呂 梅

（浙江省杭州市下沙第一小學(xué)）

空間思維即空間思維能力。理解是一種快速、高效、復(fù)合式的高階思維，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)幾何空間意義有著極其重要的作用。它能幫助學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)，尋找有關(guān)空間問題，呈現(xiàn)完美的解決方案；對(duì)空間事物做出高效、迅速的判斷，呈現(xiàn)完整的思維過程，從而讓學(xué)生對(duì)幾何圖形的認(rèn)知更為深刻，助力其空間思維能力得到更好的發(fā)展。

一、小學(xué)數(shù)學(xué)空間思維的問題解析

空間觀念作為《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中的核心概念之一，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必備的基本技能。數(shù)學(xué)中空間觀念與空間思維是多方面的整體思維，要求學(xué)生在點(diǎn)、線、面、體的基礎(chǔ)上，通過多角度觀察信息、思考探究、合作交流等，建立起空間觀念。

然而我們的教學(xué)并不能完全達(dá)到這一目標(biāo)。這是五年級(jí)期末評(píng)價(jià)卷中的一道試題：

全校240 名學(xué)生的得分率在50%左右，對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤追本溯源，可以歸結(jié)為學(xué)生對(duì)二維與三維、平面與立體之間轉(zhuǎn)化缺失必要的能力。筆者認(rèn)為造成這一現(xiàn)象的原因主要是教師在進(jìn)行單元教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，存在著如下問題：

（一）缺乏單元與課時(shí)設(shè)計(jì)的整體架構(gòu)

當(dāng)前很多教師嘗試大單元設(shè)計(jì)，這有利于教師對(duì)教學(xué)單元知識(shí)的整體建構(gòu)與整合，但部分教師在單元設(shè)計(jì)時(shí)，過多追求大單元的宏觀目標(biāo)，忽視對(duì)課時(shí)教學(xué)目標(biāo)的細(xì)節(jié)敲打；缺少對(duì)課時(shí)內(nèi)容的深度整合，大單元教學(xué)更多停留在表象上，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)大單元學(xué)習(xí)內(nèi)容淺化，學(xué)生對(duì)課時(shí)重難點(diǎn)把握不準(zhǔn)。

（二）缺乏問題與特征轉(zhuǎn)化的變式

在長方體、正方體教學(xué)中，教師在教學(xué)時(shí)未能及時(shí)將前期學(xué)習(xí)的平面幾何知識(shí)與立體知識(shí)進(jìn)行比較、整合、遷移；對(duì)于生活情境中的幾何問題，只是圍繞問題分析問題，沒有將其與圖形本質(zhì)特征相聯(lián)結(jié)，導(dǎo)致學(xué)生做一題只會(huì)一題。

因此，培養(yǎng)學(xué)生的空間思維，既要重視單元主題教學(xué)，又要變革教學(xué)方式。為此，筆者從長方體和正方體的單元大概念出發(fā)，整體規(guī)劃各課時(shí)任務(wù)，借助凸顯二維與三維的轉(zhuǎn)換、厘清平面與立體的關(guān)系、溝通生活問題與圖形特征的關(guān)系，合理利用新舊知識(shí)的關(guān)聯(lián)，提出一條培養(yǎng)學(xué)生空間觀念的路徑。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)空間思維培養(yǎng)路徑的設(shè)計(jì)與實(shí)施

小學(xué)數(shù)學(xué)空間思維培養(yǎng)路徑的設(shè)計(jì)與實(shí)施，既要著眼于大單元設(shè)計(jì)，優(yōu)化各教學(xué)主題之間的聯(lián)系，形成比較完整的邏輯思維，又要精心設(shè)計(jì)教學(xué)方式，通過“變·辨·編”等多種手段，激活學(xué)生的思維和探究熱情，在深度學(xué)習(xí)與開闊視野中培養(yǎng)空間思維。

（一）“大單元設(shè)計(jì)”，主題融合，統(tǒng)整教學(xué)

所謂“大單元設(shè)計(jì)”，就是依據(jù)教材結(jié)構(gòu)和單元特點(diǎn)，整合單元學(xué)習(xí)內(nèi)容，形成序列、簡約、高效的學(xué)習(xí)邏輯的一種方式。教師要根據(jù)課標(biāo)要求、數(shù)學(xué)空間思維培養(yǎng)特點(diǎn)，深入解讀學(xué)情，提煉單元的具體概念，凸顯平面與立體的轉(zhuǎn)換，整體規(guī)劃單元學(xué)習(xí)任務(wù)。

