吳敏霞 趙雨晴 鞏子坤

【摘? ?要】對51名學(xué)生開展從一年級到三年級的縱向追蹤調(diào)查，利用符號意識測查問卷探索他們符號意識的發(fā)展特點(diǎn)。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，小學(xué)低段學(xué)生符號意識的四個維度（符號理解、符號表示、符號運(yùn)算、符號推理）之間均存在顯著性差異，且三個年級學(xué)生的符號意識發(fā)展特點(diǎn)均表現(xiàn)為：符號理解維度掌握得最好，符號運(yùn)算維度次之，然后是符號推理維度，符號表示維度掌握得最差。學(xué)生在各個維度的表現(xiàn)為：在符號理解中，學(xué)生對關(guān)系符號的理解最差;在符號運(yùn)算中，學(xué)生僅將等號當(dāng)作運(yùn)算符號，沒能將等號看作關(guān)系符號;在符號推理中，學(xué)生在發(fā)現(xiàn)規(guī)律的情況下，也不能用符號正確表示出來;在符號表示中，學(xué)生僅局限于符號與數(shù)的一一對應(yīng)關(guān)系，不理解符號可以表示一類數(shù)，不會用符號表示數(shù)量關(guān)系。

【關(guān)鍵詞】一至三年級學(xué)生;符號意識;特點(diǎn)

一、引言

“數(shù)學(xué)就是符號加邏輯?！睌?shù)學(xué)符號作為數(shù)學(xué)語言，是傳播數(shù)學(xué)的媒介和工具。它可以將復(fù)雜的事物簡單化，將具體的事物抽象化，有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，解決數(shù)學(xué)問題。因此，培養(yǎng)學(xué)生的符號意識至關(guān)重要。

“符號意識”最初以“符號感”一詞出現(xiàn)在《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗稿）》中，這一用詞引發(fā)了學(xué)者們的爭議[1-3]，直接推動了“符號意識”的發(fā)展。Fey、Arcavi、Pierce和Kinzel等國外學(xué)者分別從技能、行為、洞察、能力等角度給符號意識下定義。[4-5]朱立明和馬云鵬[6]、李艷琴和宋乃慶[7]等國內(nèi)學(xué)者也對《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出的符號意識具體表現(xiàn)發(fā)表見解，黃翔、郭夏蓉等學(xué)者進(jìn)一步對符號意識進(jìn)行成分劃分。[8-10]基于學(xué)者們對符號意識的內(nèi)涵和構(gòu)成要素的解讀，本研究將符號意識定義為“學(xué)生在理解數(shù)學(xué)符號，運(yùn)用符號進(jìn)行表示、運(yùn)算、推理等一系列抽象活動過程中表現(xiàn)出的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”，并將符號意識分為符號理解、符號表示、符號運(yùn)算、符號推理四個維度，據(jù)此編制高信度、高效度的符號意識測查問卷。

綜上，本研究以義務(wù)教育一至三年級的學(xué)生為研究對象，通過問卷測查，考察中低段學(xué)生的符號意識發(fā)展特點(diǎn)。本研究期望基于中低段學(xué)生的符號意識特點(diǎn)，為學(xué)生符號意識的早期培養(yǎng)提供指導(dǎo)。

二、研究設(shè)計

（一）研究對象

本研究從杭州市某小學(xué)一年級8個班中隨機(jī)抽取了75名學(xué)生為研究對象，并追蹤調(diào)查至三年級。由于追蹤過程中的不確定因素（學(xué)生中途轉(zhuǎn)學(xué)、個人原因未參與某項測試等），本次研究的對象最終確定為51名學(xué)生。其中，男生30人，女生21人。

（二）研究工具

1.測查問卷

本研究使用了兩套測查問卷，一年級測查問卷記為問卷一，二、三年級測查問卷記為問卷二。由于本研究是呂婷研究的拓展，因此問卷一引用了呂婷編制的一年級符號意識測查問卷[11]，包含4個一級維度、8個二級維度。問卷二是在數(shù)學(xué)教育專家、小學(xué)教研員及一線教師的指導(dǎo)下編制而成的，包含4個一級維度、9個二級維度、12個三級維度，該問卷結(jié)構(gòu)及操作性定義如表1所示。

