chuàng)造性發(fā)現(xiàn)或問題解決中所表現(xiàn)出的創(chuàng)新思維。作為數(shù)學(xué)文化主體的人，通過在不同表現(xiàn)形態(tài)的數(shù)學(xué)知識之間或數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實世界之間建立對應(yīng)的關(guān)系結(jié)構(gòu)，從而解決問題，產(chǎn)生新發(fā)現(xiàn)，感悟數(shù)學(xué)精神，不斷提高自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和創(chuàng)新意識，這是數(shù)學(xué)文化的關(guān)鍵要義。

由以上的討論可以看出，對于什么是“數(shù)學(xué)文化”，我們應(yīng)放棄形而上學(xué)的追問方式，好似本身就存在一種“數(shù)學(xué)文化”的東西，人們可以直接去認(rèn)識它、把握它，而是應(yīng)當(dāng)通過數(shù)學(xué)活動，在理解數(shù)學(xué)知識的深層認(rèn)識模式、形成數(shù)學(xué)理性思維模式、養(yǎng)成創(chuàng)造性數(shù)學(xué)悟性思維模式的過程中，感受“數(shù)學(xué)文化”的魅力。

四、“數(shù)學(xué)文化”教育實施路徑思考

數(shù)學(xué)，有作為知識成果形態(tài)的數(shù)學(xué)和作為意義生成形態(tài)的數(shù)學(xué)之分。前者在一般人眼里往往是“冰冷”的形式化符號語言，抽象難懂，被稱為學(xué)術(shù)形態(tài)的數(shù)學(xué)；而后者是能從中理解到“火熱的思考”意義的數(shù)學(xué)，被稱為教育形態(tài)的數(shù)學(xué)。因此可以說，把數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為學(xué)生易于接受并充分理解的教育形態(tài)，就是“數(shù)學(xué)文化”教育的根本任務(wù)。限于本文的研究主旨和篇幅，對于如何具體實施“數(shù)學(xué)文化”的教育，在此不做展開，僅提出如下實施路徑思考：

(一)以課堂教學(xué)為主陣地，實施“數(shù)學(xué)文化”教育

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(實驗)指出：“數(shù)學(xué)課程要講邏輯推理，更要講道理，通過典型例子的分析和學(xué)生自主探索活動，使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、結(jié)論逐步形成的過程，體會蘊(yùn)涵在其中的思想方法，追尋數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史足跡。……激發(fā)對于數(shù)學(xué)創(chuàng)新原動力的認(rèn)識，受到優(yōu)秀文化的熏陶。”[21]作為數(shù)學(xué)教師，應(yīng)確立“理解取向”的數(shù)學(xué)文化觀，注重在平時充分挖掘有關(guān)數(shù)學(xué)文化的教育資源。在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，積極將學(xué)生引導(dǎo)至數(shù)學(xué)文化的場域，使學(xué)生在數(shù)學(xué)的“明理化理解、理性化理解、道理化理解”過程中，感悟數(shù)學(xué)文化。當(dāng)教師通過積極的教學(xué)引導(dǎo)，促使學(xué)生在數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)中自覺生成數(shù)學(xué)思想(方法)，形成理性的數(shù)學(xué)觀點，領(lǐng)悟具有創(chuàng)造性思維特點的數(shù)學(xué)精神時，日常的數(shù)學(xué)課堂就會成為“數(shù)學(xué)文化”教育的主陣地。

