陸建英

【摘? ?要】“平行與垂直”的教學(xué)路徑有多條，最常見的是引導(dǎo)學(xué)生通過對任意兩條直線的分類，逐步抽象概括概念。教師基于對學(xué)生前測情況的分析，對常規(guī)教學(xué)路徑進行了調(diào)整，以“學(xué)生心目中的平行（垂直）”為起點展開教學(xué)，通過組織學(xué)生進行展示交流、辨析質(zhì)疑等活動，逐步完善學(xué)生對概念內(nèi)涵的理解，并最終引領(lǐng)學(xué)生實現(xiàn)對概念的關(guān)系化理解，為“平行與垂直”的教學(xué)提供了一條可實施的教學(xué)之路。

【關(guān)鍵詞】平行;垂直;學(xué)習(xí)起點;以學(xué)定教

【課前思考】

“平行與垂直”屬于“圖形與幾何”領(lǐng)域的內(nèi)容，研究的是同一平面內(nèi)兩條直線的特殊位置關(guān)系。教材提供的教學(xué)路徑是：①請學(xué)生嘗試在一張紙上任意畫出兩條直線;②引導(dǎo)學(xué)生通過觀察，對所畫圖形進行分類，引出相交和不相交兩個概念;③在不相交的基礎(chǔ)上建構(gòu)平行概念;④通過測量兩條直線之間的距離學(xué)習(xí)垂直概念。這一路徑基于知識的邏輯起點展開，學(xué)生較充分地經(jīng)歷了概念的形成過程。但知識的邏輯起點不等同于學(xué)生學(xué)習(xí)的序列起點，為了解學(xué)生對“平行與垂直”有哪些前概念，對某校四年級324名學(xué)生進行了前測，前測分A、B組進行，測試題和結(jié)果如表1。

從前測結(jié)果看，學(xué)生對這兩個概念有一定的認識，A組學(xué)生因為可以借助格子圖表達理解，所以整體表現(xiàn)略好于B組。對能正確畫出平行線的學(xué)生進行訪談發(fā)現(xiàn)：A組學(xué)生借助格子圖，能夠從距離的維度判斷兩條直線是否平行，描述比較規(guī)范。B組學(xué)生則更多地從方向的角度闡述兩條直線是否平行，在描述對平行的理解時很難做到表述清晰。同時發(fā)現(xiàn)，或許是受到日常生活經(jīng)驗和舊有概念、字面意思等的影響，學(xué)生對“平行與垂直”存在著錯誤的前概念，如認為平行是一條平的線，垂直是一條豎直的線，等等。

根據(jù)前測分析得出，以下幾個問題值得關(guān)注：①學(xué)生表達心目中的平行和垂直，使用方格圖是否比使用白紙更有價值？②采用怎樣的方式，能讓學(xué)生對錯誤的前概念進行重點分析，構(gòu)建正確的認知？③如何溝通垂直、平行、相交三者之間的關(guān)系，促進概念的內(nèi)化？

結(jié)合課前思考，決定通過挖掘?qū)W生原有認知，調(diào)動學(xué)生多種感官，重新設(shè)計教學(xué)路徑：暴露學(xué)生心目中的平行與垂直—師生探討完善平行概念—學(xué)生自主建構(gòu)垂直概念—練習(xí)中建構(gòu)概念關(guān)系。以引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷嘗試、探究、發(fā)現(xiàn)的過程，讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主人。

【教學(xué)實踐】

（一）基于學(xué)生前概念，完善平行線認知

1.引入

師：同學(xué)們，昨天請大家畫一畫自己心目中的平行線，主要有以下幾種畫法（出示圖1），誰來說說你畫的是哪一種，你是怎么想的？

2.交流

生1：我畫的和作品A一樣，我覺得平行就是一條平平的線。

生2：平行線應(yīng)該有兩條吧，要不它和誰平行呢？

生3：你畫的是一條直線，如果它是平行線，那為什么還叫它直線呢？

師：看來大家對把這樣一條直線看成平行線有不同的意見。

生4：我畫的和作品B一樣，我覺得平行就是平行四邊形。

生5：我畫的和作品C一樣，我覺得平行就是兩條線，它們和操場上直直的跑道一樣，無論怎樣都不會碰到一起。

生6（明知故問）：你怎么證明這兩條線不會碰到一起呢？

生5：這兩條線之間一直保持一個格子的寬度，肯定不會碰到！

3.逐步完善平行線概念

師：你們覺得今天要研究的平行是哪個作品呢？（作品C）看來同學(xué)們對平行線已經(jīng)有了自己的一些了解。（課件呈現(xiàn)一組平行線，如圖2）讓我們一起來想象一下，如果這兩條直線延長下去，它們會相交嗎？（不會）在數(shù)學(xué)上，像這樣不相交的兩條直線稱為平行線，也可以說這兩條直線互相平行。誰能說說，兩條平行線為何不會相交？