問卷二與問卷一相比，符號表示、符號運(yùn)算、符號推理三個維度考察的內(nèi)容大體一致。而在符號理解維度上，問卷一考察對數(shù)字符號的理解和對關(guān)系符號的理解，問卷二考察對數(shù)字符號的理解、對關(guān)系符號的理解和對運(yùn)算符號的理解，同時又將對數(shù)字符號的理解細(xì)分為對整數(shù)的理解、對分?jǐn)?shù)的理解和對小數(shù)的理解;對關(guān)系符號的理解細(xì)分為對比較關(guān)系符號的理解和對等于關(guān)系符號的理解。

2.問卷信度

采用問卷一對一年級學(xué)生進(jìn)行測試，采用問卷二分別對二、三年級學(xué)生進(jìn)行測試。經(jīng)信度分析，兩份符號意識測查問卷均具有較好的內(nèi)部一致性信度（見表2）。

（三）數(shù)據(jù)處理

由于一年級學(xué)生與二、三年級學(xué)生使用的符號意識問卷不同，為使三個年級的分?jǐn)?shù)具有可比性，故需借助等百分位等值方法進(jìn)行測驗等值。[12-13]因此，在錄入各題得分后，進(jìn)行分?jǐn)?shù)等值轉(zhuǎn)換，以研究三個年級學(xué)生的符號意識特點(diǎn)。

三、符號意識特點(diǎn)

（一）總體符號意識特點(diǎn)

為從總體上探查符號意識各維度的特點(diǎn)，將三個年級學(xué)生各維度得分分別相加，并求各維度的得分均值。對符號意識各維度得分進(jìn)行描述性統(tǒng)計，結(jié)果如表3所示。

從表中數(shù)據(jù)可以看出，學(xué)生在各維度上的得分差距較大，可見學(xué)生在各維度上的符號掌握情況不均衡。為進(jìn)一步探查學(xué)生在四個維度上的得分是否存在顯著性差異，對四個維度的得分進(jìn)行重復(fù)測量方差分析。結(jié)果顯示，四個維度之間存在顯著性差異，[F（1.824，91.181）= 378.356，p < 0.01]，進(jìn)一步兩兩比較發(fā)現(xiàn)，任意兩個維度之間均存在顯著性差異（p < 0.01）。因此，從總體上看，學(xué)生符號意識的四個維度處于不同的難度水平。結(jié)合各維度均值得分可知，四個維度水平從低到高為：符號理解、符號運(yùn)算、符號推理、符號表示。

不同年級學(xué)生四個維度之間是否都存在顯著性差異呢？研究結(jié)果顯示，不論哪一個年級，四個維度之間均存在顯著性差異，且任意兩個維度之間均存在顯著性差異（p < 0.01）。

（二）各維度符號意識特點(diǎn)

1.符號理解維度

（1）對數(shù)字符號的理解。

問卷一題目：“54”是由_____個十和_____個一組成的。

問卷二題目：在三位數(shù)698中，減去5個“十”后，得到的數(shù)是_______________________。

從得分率上看，一、二、三年級得分率分別為94%、92%、96%，得分率都很高。可見，學(xué)生對數(shù)字符號的理解都很好。

（2）對關(guān)系符號的理解。

問卷一題目：△<3，△表示的數(shù)有___________________________。

問卷二題目：△<6，△表示的數(shù)有_______________________________。

從得分率上看，一、二、三年級得分率分別為21%、59%、65%。盡管二、三年級得分率較高，但與一年級存在共同錯誤之處，他們理解了大于號和小于號的意義，但答題不夠嚴(yán)謹(jǐn)，漏寫0的學(xué)生較多。

（3）對運(yùn)算符號的理解。

問卷一題目：請你寫一個能用“2 + 1 = 3”來解決的數(shù)學(xué)問題：______________________。

問卷二題目：請你寫一個能用“2×3+1=7”來解決的數(shù)學(xué)問題（可以畫圖，也可以用文字表示）：_____________________。

從得分率上看，一、二、三年級得分率分別為68%、69%、63%?？梢?，學(xué)生對運(yùn)算符號的理解較好，且都能用畫圖、文字描述等多種方式表示。

2.符號表示維度

（1）符號表示數(shù)。

問卷一題目：明明家的門牌號是55735，表示他家住在五號樓五單元七幢三樓的五號。陽陽家住在八號樓三單元九幢七樓的六號，陽陽家的門牌號是_______________________。

問卷二題目：明明家的門牌號是5-1-702，表示他家住在五棟一單元702室。陽陽家住在九棟三單元501室，陽陽家的門牌號是___________。

從得分率上看，一、二、三年級得分率分別為33%、73%、80%。盡管題目前有示例，一年級學(xué)生還是不能很好地理解這類數(shù)的表示方式，而二、三年級能很好地進(jìn)行知識遷移，理解編碼的實(shí)質(zhì)，從而會用符號表示數(shù)。

