田莉莉

代數(shù)問題相對(duì)比較煩瑣,在表達(dá)與計(jì)算方面不夠直觀,如能將圖形有效引入到代數(shù)學(xué)習(xí)中,一方面有利于學(xué)生思維的啟迪,另一方面能夠提高解題效率。而圖形部分的學(xué)習(xí),由于其性質(zhì)難以憑借圖形本身完整表達(dá),因此有必要將代數(shù)與圖形有機(jī)結(jié)合,從而達(dá)到圖形和抽象概念彼此轉(zhuǎn)化的效果,提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的靈活性。進(jìn)入初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段,學(xué)生可以接觸到很多的數(shù)學(xué)思想,數(shù)形結(jié)合思想就是其中比較有代表性的數(shù)學(xué)思想之一。通過培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想,不但能強(qiáng)化學(xué)生數(shù)學(xué)能力,也可以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)。

一、數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)涵分析

作為基礎(chǔ)學(xué)科之一,數(shù)學(xué)是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界之中所有空間形式、數(shù)量關(guān)系進(jìn)行研究的一種應(yīng)用型學(xué)科。[1]其中,形屬于數(shù)學(xué)抽象的結(jié)果,其不但包含現(xiàn)實(shí)空間,也包含幾何圖形以及圖像等抽象空間。而數(shù)則屬于廣義的形式化對(duì)象,其既包含數(shù)、式,同時(shí)也包含各種方程、導(dǎo)數(shù)、積分以及矩陣等。對(duì)于數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)涵進(jìn)行分析發(fā)現(xiàn),數(shù)形結(jié)合思想是一種特殊的思維模式,其可以在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用過程中對(duì)抽象思維、形象思維進(jìn)行相互的轉(zhuǎn)化和作用,讓人們可以對(duì)比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)關(guān)系進(jìn)行確認(rèn),同時(shí)也可以完成數(shù)量與圖形之間的聯(lián)系和變化?？偨Y(jié)而言,數(shù)形結(jié)合思想的核心就在于將數(shù)和形進(jìn)行統(tǒng)一并完成相互之間的轉(zhuǎn)化,充分發(fā)揮二者的優(yōu)勢(shì),以此來對(duì)學(xué)生的抽象思維以及形象思維進(jìn)行有效激發(fā)。

二、數(shù)形結(jié)合思想對(duì)初中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣的影響

(一) 有助于提升知識(shí)理解能力

和小學(xué)階段的數(shù)學(xué)教材相比,初中教材涉及更多要求學(xué)生能夠理解并掌握的數(shù)學(xué)概念,學(xué)生直接理解數(shù)學(xué)概念往往存在一定困難。利用數(shù)形結(jié)合思想,能憑借圖形將概念直觀呈現(xiàn),使原本抽象的概念變得形象具體,這樣不僅能幫助學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握數(shù)學(xué)概念,還會(huì)降低數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的難度。

(二) 有助于培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力

數(shù)量關(guān)系如果能變換為清晰直觀的圖形,輔助學(xué)生進(jìn)行觀察、理解和分析,再將圖形與數(shù)量關(guān)系相互結(jié)合、轉(zhuǎn)化及補(bǔ)充,會(huì)使數(shù)學(xué)關(guān)系更加清晰。[2]“數(shù)” 與“形” 的結(jié)合,一方面能打開解題思路,另一方面會(huì)拓展思維視野,使數(shù)學(xué)思維更加敏捷。

三、數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用策略

(一) 以情境激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的圖形表征意識(shí)