生1：這兩條直線之間始終是兩個格子的寬度，所以不會相交。

生2：如果兩條直線中間是3個格子，也是平行線，只要格子數(shù)量始終相同，就不會相交。

教師隱去格子圖，對上圖中的平行線進行旋轉(zhuǎn)（如圖3-1），追問：現(xiàn)在這兩條直線還平行嗎？現(xiàn)在呢（如圖3-2）？

生3：還是平行的，因為不管怎么旋轉(zhuǎn)，延長后它們始終不會相交。

師：你們的意思是只要這兩條直線永遠不相交，它們就是平行線了，對嗎？

生3：對！

師：一定是這樣嗎？

教師出示魔方和兩支鉛筆（如圖4-1），追問：把這兩支鉛筆想象成兩條直線，它們的位置關(guān)系屬于什么？

生4：互相平行。

師：轉(zhuǎn)動后（如圖4-2），現(xiàn)在這兩條直線會相交嗎？

生5：不會。

師：根據(jù)剛才的結(jié)論，兩條不相交的直線叫作平行線，那么這兩條直線也不相交，所以它們也是平行線，你們同意嗎？

生6：不同意，這肯定不能叫平行線。

生3：我明白了，這兩條直線現(xiàn)在不在同一個平面了，平行線必須在同一平面內(nèi)。

（設(shè)計意圖：以上教學(xué)基于學(xué)生“心目中的平行”，先利用學(xué)生已有的認知，引導(dǎo)學(xué)生通過交流、辨析、質(zhì)疑，去偽存真，引出平行線概念，再借助格子圖幫助學(xué)生獲得對平行線本質(zhì)的直觀理解，接著通過旋轉(zhuǎn)變式促使學(xué)生對平行的理解由特殊走向一般，最后巧用魔方突破“同一平面”這一難點，使概念嚴(yán)謹化。）

4.在判斷平行中引出相交

教師呈現(xiàn)練習(xí)（圖5-1至圖5-4），在學(xué)生正確判斷的基礎(chǔ)上追問：

（1）如果改變圖5-3中一條直線的方向，這兩條直線之間會是什么關(guān)系？（兩條直線相交）

（2）圖5-4中的兩條直線平行嗎？如果不平行，它們大約會在什么位置相交？（課件演示延長后相交）

（設(shè)計意圖：概念的認識是一個逐步明晰、逐漸完善的過程，即時練習(xí)可以幫助學(xué)生自我修正、自我完善，是一種有效的學(xué)習(xí)方法。練習(xí)中變換平行線中一條直線的位置引出相交，過渡自然，并為后續(xù)垂直的學(xué)習(xí)做好了鋪墊。）

（二）基于學(xué)生自學(xué)力，建構(gòu)垂直概念

1.引入垂直

教師呈現(xiàn)學(xué)生畫的“垂直”的作品（如圖6），提問：大家畫的“垂直”到底對不對呢？請自學(xué)書本（人教版教材四年級上冊第57頁），相信你們會有新的收獲！

反饋中明確：垂直是兩條直線相交成直角，所以只有作品C中的兩條直線互相垂直。

2.自學(xué)反饋

師：垂直中還有很多小秘密，誰來當(dāng)當(dāng)小老師，考考大家？

隨機請“小老師”提問，請其他同學(xué)回答：①你們知道什么是垂足嗎？②垂直的數(shù)學(xué)符號怎么寫？之后，請學(xué)生標(biāo)注a，b，并請一位同學(xué)上來寫一寫。

3.練習(xí)

教師用課件動態(tài)演示“垂直”的變式情況，豐富學(xué)生對垂直的認識（如圖7）。

小結(jié)：垂直是要看兩條直線是否相交成直角，與擺放的方向和位置無關(guān)。

（設(shè)計意圖：讓“小老師”根據(jù)自學(xué)所得和同學(xué)進行互動，比簡單地問“你學(xué)到了什么”更能激勵學(xué)生。教師通過垂直的變式練習(xí)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷想象、推理等過程，讓學(xué)生在運動變化中明晰垂直的本質(zhì)屬性，助力學(xué)生建構(gòu)空間觀念。）

（三）練習(xí)中溝通概念關(guān)系

1.基本練習(xí)，明確關(guān)系

教師呈現(xiàn)幾組直線，請學(xué)生判斷哪幾組互相平行，哪幾組互相垂直，并在練習(xí)紙上填一填。學(xué)生填寫后，教師引導(dǎo)學(xué)生邊反饋邊分類，并用集合圈表示出來（如圖8）。

師：請你根據(jù)集合圖說說平行、相交和垂直之間的關(guān)系。

生1：垂直是相交的一部分，相交的圖形中包含了垂直。

生2：同一平面內(nèi)兩條直線的關(guān)系可以分成平行和相交，兩條直線相交不一定互相垂直，但是兩條直線互相垂直，就一定是相交。

（設(shè)計意圖：這一練習(xí)的設(shè)計不僅讓學(xué)生判斷平行與垂直，鞏固基本概念，還借助材料幫助學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)相交、垂直、平行之間的聯(lián)系和區(qū)別，促進學(xué)生對概念的理解從分析水平走向關(guān)系水平。）