1.基于學(xué)情，整體規(guī)劃單元內(nèi)容

精準(zhǔn)了解學(xué)情和教材特點(diǎn)，合理、科學(xué)整合單元主題，是開展大單元教學(xué)的重要前提。在常規(guī)的“長方體和正方體”教學(xué)中，學(xué)生對(duì)于二維與三維的轉(zhuǎn)換掌握得較弱。大單元設(shè)計(jì)可以通過主題整合、視圖情境、切割與疊加等方法，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)長方體、正方體與二維關(guān)系的轉(zhuǎn)化；探究表面積和體積，通過猜想、驗(yàn)證等活動(dòng)，發(fā)展學(xué)生的推理能力。為此，我們?cè)O(shè)計(jì)了“長方體和正方體”大單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)。教師根據(jù)班級(jí)情況與教材結(jié)構(gòu)，合理、科學(xué)地設(shè)計(jì)了大單元教學(xué)內(nèi)容、目標(biāo)和活動(dòng)。如下表所示：

內(nèi)容課時(shí) 學(xué)習(xí)目標(biāo) 設(shè)計(jì)理念長方體的認(rèn)識(shí)（第1 課時(shí)）1.認(rèn)識(shí)長方體點(diǎn)、線、面的特征；2.理解點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系通過制作長方體紙盒，在折疊想象中創(chuàng)設(shè)二維與三維的轉(zhuǎn)化途徑長方體視圖與還原、切割與疊加（第2 課時(shí)）1.通過長方體的視圖與還原、切割與疊加，加深對(duì)長方體棱、面匹配關(guān)系的再認(rèn)識(shí)；2.初步感受面動(dòng)成體，猜想長方體空間大小有關(guān)因素新增視圖還原、切割疊加活動(dòng)，創(chuàng)設(shè)二維與三維的轉(zhuǎn)換途徑長方體表面積（第3 課時(shí)）1.會(huì)利用長方體與長方形的關(guān)系解釋并計(jì)算表面積；2.能依據(jù)長方體特征，靈活解決實(shí)際問題凸顯猜想、驗(yàn)證、調(diào)整、再猜想的過程，強(qiáng)調(diào)操作與推理的融合正方體的展開圖（第4 課時(shí)） 在展開與還原的想象中發(fā)展空間觀念 新增正方體展開圖，在想象、驗(yàn)證中創(chuàng)設(shè)二維與三維的轉(zhuǎn)換途徑長（正）方體的表面積（第5 課時(shí)）1.通過猜測、驗(yàn)證理解正方體表面積計(jì)算方法，并訓(xùn)練掌握計(jì)算公式；2.通過比較分析、動(dòng)態(tài)演示，理解長方體表面積與正方體表面積計(jì)算方法的區(qū)別與聯(lián)系分類比較長方體表面積與正方體表面積的異同，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行二維與三維的轉(zhuǎn)換，并理解長方體各要素進(jìn)行變化時(shí)轉(zhuǎn)化成正方體的過程生活中的表面積問題（第6 課時(shí)）1.通過猜測、驗(yàn)證、動(dòng)態(tài)課件演示，溝通長方體各類表面積與長方形平面之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系；2.通過自編、討論、反思生活中的表面積問題，培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力學(xué)生在自編表面積問題中主動(dòng)思考生活與圖形之間的關(guān)系

本單元的學(xué)習(xí)內(nèi)容是學(xué)生系統(tǒng)學(xué)習(xí)立體圖形知識(shí)的起點(diǎn)，也是學(xué)生從二維空間向三維空間學(xué)習(xí)的開始。讓學(xué)生充分理解表面積、體積、容積的概念，參與公式的推導(dǎo)過程，培養(yǎng)主動(dòng)探究能力，能為他們后續(xù)學(xué)習(xí)其他立體圖形的相關(guān)知識(shí)打下良好的基礎(chǔ)。

2.圍繞概念，增加兩者轉(zhuǎn)換途徑

小學(xué)數(shù)學(xué)中很多概念及知識(shí)點(diǎn)之間存在著緊密的關(guān)聯(lián)性與互通性。概念教學(xué)是小學(xué)數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，需要教師巧妙的設(shè)計(jì)、多元的思維來解決。正如長方體和正方體的教學(xué)，可以嘗試通過“展開圖”理解表面積概念，重點(diǎn)解決兩者之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。這既可以讓學(xué)生了解“立體圖”與“展開圖”的關(guān)聯(lián)性，又能讓學(xué)生掌握“二維圖形”與“三維圖形”的變通性；既孕育了“空間思維”，又突破了難點(diǎn)，解決了重點(diǎn)。

（二）“變”式設(shè)計(jì)，深入推理，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)換

在小學(xué)，空間觀念以空間表象為主要表征形態(tài)，也包括一定的命題表征，并涉及空間知覺與初步的空間想象。因而，教師需要切入“變式設(shè)計(jì)”，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探索，這樣不僅有利于豐富他們的空間表象，提升其空間知覺，還能通過觀察、比較等方式來提升空間想象能力。