（2）符號表示數(shù)量關(guān)系。

問卷一題目：李明的爸爸買了￡個蘋果，媽媽回來后吃了1個蘋果，李明放學(xué)回來后又吃了△個，這時還剩（ ）個蘋果。

問卷二題目：李明的爸爸買了◆個蘋果，媽媽回來后吃了1個蘋果，李明放學(xué)回來后吃了▼個蘋果，還剩下（ ）個蘋果。

從得分率上看，一、二、三年級得分率分別為4%、8%、16%，雖然一至三年級的得分率呈上升趨勢，但整體得分率較低。大部分學(xué)生對符號進(jìn)行了賦值。從他們的答案來看，賦值為多少在他們心中沒有統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，表明他們并不理解符號也可以表示一類數(shù)，即符號可作為結(jié)果來表示。

3.符號運(yùn)算維度

（1）具體運(yùn)算。

問卷一題目：□+ 4 = ○- 3，□ = 1 ，○ =______________。

問卷二題目：□+ 4 = ○- 3，□ = 7 ，○ =______________________。

從得分率上看，一、二、三年級得分率分別為31%、69%、63%。出錯的學(xué)生大多不理解等號可以表示等量關(guān)系，沒有將“□+ 4”和“○- 3”進(jìn)行等量連接，而是認(rèn)為“○”可以直接由“□+ 4”計算得到，所以計算出答案為11。更多的學(xué)生能夠計算出“□+ 4”為11，但是在計算“11=○- 3”時，沒有厘清數(shù)量之間的關(guān)系，認(rèn)為“○”是“11-3”，所以計算出答案為8。對于此類題，學(xué)生通常對等號理解不準(zhǔn)確，或?qū)?shù)量關(guān)系理解不準(zhǔn)確。

（2）抽象運(yùn)算。

問卷一題目：☆ + △△ = ○ - △，

○ = △△△△ ，

☆ = ______________。

問卷二題目：★ + ▼▼ = ◎ - ▼ ，

◎ = ▼▼▼▼▼ ，

★ =__________________。

從得分率上看，一、二、三年級得分率分別為12%、53%、51%，其錯誤原因與具體運(yùn)算存在相似之處。

4.符號推理維度

（1）合情推理。

問卷一題目： 通過計算我們可以知道：1 + 2 = 2 + 1 ，3 + 4 = 4 + 3 ， 5 + 6 = 6 + 5 ，請你用“□”和“△”來表示上述計算的規(guī)律______________________。

問卷二題目 ：通過計算我們可以知道： （2 + 3）+ 7 = 2 +（3 + 7），（1 + 6）+ 4 = 1 +（6 + 4），（8 + 9）+ 5 = 8 +（9 + 5），那么，（○+◇）+ ☆ =_____________________。

從得分率上看，一、二、三年級得分率分別為33%、43%、29%，三個年級的得分率較為接近。從測試中看出，大部分學(xué)生不懂如何用字母表示規(guī)律，而填了具體的數(shù)。

（2）演繹推理。

問卷一題目：美術(shù)課上小明、小黃和小紅三位同學(xué)分別畫了三種圖形：□、△和☆。三位同學(xué)畫的都不一樣。小明畫的是☆，小黃沒有畫△，小紅畫的圖形是__________________。

問卷二題目：有P、O、M、A四個自然數(shù)，其中P>O，M>A，O>M。那么最大的自然數(shù)是__________________。

從得分率上看，一、二、三年級得分率分別為31%、80%、76%，二、三年級的得分率遠(yuǎn)高于一年級。

四、分析與討論

不論是從三個年級總體來看，還是從各個年級分別來看，學(xué)生的符號意識在四個維度上處于不同的難度水平，且三個年級學(xué)生的符號意識特點(diǎn)均表現(xiàn)為：符號理解維度掌握得最好，符號運(yùn)算維度次之，然后是符號推理維度和符號表示維度。

從符號理解維度看，學(xué)生對數(shù)字符號的理解最好，十進(jìn)制計數(shù)法和計數(shù)單位等知識掌握得扎實(shí)。對運(yùn)算符號的理解次之，盡管大部分學(xué)生能夠想到用多種不同類型的問題對算式進(jìn)行提問，但部分學(xué)生對運(yùn)算符號的理解不夠透徹，不能正確理解數(shù)量之間的關(guān)系，只能描述其表面意思。最后是對關(guān)系符號的理解，對大于、小于等比較關(guān)系的符號理解不夠全面，以致出現(xiàn)回答不完整、答案遺漏的情況。