想要充分發(fā)揮數(shù)形結(jié)合思想在初中學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)中的價(jià)值和作用,教師就要充分激發(fā)學(xué)生的形象思維,強(qiáng)化學(xué)生對(duì)數(shù)形的概念理解能力、問題解決能力。圖形表征作為一種重要表征形式,其與數(shù)表征存在的抽象性相比,更加容易被學(xué)生接受。[3]為此,教師首先要對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的本質(zhì)進(jìn)行深入分析,對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的表象表形特征進(jìn)行充分挖掘。在此過程中教師可以通過設(shè)置有效的教學(xué)情景,通過直觀的圖形表征來完成學(xué)習(xí)或者解決問題,促進(jìn)學(xué)生圖形表征能力的提升。在應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)過程中,教師要積極鼓勵(lì)學(xué)生將直觀圖形表征作為邏輯的氣墊,對(duì)比較抽象的“數(shù)”進(jìn)行分析和計(jì)算。學(xué)生在學(xué)習(xí)初中數(shù)學(xué)知識(shí)的過程中,對(duì)圖形表征的接觸不斷增加,對(duì)圖形表征的了解不斷加深,但是卻很少在解決代數(shù)問題的過程中主動(dòng)運(yùn)用圖形表征。為此,教師要對(duì)學(xué)生進(jìn)行有意識(shí)的引導(dǎo),讓其可以通過圖形來理解數(shù)學(xué)概念和知識(shí),解決數(shù)學(xué)問題。例如,教學(xué)數(shù)軸問題時(shí),教師可通過設(shè)置問題情境的方式,引導(dǎo)學(xué)生利用電腦通過直觀圖構(gòu)造來完成相關(guān)知識(shí)的認(rèn)識(shí)和條件的分析。教師可以將數(shù)軸教學(xué)過程中的書目、電線桿等生活中比較常見的事物作為對(duì)象,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,引導(dǎo)學(xué)生逐步將數(shù)軸與直觀圖形進(jìn)行聯(lián)系,讓學(xué)生可以對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行圖形表征,并在此基礎(chǔ)上理解數(shù)學(xué)概念,掌握數(shù)學(xué)問題的解決方法。

(二) 引導(dǎo)學(xué)生觀察分析圖形表征中的代數(shù)意義

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)觀察能力不但能提升教學(xué)質(zhì)量,也可以為學(xué)生未來的學(xué)習(xí)和發(fā)展打下良好基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)觀察能力是學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)中蘊(yùn)含的空間結(jié)構(gòu)、邏輯模式進(jìn)行識(shí)別的能力,可以幫助學(xué)生更深入地理解數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣,強(qiáng)化學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。

教師在教學(xué)過程中要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)事物進(jìn)行直觀化的感知,在獲取有效的數(shù)學(xué)信息的同時(shí),對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的形式特征以及性質(zhì)、變化、關(guān)系進(jìn)行全面了解。通過引導(dǎo)學(xué)生有目的、有組織地對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象進(jìn)行認(rèn)知,可以有效地提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的質(zhì)量。目前學(xué)生對(duì)于圖形的觀察能力還有待提升,很多學(xué)生缺乏對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的深入了解。教師要有意識(shí)地提升學(xué)生的觀察能力和分析能力,不斷提升對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用程度。

例如,x軸與函數(shù)y=x2+(2k -1)x +1-k圖像存在兩個(gè)交點(diǎn),這兩個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)O、點(diǎn)A。首先,寫出函數(shù)表達(dá)式；其次,該拋物線如果在右側(cè)存在點(diǎn)B,并且和點(diǎn)O、點(diǎn)A構(gòu)成的ΔAOB的面積是6,試求點(diǎn)B坐標(biāo)；最后,針對(duì)B點(diǎn),是否也能存在點(diǎn)P在這條拋物線上? 如果存在,求出點(diǎn)P坐標(biāo)和ΔPOB的面積,若是不存在,說明理由。面對(duì)這個(gè)問題,需要依據(jù)問題要求作圖,旨在讓數(shù)學(xué)問題更加直觀,通過作圖,獲得ΔAOB的面積范圍,從而為B 點(diǎn)的坐標(biāo)以及ΔPOB的面積求解奠定基礎(chǔ)。具體解題思路如下: 首先,函數(shù)與x軸相交于點(diǎn)O,可知O=k+1,k=-1,所以函數(shù)表達(dá)式是y=x2-3x。其次,B點(diǎn)若是存在,那么過B點(diǎn)作BD⊥x軸交于點(diǎn)D,ΔAOB的面積是6,那么AO·BD=6,如果0=x2-3,x=0 或x=3,由此可得AO=3,BD=4,4=x2-3x,所以x=4 或x=-1,又因?yàn)槠渲衳=-1 和題意不符舍去,以此求得頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1.5,-2.25),結(jié)合上述條件可得x軸下不存在點(diǎn)B,所以坐標(biāo)為 (4,4)。最后,因?yàn)辄c(diǎn)B坐標(biāo)是 (4,4),所以∠AOB=45°、BO=,當(dāng)∠POB=90°時(shí),∠POD=45°,然后可以將P 點(diǎn)的橫坐標(biāo)假設(shè)為-x,可得其縱坐標(biāo)為x2-3x,-x=x2-3x得出x=2 或x=0,那么拋物線上存在并且僅存在P點(diǎn)(2,-2) 使∠POB=90°,OP=,因此SΔPOB=

