□劉 燕

概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象的一個數(shù)學(xué)分支，它是與現(xiàn)實世界聯(lián)系緊密、應(yīng)用最為廣泛的學(xué)科之一，已成為人們從事生產(chǎn)勞動、科學(xué)研究和社會活動的一個基本工具。其中，古典概率和條件概率是概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程中兩個基礎(chǔ)且重要的概率，大量的后續(xù)概率建立在這兩個概率的基礎(chǔ)之上[1]，比如事件的獨立性、乘法公式、全概率公式和貝葉斯公式、二項分布、隨機向量的條件分布等，因此應(yīng)重視古典概率和條件概率的教學(xué)與學(xué)習(xí)。文章通過生活案例講述古典概率和條件概率，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并分析典型的常見錯誤，指出注意問題，避免學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中發(fā)生不必要的錯誤，增強學(xué)生的學(xué)習(xí)信心，進而提高課堂教學(xué)質(zhì)量與教學(xué)效果。

一、古典概率

古典概型定義[2]：設(shè)隨機試驗E滿足下列條件：

①(有限性)試驗的樣本空間只有有限個樣本點，即

Ω={ω1,ω2,…,ωn}；

②(等可能性)每個樣本點的發(fā)生是等可能的，即

P({ω1})=P({ω2})=…P({ωn}),

則稱隨機試驗E為古典概型。事件A的概率為：

由上可知，計算古典概率首先判斷這個試驗是否為古典概型。確定之后，要弄清樣本空間包含的樣本點總數(shù)和隨機事件中的樣本點數(shù)，列出比式求出概率。過程看起來并不復(fù)雜，但學(xué)生往往就在找樣本空間中包含的樣本點總數(shù)和隨機事件中所含的樣本點數(shù)這兩個數(shù)據(jù)上遇到困難，原因在于這兩個數(shù)據(jù)的計算常常涉及到排列和組合、乘法原理和加法原理的知識，結(jié)合古典概型的性質(zhì)，有時還需要建立一個簡單的數(shù)學(xué)模型[2]。鑒于此，在教學(xué)中將抽象的數(shù)學(xué)問題背景化，從生活實例入手，增強學(xué)生的求知欲。下面看幾個生活實例。

例1 試計算福利彩票35選7中特等獎的概率，中一等獎(對6個號碼)的概率？

由上可知，無論中特等獎還是一等獎用古典概率知識可算出它們都是很小的概率事件，在生活實際中很難發(fā)生。由此告誡同學(xué)們在生活中與其守株待兔等待小概率事件的發(fā)生，不如踏實學(xué)習(xí)、認(rèn)真工作，慢慢積累財富更為妥當(dāng)。

例2 某接待站在某一周接待12次來訪，已知這12次接待在周二和周四進行，問是否可判斷接待時間是有規(guī)定的？

二、條件概率

由此可知，條件概率也可看成古典概率模型，可由古典概率計算，此法稱為縮減樣本空間法。由條件概率定義，當(dāng)P(B)>0時，P(AB)=P(B)P(A|B)或當(dāng)P(A)>0時，P(AB)=P(A)P(B|A)，此兩個公式稱為兩事件的乘法公式，它是條件概率的變形，同時也給出了條件概率與乘法公式之間的關(guān)系。區(qū)別條件概率和積事件的概率關(guān)鍵在于是否有附加條件[3]，下面看幾個應(yīng)用。

例3 設(shè)袋中有7只白球，3只紅球。白球中有4只木球，3只塑料球；紅球中有2只木球，1只塑料球。現(xiàn)從袋中任取1球，假設(shè)每個球被取到的可能性相同，若已知取到的球是白球，求它是木球的概率？

解析：方法1(公式法)設(shè)A表示事件任取一球，取得木球，B表示事件任取一球，取得白球。列表觀察分析

白球紅球總計木球426塑料球314總計7310

AB表示事件取的球是白球且是木球，由上表知事件AB所含的樣本點數(shù)為4，事件B所含的樣本點數(shù)為7，樣本空間所含的樣本點總數(shù)為10，有古典概率可得

例4 中秋節(jié)快到了，想外出游玩兩天，需要知道兩天的天氣情況，已知第一天下雨的概率為0.6，第二天下雨的概率為0.3，兩天都下雨的概率為0.1。想知道(1)第一天下雨時，第二天不下雨的概率;(2)第一天下雨時，第二天也下雨的概率。

解析：設(shè)A表示事件第一天下雨，B表示事件第二天下雨，已知P(A)=0.6，P(B)=0.3，P(AB)=0.1。

(1)欲求的概率為A發(fā)生條件下事件B不發(fā)生的概率，即

由此可知，條件概率與無條件概率之間的大小無確定，即P(B)與P(B|A)的區(qū)別在于兩者發(fā)生的條件不同，它們是兩個不同的概念，在數(shù)值上一般也不相等。

三、古典概率和條件概率常見典型錯誤分析

(一)抽簽?zāi)Ｐ椭械母怕逝c條件概率理解錯誤。

例5 一罐中裝有a個黑球，b個白球，不放回的抽取兩球，已知取出的兩個球中有一個黑球，求另一個球也是黑球的概率。

分析：對于本例，同學(xué)們在求解時往往會出現(xiàn)以下錯誤解法。

錯誤解法2：將“兩個球中有一個黑球”理解錯誤。設(shè)A1表示兩個球中有一個是黑球事件，A2表示兩個球中另一個是黑球事件，所求概率是在A1發(fā)生的條件下事件A2發(fā)生的概率，則

此種解法錯誤在于學(xué)生將“兩個球中有一個是黑球”理解為“兩球中恰有一個是黑球”導(dǎo)致P(A1)求解錯誤?！皟蓚€球中有一個是黑球”實際指的是“兩球中至少有一個是黑球”。

正確解法：設(shè)A1表示兩個球中有一個是黑球事件，A2表示兩個球中另一個是黑球事件，所求概率是在A1發(fā)生的條件下事件A2發(fā)生的概率，則

(二)積事件的概率與條件概率的理解錯誤。例6一罐中裝有a個黑球，b個白球，不放回的抽取兩球，每次任取一個，求第二次才取到黑球。

錯誤解法：對于這個問題，由于問題中有個“才”字，所以同學(xué)們都會注意到“第一次取的球肯定是白球”，但部分學(xué)生會犯下如下錯誤：

四、結(jié)語

古典概率與條件概率是概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程中兩個基礎(chǔ)的概率，大量后繼概率在這兩個概率的基礎(chǔ)上引申而來，且它們在實際問題中有著很廣泛的應(yīng)用。運用實例講解這兩個概率，不僅激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且也體現(xiàn)出概率論與數(shù)理統(tǒng)計來源于生活，回歸于生活的理念。通過列舉具體實例分析學(xué)生在學(xué)習(xí)這兩個概率過程中出現(xiàn)的典型錯誤，不僅能夠有效地提高教學(xué)質(zhì)量和教學(xué)效果，而且對每位初學(xué)者學(xué)好概率論與數(shù)理統(tǒng)計及它在自然科學(xué)和社會科學(xué)各個領(lǐng)域中的應(yīng)用具有重要的作用。