(二)在準(zhǔn)確把握數(shù)學(xué)理解的“二維”關(guān)系范疇中，實施“數(shù)學(xué)文化”教育

根據(jù)理解取向的文化觀，數(shù)學(xué)文化就是數(shù)學(xué)文化主體(學(xué)生或教師)在數(shù)學(xué)的“可模式化的個體”與“模式”之間建立起聯(lián)系。對學(xué)生來說，只有當(dāng)作為“可模式化的個體”的個別數(shù)學(xué)知識材料(指各種形態(tài)的數(shù)學(xué)知識素材)，被理解為具有一般意義的數(shù)學(xué)觀念模式[即數(shù)學(xué)思想(方法)、數(shù)學(xué)觀點、數(shù)學(xué)精神等]時，數(shù)學(xué)文化才得以真正發(fā)生?？梢哉f，沒有個別數(shù)學(xué)知識材料和一般數(shù)學(xué)觀念模式的結(jié)合，就沒有數(shù)學(xué)文化。教師在數(shù)學(xué)文化教育中，首先需要區(qū)分“個別”和“一般”這對數(shù)學(xué)理解的“二維”關(guān)系范疇；其次，自身要努力成為一名數(shù)學(xué)“學(xué)養(yǎng)教師”[22]，要有不斷對數(shù)學(xué)知識進(jìn)行探本尋源、追求來龍去脈，以更“一般”的數(shù)學(xué)觀念模式結(jié)合“個別”數(shù)學(xué)知識的嘗試；最后，在教學(xué)中結(jié)合自身的數(shù)學(xué)文化經(jīng)驗，引導(dǎo)并促使學(xué)生在個別數(shù)學(xué)知識材料和一般的數(shù)學(xué)觀念模式之間建立聯(lián)系，以喚起學(xué)生的數(shù)學(xué)文化經(jīng)驗，同學(xué)生一起體會、領(lǐng)悟并欣賞數(shù)學(xué)知識的文化魅力。

(三)通過“三階段”發(fā)展層次，實施完整的“數(shù)學(xué)文化”教育

完整的數(shù)學(xué)文化具有前文所述的三個層次結(jié)構(gòu)，因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中，可結(jié)合相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識，開展“經(jīng)驗感受——理性認(rèn)知——悟性拓展”相統(tǒng)一的、逐級發(fā)展的完整的數(shù)學(xué)文化教育。比如，在“對稱”知識的教學(xué)中，設(shè)計出“感受對稱階段——對稱的數(shù)學(xué)化理解階段——對稱的拓展性理解階段”的數(shù)學(xué)單元教學(xué)[23]?！叭A段”發(fā)展式數(shù)學(xué)文化教育，是數(shù)學(xué)知識發(fā)展本質(zhì)要求所規(guī)定的，也是文化具有連續(xù)發(fā)展性特點所決定的。實施多層次連續(xù)發(fā)展的、完整統(tǒng)一的數(shù)學(xué)文化教育，能有效避免數(shù)學(xué)文化教育的形式化、淺表化和碎片化。

總之，數(shù)學(xué)作為人類文化的重要組成部分，在形成人的理性思維、科學(xué)精神和促進(jìn)個人智力發(fā)展的過程中發(fā)揮著不可替代的作用。我國數(shù)學(xué)院士、復(fù)旦大學(xué)李大潛教授曾指出：“數(shù)學(xué)的傳授，如果不滿足于填鴨式的灌輸，而是更多地針對數(shù)學(xué)這門學(xué)科的特點，采取啟發(fā)、誘導(dǎo)的方式，就可以使學(xué)生在學(xué)習(xí)知識的過程中，逐步地由不自覺到自覺地將這些方面的素質(zhì)耳濡目染，身體力行，銘刻于心，形成習(xí)慣，變成他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，終生受用不盡?！盵24]新時期，更加強(qiáng)調(diào)學(xué)科育人價值，數(shù)學(xué)教育理應(yīng)在落實立德樹人根本任務(wù)和發(fā)展素質(zhì)教育中發(fā)揮更重要的功能。作為數(shù)學(xué)教育工作者，應(yīng)樹立“數(shù)學(xué)文化育人”的意識，在課堂教學(xué)中，不僅幫助學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和進(jìn)一步學(xué)習(xí)所必需的數(shù)學(xué)知識、技能、思想和方法，更重要的是，通過“數(shù)學(xué)文化”來育人，不斷提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和創(chuàng)新意識。