(三) 引導(dǎo)學(xué)生對(duì)不同的數(shù)學(xué)表征進(jìn)行相互轉(zhuǎn)換

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象的表征形式是多元化存在的,針對(duì)不同的數(shù)學(xué)表征要運(yùn)用不同方法。符號(hào)的表征形式有利于學(xué)習(xí)者對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象或者數(shù)學(xué)問題進(jìn)行分析操作,圖像的表征形式能夠發(fā)揮其直觀形象的特點(diǎn)。通過對(duì)各種數(shù)學(xué)信息進(jìn)行直觀表述,可以為學(xué)生的觀察提供更加便利的條件。在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中,對(duì)代數(shù)抽象符號(hào)的表征功能進(jìn)行強(qiáng)調(diào),雖然可以發(fā)揮符號(hào)表征的嚴(yán)密性、邏輯性等特征,但是會(huì)導(dǎo)致學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)問題的理解出現(xiàn)困難,無法對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的意義以及問題的本質(zhì)進(jìn)行充分挖掘。數(shù)形結(jié)合思想可以通過對(duì)圖像表征進(jìn)行有效運(yùn)用的方式,讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中熟練地對(duì)各種不同表征進(jìn)行轉(zhuǎn)化,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。幾何圖形變化部分是初中數(shù)學(xué)一大學(xué)習(xí)重點(diǎn),并且圖形變化也是平面幾何學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)所在?？蓪?shí)際上,很多學(xué)生缺乏必要的想象力和繪畫能力,在課堂教學(xué)中,教師要通過動(dòng)態(tài)化視角幫助學(xué)生掌握?qǐng)D形的變化。例如,在平方差及完全平方公式的教學(xué)中,教師可以將公式與圖像結(jié)合,利用矩形面積割補(bǔ)方法理解平方差公式。四邊形ABCD對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O,如果SΔABD=5,SΔABC=6,SBCD=5,求解SΔAOB的面積。為此,教師可以引導(dǎo)學(xué)生這樣展開分析: 首先假設(shè)ΔAOB的面積為S1=x,再利用代數(shù)式將三角形面積表示出來,通過獲得方程并求解。由于ΔAOB的面積為S1=x,那么ΔADO面積是S2=5-x,ΔBOC=S3=6-x,ΔDOC=S4=10-(6-X)=4+X,又因?yàn)棣BO,ΔBOC存在相等的高,可得,SΔAOB=4。

(四) 挖掘并利用教材中數(shù)形結(jié)合思想的相關(guān)素材

數(shù)學(xué)教材一直是學(xué)生學(xué)習(xí)的重要資源,也是教師開展教學(xué)的基礎(chǔ)依據(jù)。在初中數(shù)學(xué)教材中,教師可以將教學(xué)的線索分為明線(即教材中的各種數(shù)學(xué)知識(shí)) 和暗線(需要進(jìn)行挖掘、理解和發(fā)現(xiàn)的指導(dǎo)思想)。在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的過程中,教師要重視教材之中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想,對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律進(jìn)行理性認(rèn)識(shí)和挖掘,[4]引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)逐漸形成自身的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)。通過這樣的方式潛移默化地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想。由于初中數(shù)學(xué)教材中并沒有對(duì)數(shù)學(xué)思想進(jìn)行直接、明確的表達(dá),因此教師在教學(xué)過程中,要充分發(fā)揮數(shù)形結(jié)合思想的重要作用和價(jià)值。例如,教師在備課時(shí),要在深入分析教材的基礎(chǔ)上,結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想來進(jìn)行課堂教學(xué)設(shè)計(jì),并在教學(xué)過程中不斷加以加強(qiáng)。通過這樣的方式不斷深化學(xué)生對(duì)于數(shù)形結(jié)合思想的認(rèn)識(shí)和理解,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí),最終實(shí)現(xiàn)教學(xué)效率和質(zhì)量的提升。例如,有理數(shù)的學(xué)習(xí)。有理數(shù)不只是基礎(chǔ)知識(shí),還是初中階段的關(guān)鍵授課內(nèi)容,將數(shù)形結(jié)合思想有效運(yùn)用于教學(xué)中,可以形象化體現(xiàn)有理數(shù)概念。比如,“數(shù)軸” 是對(duì)有理數(shù)進(jìn)行形象分析的工具,學(xué)生借此學(xué)習(xí)有理數(shù)會(huì)更為清晰,而且數(shù)軸能為解決有理數(shù)四則運(yùn)算問題提供便利?；诖?教師可以讓學(xué)生畫出數(shù)軸,在數(shù)軸上找出比較對(duì)象并進(jìn)行標(biāo)識(shí)處理。