從符號表示維度看，學(xué)生對用符號表示數(shù)的掌握優(yōu)于用符號表示數(shù)量關(guān)系。學(xué)生有能力找到符號與數(shù)之間的一一對應(yīng)關(guān)系，因而會用符號表示數(shù)。但大部分學(xué)生無法理解在用符號表示數(shù)量關(guān)系時符號可以表示一類數(shù)。他們習(xí)慣于給符號賦一個確定的值，讓符號與數(shù)之間建立起一一對應(yīng)關(guān)系，且具體賦值多少每個學(xué)生想法不一。

從符號運(yùn)算維度看，學(xué)生對等量關(guān)系的理解不準(zhǔn)確，不論是具體運(yùn)算還是抽象運(yùn)算，都很難準(zhǔn)確利用符號進(jìn)行運(yùn)算。顯然，部分學(xué)生沒有關(guān)注到等號既是運(yùn)算符號，又是關(guān)系符號，它能表示等號兩邊式子的等量關(guān)系。他們僅將等號看作運(yùn)算符號，只關(guān)注等號左邊的式子與等號右邊且靠近等號的數(shù)或符號的關(guān)系，而忽略等號右邊整體的式子。

從符號推理維度看，學(xué)生對演繹推理的掌握優(yōu)于合情推理。學(xué)生更擅長利用符號進(jìn)行演繹推理，從一般規(guī)律中推理出特殊情況。而在合情推理中，盡管學(xué)生能從特例中推理出一般規(guī)律，但不能準(zhǔn)確地用符號表示出來，甚至有些學(xué)生還認(rèn)為得到的規(guī)律是一個數(shù)。

五、結(jié)論與建議

（一）結(jié)論

1.學(xué)生總體符號意識特點(diǎn)

小學(xué)一至三年級學(xué)生符號意識的四個維度（符號理解、符號表示、符號運(yùn)算、符號推理）之間均存在顯著性差異，即四個維度處于不同的水平，且符號意識特點(diǎn)均表現(xiàn)為：符號理解維度掌握得最好，符號運(yùn)算維度次之，然后是符號推理維度和符號表示維度。

2.學(xué)生各維度符號意識特點(diǎn)

在符號理解維度上，學(xué)生對數(shù)字符號、運(yùn)算符號掌握得較好，而對關(guān)系符號的理解不夠全面。在符號表示維度上，學(xué)生局限于符號與數(shù)的一一對應(yīng)關(guān)系，無法建立符號與數(shù)的正確關(guān)系，學(xué)生理解符號可以表示數(shù)，卻很難理解符號可以表示數(shù)量關(guān)系。在符號運(yùn)算維度上，學(xué)生理解等量關(guān)系的能力較弱，等號既是一個運(yùn)算符號，也是一個關(guān)系符號，而學(xué)生通常僅將等號看作運(yùn)算符號。在符號推理維度上，學(xué)生利用符號進(jìn)行合情推理的能力較差。

（二）建議

1.結(jié)合學(xué)生的發(fā)展特點(diǎn)有效教學(xué)

對于學(xué)生來說，接觸的數(shù)學(xué)符號較少，認(rèn)識以及理解這些數(shù)學(xué)符號較簡單。但使用符號對特定對象進(jìn)行表示，難度較大，即使學(xué)生已經(jīng)理解數(shù)量之間的關(guān)系，但思維還是僅局限于用符號表示具體的數(shù)，不明白符號還可以表示一類數(shù)。因此，在教學(xué)過程中要結(jié)合學(xué)生的發(fā)展特點(diǎn)，著重發(fā)展學(xué)生的符號表示能力。

2.結(jié)合具體情境培養(yǎng)學(xué)生的符號意識

理解符號是學(xué)生使用符號進(jìn)行表示、運(yùn)算、推理的基礎(chǔ)，因此培養(yǎng)學(xué)生理解符號的能力非常重要。只有讓學(xué)生經(jīng)歷從具體情境到數(shù)學(xué)符號的抽象過程，才能更好地理解數(shù)學(xué)符號。結(jié)合問題背景和實(shí)際情境，能夠有效提高學(xué)生運(yùn)用符號的能力，從而培養(yǎng)學(xué)生的符號意識。

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