張萍

[摘 要] 以課程標準為基準，以教科書為參照，以教學(xué)對象（學(xué)生）為依據(jù)的原則，并以“學(xué)生最大發(fā)展”為旨歸，根據(jù)學(xué)習(xí)任務(wù)，為了實現(xiàn)學(xué)習(xí)效益的最大化，對教科書的“探究”和“思考”欄目進行改進或“創(chuàng)造性”的再建構(gòu)，可以把學(xué)生帶到“最近發(fā)展區(qū)”，促使學(xué)生在自主探究中建構(gòu)、完善認知結(jié)構(gòu)，為實現(xiàn)學(xué)生的最大發(fā)展提供平臺.

[關(guān)鍵詞] 學(xué)習(xí)起點；數(shù)學(xué)現(xiàn)實；自主探究；自主建構(gòu)

人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》是根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準》（2011版）編寫的，正文中設(shè)置了大量的“探究”和“思考”欄目，“探究”和“思考”欄目以問題、留白或填空等形式引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、分析、猜想、推理、反思、交流等活動獲取數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能，逐步感悟數(shù)學(xué)思想，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗. 由于教科書是針對全國學(xué)生開發(fā)的，并不針對某一地區(qū)、某一學(xué)校，更不能兼顧地域差異和學(xué)生的個性差異，所以我們在教學(xué)中不能照本宣科，不能教教材，而應(yīng)該創(chuàng)造性地使用教材，即“用教材教”（對“學(xué)材”進行適當再建構(gòu)），使貌似十分有限的教學(xué)資源得以激活、放大，從而擴展學(xué)生的學(xué)習(xí)時空，拓展學(xué)生的活動范圍，為學(xué)生的最大發(fā)展提供可能.

立足學(xué)習(xí)起點，改進“學(xué)材”

教科書的“探究”和“思考”欄目實際上是幫助學(xué)生進行“自主探究”的學(xué)習(xí)方式，其實質(zhì)是將科學(xué)領(lǐng)域的探究引入課堂，使學(xué)生通過類似科學(xué)家的探究過程理解科學(xué)概念和科學(xué)探究的本質(zhì)，并培養(yǎng)科學(xué)探究能力的一種特殊的學(xué)習(xí)方法（柴西琴）. 但在實際教學(xué)中，其往往脫離學(xué)生實際，或高于或低于學(xué)生的學(xué)習(xí)起點. 因此，根據(jù)學(xué)生實際對教科書中的“探究”和“思考”稍加改進，不僅可以使學(xué)生拾級而上，而且有利于學(xué)生真正地“探究”性學(xué)習(xí).

案例1 “相交線（一）”（人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)七年級（下）》）（以下簡稱“×年級上或下冊”）

教科書通過“探究”，要求學(xué)生任意畫出兩條相交的直線并觀察四個角的位置. 在實際教學(xué)中，學(xué)生很難說出四個角的兩兩位置關(guān)系. 為了讓學(xué)生充分經(jīng)歷知識的“發(fā)生、發(fā)展”過程，并培養(yǎng)、提高學(xué)生的識圖、推理能力，可將“探究”改進如下：

1. 自主回顧

如圖1，已知直線AB. 請讀句畫圖：（1）在直線AB上任意取一點O；（2）畫射線OC，寫出圖中的角；（3）畫射線OC的反向延長線OD，寫出圖中所有的角. 追問：如何用適當?shù)恼Z言描述你畫出來的整個圖形？（圖2）

2. 建構(gòu)概念

觀察：兩直線相交，形成4個角（如圖2），即∠1，∠2，∠3，∠4.

思考：（1）此四個角有何共同特征？（2）每兩個角的邊有什么特征？如∠1和∠2、∠1和∠3. （在學(xué)生觀察、思考、探究、猜想、表達的基礎(chǔ)上，得到鄰補角、對頂角的概念，以及互為鄰補角的兩個角互為補角）

通過讀句畫圖和用適當?shù)恼Z言描述圖形，鞏固已學(xué)內(nèi)容，強化了學(xué)生對數(shù)學(xué)的三種語言互譯能力；同時引出課題，突出了鄰補角和對頂角的本質(zhì)，為學(xué)生自主建構(gòu)鄰補角和對頂角的概念作好鋪墊. 鄰補角和對頂角作為描述性概念，屬于解釋性理解水平. 為此，在概念教學(xué)中，當以“形”取“意”，即從知識的本質(zhì)（兩直線相交）出發(fā)，找到兩種角的頂點和邊的位置關(guān)系，從而突出“鄰補角和對頂角”的本質(zhì)特征，為以后研究“三線八角”提供方法和經(jīng)驗，發(fā)展學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力.

案例2 “二次根式（一）”（八年級下冊）

探究二次根式時，教科書設(shè)置了一些特殊的例子，讓學(xué)生歸納出一般的結(jié)論. 為了讓學(xué)生進行主體性研究學(xué)習(xí)活動，即讓學(xué)生在學(xué)習(xí)參與中，在能動的實踐活動中，自己探索并逐步完善認知結(jié)構(gòu)，可將課堂“探究”改進如下.