(五) 合理運(yùn)用信息技術(shù)手段

在科學(xué)技術(shù)不斷更新發(fā)展的過程中,信息技術(shù)在教育教學(xué)領(lǐng)域得到越來越廣泛的應(yīng)用,傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課堂也發(fā)生了較為明顯的變化。例如,超級(jí)畫板、幾何畫板等工具的應(yīng)用,極大地豐富了數(shù)學(xué)課堂教學(xué)形式。因此,無論是學(xué)生還是教師,對(duì)于多媒體教輔工具的應(yīng)用都給予了高度的認(rèn)可和關(guān)注。為了有效地將數(shù)形結(jié)合思想與初中數(shù)學(xué)教學(xué)相結(jié)合,教師要在教學(xué)過程中將信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)一步整合,從多個(gè)角度和方向向?qū)W生傳達(dá)以視覺形式為主的知識(shí)內(nèi)容,將抽象的數(shù)學(xué)概念進(jìn)行可視化呈現(xiàn),對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)進(jìn)行充分揭示。信息技術(shù)的運(yùn)用能夠讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中對(duì)直觀的“形” 和抽象的“數(shù)” 進(jìn)行充分結(jié)合,讓學(xué)生可以通過直觀的視覺刺激來完成對(duì)各種抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)和理解,這對(duì)于展現(xiàn)數(shù)學(xué)思維過程也有重要作用,同時(shí)可以幫助教師對(duì)初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行不斷優(yōu)化。在傳播數(shù)形結(jié)合思想的過程中,雖然信息技術(shù)、多媒體教輔工具為課堂教學(xué)提供了巨大的便利,能夠有效吸引學(xué)生的注意力,但是傳統(tǒng)的板書依然是不可取代的課堂組成部分,通過良好的板書設(shè)計(jì),可以讓學(xué)生跟隨教師的節(jié)奏進(jìn)行思考,學(xué)生在接受數(shù)形結(jié)合思想的同時(shí),逐漸形成自身的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)邏輯,為學(xué)生后續(xù)知識(shí)的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。教學(xué)“一次函數(shù)” 時(shí),很多習(xí)題會(huì)涉及一次函數(shù)和正比例函數(shù)圖像之間的關(guān)系。教師可以通過幾何畫板為學(xué)生錄制詳細(xì)的解題微課,讓學(xué)生能清楚地看到一次函數(shù)與正比例函數(shù)在k 相同的情況,b 發(fā)生改變呈現(xiàn)出的不同圖像,由此讓抽象的問題變得具體,輕松攻克知識(shí)難點(diǎn)。教學(xué)“二次函數(shù)” 時(shí),教師可以通過信息技術(shù)進(jìn)行作圖展示、分析。例如,一條公路隧道的進(jìn)口形狀與拋物線相似,隧道底部的寬AB 為4m,隧道頂點(diǎn)c 距AB 之間的高度為4.4m,現(xiàn)有一輛滿載集裝箱的運(yùn)輸車輛想要穿過隧道,已知集裝箱的整體寬度是2.4m,且地面和車輛底部之間的距離為2.7m,試問這輛運(yùn)輸車能否穿過隧道。為了幫助學(xué)生更好地分析,清楚呈現(xiàn)問題的解題思路,教師可以通過信息技術(shù)繪制二次函數(shù)圖像,建立直角坐標(biāo)系,引導(dǎo)學(xué)生分析解答。由此可見,將數(shù)形結(jié)合思想和信息技術(shù)組合應(yīng)用,一方面有利于直觀分析問題,另一方面可以幫助學(xué)生透徹理解數(shù)形結(jié)合思想,調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。

結(jié)語

運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的關(guān)鍵是找出數(shù)與形之間的結(jié)合點(diǎn),并對(duì)其進(jìn)行有效轉(zhuǎn)化,以此強(qiáng)化知識(shí)之間的轉(zhuǎn)化及聯(lián)系,建立完善的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。隨著課程改革的不斷深入,為了強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),數(shù)形結(jié)合思想越來越受到重視。為了充分發(fā)揮數(shù)形結(jié)合思想的作用,教師要依循課堂教學(xué)目標(biāo),針對(duì)學(xué)生的實(shí)際情況及教學(xué)中的常見問題,進(jìn)行深入了解和分析,在開展教學(xué)的同時(shí)逐步引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)并掌握數(shù)形結(jié)合思想,幫助學(xué)生對(duì)其進(jìn)行充分理解和有效運(yùn)用。