1.切—割—疊，融合設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)多樣轉(zhuǎn)換

五年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)主體思維仍然是以具體形象思維為主。因此，在教學(xué)中，教師要通過系列操作活動(dòng)，使圖形由“靜態(tài)”向“動(dòng)態(tài)”轉(zhuǎn)換，由“平體”向“立面”轉(zhuǎn)換。通過學(xué)具運(yùn)用和“切—割—疊”實(shí)踐活動(dòng)，體會(huì)長方體、正方體與其六個(gè)面變與不變的關(guān)系，揭示圖形之間的內(nèi)在規(guī)律。幫助學(xué)生在頭腦中建立“體切成面、面動(dòng)成體”的模型，有助于學(xué)生對(duì)空間的理解和應(yīng)用。

活動(dòng)中，學(xué)生通過觀察、操作、合作交流，進(jìn)一步架構(gòu)起面與體的橋梁，自然聯(lián)想到面與體具有互相轉(zhuǎn)換的關(guān)系，建立了空間觀念，體會(huì)了平面圖形與立體圖形的轉(zhuǎn)換。

2. 想—畫—驗(yàn)，操作推理，實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)轉(zhuǎn)換

空間觀念的建立就是要使學(xué)生在頭腦中具有清晰的幾何形體表象和與之相對(duì)應(yīng)的實(shí)物形象，實(shí)現(xiàn)二維與三維之間的精準(zhǔn)轉(zhuǎn)換。教師嘗試“想—畫—驗(yàn)”等方式，通過學(xué)習(xí)體驗(yàn)和動(dòng)手操作，增進(jìn)數(shù)學(xué)理解，達(dá)成空間思維的轉(zhuǎn)化。如“正方體展開圖”一課中的“想—畫—驗(yàn)教學(xué)主線”的設(shè)計(jì)，教師提供正方體紙盒、正方體展開圖等材料，學(xué)生通過觀察正方體模型和展開圖，思考、猜想，形成初步的表象；經(jīng)歷驗(yàn)證、分析、反思，總結(jié)出正方體展開圖與正方體之間的聯(lián)系，理解立體與平面、二維與三維之間的轉(zhuǎn)化。

通過想、畫、驗(yàn)有機(jī)融合，動(dòng)手操作與推理想象互相促進(jìn)發(fā)展，特別是借助操作進(jìn)行反思、調(diào)整的過程，學(xué)生對(duì)平面與立體進(jìn)行了精準(zhǔn)的轉(zhuǎn)化。

（三）“辨”式設(shè)計(jì)，深入探究，厘清關(guān)系

有比較就有思考，有比較就有思維的碰撞。課堂教學(xué)中比較、辨析可以起到畫龍點(diǎn)睛的作用，要幫助學(xué)生在比較中明晰數(shù)學(xué)本質(zhì)，在比較中深化認(rèn)知相關(guān)圖形。

1.在辨析中把握本質(zhì)

辨析是數(shù)學(xué)思維的重要內(nèi)容，也是空間思維的能力指向。學(xué)生對(duì)立體圖形的體積和面積存在認(rèn)知誤區(qū)，容易把體積和面積混淆，其根源在于學(xué)生對(duì)面積與體積的認(rèn)識(shí)不足。輔助辨析方法，結(jié)合生活情境，引導(dǎo)學(xué)生探討面積與體積的本質(zhì)差異，能夠有效加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)知，強(qiáng)化學(xué)生的空間思維，使其正確掌握面積和體積的用法。

設(shè)計(jì)長（正）方體體積與表面積的關(guān)系的探究問題：一個(gè)體積為64 立方厘米的長方體會(huì)是怎么樣的？一個(gè)神秘的長方體禮物的體積是 64立方厘米，那么包裝這個(gè)神秘禮物至少要多大的紙呢？目的是讓學(xué)生深入探究，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行有條理的記錄、分析、整理，最后得出正確的結(jié)論。

學(xué)生根據(jù)探究問題的要求，進(jìn)行猜想、驗(yàn)證，他們逐漸發(fā)現(xiàn)事實(shí)與猜想存在著差別。通過問題的探究、正反對(duì)比、辨析，有效地化解了學(xué)生對(duì)長方體、正方體體積與面積的認(rèn)識(shí)誤區(qū)，同時(shí)也使其掌握了圖形面積與體積上的本質(zhì)差異。

2.在貫通中體會(huì)實(shí)質(zhì)