2.活動練習(xí)，豐富經(jīng)驗

數(shù)學(xué)小游戲：用兩根手指比畫平行與垂直。

3.觀察練習(xí)，建立聯(lián)系

教師課件演示，先出示一組平行線，然后旋轉(zhuǎn)其中的一條直線，讓兩條直線之間的關(guān)系逐步變?yōu)橄嘟?，特殊相交（垂直），再重回平行。學(xué)生在觀察的過程中，感受兩條直線位置之間的關(guān)系。

（設(shè)計意圖：以上練習(xí)能夠培養(yǎng)學(xué)生“用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界”的意識，有效發(fā)展學(xué)生的空間觀念，幫助學(xué)生加強概念之間的聯(lián)系。）

【教學(xué)反思】

（一）改造“平行與垂直”前概念，推動自主學(xué)習(xí)

本節(jié)課的教學(xué)，通過前測摸準(zhǔn)了學(xué)生學(xué)習(xí)的現(xiàn)實起點，充分關(guān)注學(xué)生已有的生活經(jīng)驗和知識基礎(chǔ)，培養(yǎng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)自主性。主要體現(xiàn)在：第一，以“學(xué)生心目中的平行（垂直）”為教學(xué)切入點，充分暴露學(xué)生的原有認知。學(xué)生的前概念雖然有不完備之處，但卻是學(xué)生的真實認知，與學(xué)生的心理距離很近，而前概念的不完備性恰恰又是學(xué)生相互交流、辨析、質(zhì)疑的有效素材，能最終促進其概念的完善。第二，整個教學(xué)過程中，教師注重發(fā)揮學(xué)生的主體地位，強調(diào)學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性和獨立性，通過自學(xué)和“小老師”的介紹引發(fā)所有學(xué)生的共鳴和疑惑，讓學(xué)生經(jīng)歷思維的碰撞，從而獲得對平行與垂直的深度理解。第三，幾項練習(xí)既幫助學(xué)生建立了知識與生活間的聯(lián)結(jié)，又激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和創(chuàng)造性，促進學(xué)生的概念理解走向深入。

（二）重視空間想象，促進能力培養(yǎng)

在數(shù)學(xué)教學(xué)活動中教師應(yīng)當(dāng)重視并通過多種途徑培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力。本節(jié)課中教師引導(dǎo)學(xué)生進行了多次積極的實踐嘗試：①對平行線延長后不相交的情況進行想象;②利用魔方引導(dǎo)學(xué)生進行觀察、對比，想象同一平面與不同平面中兩條直線的位置關(guān)系，認識到不相交的兩條直線不一定是平行線，一定要補上“同一平面內(nèi)”這個條件;③對看似沒有相交、實際卻相交的兩條直線進行想象，推測并驗證它們延長后的交點;④對相互平行或垂直的兩條線進行旋轉(zhuǎn)或變化，通過對變式圖形與標(biāo)準(zhǔn)圖形的比較，深化對概念的本質(zhì)理解。由此，學(xué)生的空間想象能力得到了進一步的提升。

在“圖形與幾何”領(lǐng)域的學(xué)習(xí)中，教師要積極調(diào)動學(xué)生的多種感官參與學(xué)習(xí)，既要重視學(xué)生的實踐操作，更要引導(dǎo)學(xué)生觀察、比較、想象和進行數(shù)學(xué)抽象;既要為學(xué)生提供標(biāo)準(zhǔn)圖式，又要呈現(xiàn)各種變式，把培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力落到實處。

（三）夯實概念內(nèi)涵，建構(gòu)概念聯(lián)系

從前測情況看，大部分學(xué)生對“平行與垂直”的概念理解停留在直觀水平。教師以此為教學(xué)起點，通過展示、交流、辨析、質(zhì)疑等活動，逐步完善學(xué)生對概念的理解，使學(xué)生對概念的理解走向要素水平。但明確概念內(nèi)涵、分化相關(guān)概念并非本課教學(xué)的最終追求，求異的目的實為求聯(lián)，學(xué)生通過學(xué)習(xí)實現(xiàn)對概念的關(guān)系化理解。教學(xué)中設(shè)計的一系列練習(xí)活動，在豐富學(xué)生對概念內(nèi)涵理解的同時，最終建構(gòu)了三個概念間的并列、包含關(guān)系，切實促進學(xué)生的認知從要素水平走向關(guān)系水平。

參考文獻：

[1]朱國榮.教無定法 殊途同歸：《平行與垂直》同課異構(gòu)的對比分析[J].小學(xué)教學(xué)設(shè)計，2015（10）.

[2]鄭水忠.小學(xué)兒童學(xué)幾何[M].上海：上海教育出版社，2017.

（浙江省寧波國家高新區(qū)外國語學(xué)校? ?315048）