學(xué)會(huì)觸類旁通、融合貫通，是數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)的重要指向。如長方體、正方體的表面積計(jì)算方法不是孤立的，兩者本質(zhì)上是一致的，都是求六個(gè)面的面積之和，但學(xué)生僅僅認(rèn)識(shí)到此還是不夠的，還須通過探尋兩種圖形的通用方法，解題時(shí)需要長方體、正方體側(cè)面積這一概念。借助展開圖推導(dǎo)并理解：長方體、正方體表面積=側(cè)面積+兩個(gè)底面積。借助展開圖引導(dǎo)學(xué)生思考：長方體表面積計(jì)算方法與正方體表面積計(jì)算方法有什么不同？能否用一個(gè)計(jì)算公式計(jì)算長（正）方體的表面積？借助長方體、正方體與其展開圖的對(duì)比，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)：“底面周長×高+兩個(gè)底面積”就是計(jì)算表面積通用公式。

通過驗(yàn)證、反思，在計(jì)算長方體、正方體的表面積時(shí)，不只停留在六個(gè)面面積的相加上，在解決問題時(shí)能根據(jù)實(shí)際情況靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)。

（四）“編”式設(shè)計(jì)，深探差異，達(dá)成轉(zhuǎn)換

教師通過引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合生活情境，進(jìn)行由淺入深、由單一圖形計(jì)算到綜合性問題的編題訓(xùn)練，讓學(xué)生靈活地運(yùn)用課堂上所學(xué)知識(shí)，仿編、創(chuàng)編，形成舉一反三、觸類旁通的創(chuàng)新能力，在編題中發(fā)展空間思維。

1.我選我做，進(jìn)階練習(xí)，在挑戰(zhàn)中明確本質(zhì)

進(jìn)階思維是數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)的重要方法。設(shè)計(jì)有梯度的練習(xí)，能夠讓學(xué)生在不斷深入思考中獲得進(jìn)階式學(xué)習(xí)。如設(shè)計(jì)“魚缸中的數(shù)學(xué)問題”活動(dòng)，教師提供數(shù)學(xué)信息、設(shè)計(jì)情境和進(jìn)階學(xué)習(xí)任務(wù)：一長方體魚缸，長8 分米、寬4 分米、高5 分米，魚缸內(nèi)水面距離缸口1 分米。課前請(qǐng)學(xué)生自編關(guān)于魚缸的數(shù)學(xué)問題，教師把自編題分類整理成表，學(xué)生自己選擇難度挑戰(zhàn)解決。學(xué)生通過編題、解題、比較一系列進(jìn)階式練習(xí)，體會(huì)到復(fù)雜的圖形問題背后都能剝離出長方體的基礎(chǔ)知識(shí)。

2.緊扣錯(cuò)因，創(chuàng)編學(xué)單，在“反思”中達(dá)成轉(zhuǎn)化

尋找錯(cuò)因、學(xué)會(huì)反思，是空間思維培養(yǎng)的重要舉措。在階段學(xué)習(xí)或單元學(xué)習(xí)后，通過設(shè)計(jì)自我反思單、反思錯(cuò)誤點(diǎn)、自編糾錯(cuò)題等，引導(dǎo)學(xué)生在分析錯(cuò)因、梳理正確思路、自編新問題的過程中，不斷強(qiáng)化圖形與生活的聯(lián)系，在反思中提升數(shù)學(xué)思維能力。

如本單元結(jié)束階段設(shè)計(jì)活動(dòng)“我是復(fù)習(xí)小老師”，目的是讓學(xué)生通過對(duì)長（正）方體單元復(fù)習(xí)探究、反思，進(jìn)一步對(duì)單元知識(shí)進(jìn)行提煉、反思、總結(jié)。學(xué)生通過小組合作，呈現(xiàn)了單元思維導(dǎo)圖、回顧分析單元典型題例、單元錯(cuò)題分析以及創(chuàng)編的習(xí)題等。

進(jìn)行單元學(xué)習(xí)的反思，在梳理單元知識(shí)樹的同時(shí)，反思自己在單元學(xué)習(xí)中有關(guān)生活問題的典型錯(cuò)題，把問題與圖形進(jìn)行多次的聯(lián)系。學(xué)生可以根據(jù)自己或同學(xué)錯(cuò)誤率高的題進(jìn)行創(chuàng)編，對(duì)于自己設(shè)計(jì)的題印象就深刻了。

三、結(jié)語

通過研究，筆者在提煉單元具體概念、整體規(guī)劃單元學(xué)習(xí)內(nèi)容中提高了教材解讀的能力。在多維變形中豐富實(shí)踐與推理的體驗(yàn)，在多樣辨析中厘清二維與三維的聯(lián)系與區(qū)別，在花樣編題中加強(qiáng)圖形特征與生活實(shí)際的聯(lián)系的教學(xué)中，滿足不同層次學(xué)生的不同需求，讓不同層次的學(xué)生獲得相應(yīng)的發(fā)展，幫助學(xué)生建立起正確的空間思維觀念，提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力。