1. 性質(zhì)1的探究

思考：當a≥0時，是什么數(shù)？是正數(shù)、0，還是負數(shù)？為什么？

2. 性質(zhì)2的探究

思考：（1）（）2，（）2，（）2，（）2，

2的值分別是多少？（2）你是如何得到（）2=2的？（3）根據(jù)這些特殊的例子，你能得到怎樣的一般結(jié)論？（在學(xué)生歸納性質(zhì)后，引導(dǎo)學(xué)生用算術(shù)平方根的意義來分析、說明該性質(zhì)）

3. 性質(zhì)3的探究

猜想等于多少. （除個別學(xué)生說“=a”外，大多數(shù)學(xué)生都說“=a”）

追問：如何驗證你的猜想？（引導(dǎo)學(xué)生自主舉例分析說明、驗證歸納性質(zhì)=a=a （a≥0），

-a （a<0）. 在學(xué)生歸納性質(zhì)后，引導(dǎo)學(xué)生用算術(shù)平方根的意義自主分析說明該性質(zhì)）

4. 性質(zhì)2、性質(zhì)3的辨析

思考：與（）2有何異同點？（引導(dǎo)學(xué)生從表示的意義、字母的取值范圍、結(jié)果等方面進行比較）

二次根式的性質(zhì)是在算術(shù)平方根的概念基礎(chǔ)上，由特殊到一般生成的. 以三種不同的呈現(xiàn)方式，引導(dǎo)學(xué)生在多重交往互動中自主探究二次根式的三個性質(zhì)，這樣便加大了學(xué)生的探索空間，體現(xiàn)了由特殊到一般的認識過程，這樣的探究活動發(fā)展了學(xué)生的思維能力，有效地改變了學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，有利于掌握認識事物的一般規(guī)律，有利于學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，能增強學(xué)生積極主動的參與性，讓學(xué)生自主探索并逐步完善認知結(jié)構(gòu). 在“性質(zhì)3”的教學(xué)中，沒有仿照“性質(zhì)1和性質(zhì)2”的教學(xué)方法，而是先讓學(xué)生“猜想等于多少”，當學(xué)生出現(xiàn)不同意見時，教師沒有給出答案，而是引導(dǎo)學(xué)生自主舉例，分析說明并驗證、歸納性質(zhì)3，整個過程充分尊重和關(guān)注學(xué)生的認知起點，把學(xué)生帶到“最近發(fā)展區(qū)”，促使學(xué)生在自主探究中建構(gòu)、完善認知結(jié)構(gòu).

案例3 “平方根（1）”（七年級下冊）

教科書利用實際問題“已知正方形的面積，求正方形的邊長”引入算術(shù)平方根的概念. 在實際教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生能記住一些自然數(shù)的平方，但是還存在幾個層次的學(xué)生：（1）能記住10以內(nèi)各自然數(shù)的平方；（2）能記住20以內(nèi)各自然數(shù)的平方；（3）能由一個數(shù)的平方求出這個數(shù). 另外，學(xué)生已具有一定的逆向思維意識和經(jīng)驗，但是絕大多數(shù)學(xué)生的逆向思維意識和經(jīng)驗不足. 充分考慮到學(xué)生的實際，為了讓學(xué)生①經(jīng)歷算術(shù)平方根概念的探索過程，體驗算術(shù)平方根的價值；②了解算術(shù)平方根的概念，會用符號表示算術(shù)平方根，建立初步的數(shù)感和符號感；③理解算術(shù)平方根與平方運算的聯(lián)系，會求算術(shù)平方根，發(fā)展逆向思維能力. 即注重交流的學(xué)習(xí)方式，關(guān)注過程，建立數(shù)感和符號感. 可將算術(shù)平方根概念的引入改進如下：

1. 舊知呈現(xiàn)，問題誘思

（1）搶答：122=______；1.52=______；（-6）2=______；0.052=______；（ ）2=81.

（2）由正方形的面積S求邊長a（填表）：

[正方形的面積S＼&4＼&9＼&16＼&25＼&29＼&正方形的邊長a＼&＼&＼&＼&＼&＼&]

（引導(dǎo)學(xué)生揭示本題的實質(zhì)：已知一個正數(shù)的平方，求這個正數(shù)，與求一個數(shù)的平方的過程正好相反）

2. 任務(wù)驅(qū)動，互動探究

（1）面積為29的正方形的邊長是什么數(shù)？是整數(shù)嗎？是分數(shù)嗎？有沒有哪個整數(shù)的平方是29？有沒有哪個分數(shù)的平方是29？

（2）雖然我們還不知道面積為29的正方形的邊長是多少，但是該正方形的邊長一定是正數(shù)，而且它的平方是29，那么我們把這個正數(shù)叫作29的算術(shù)平方根.

又如：因為52=25，所以25的算術(shù)平方根是5.

你能用自己的語言說說什么叫作算術(shù)平方根嗎？概念中的關(guān)鍵詞是什么？你還能舉出一些例子來說明什么是算術(shù)平方根嗎？如何用符號表示一個數(shù)的算術(shù)平方根？（引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)并完善定義、符號表示及其讀法）

對于“算術(shù)平方根”的學(xué)習(xí)，因知道不同學(xué)生對“一些自然數(shù)的平方”的理解層次和“絕大多數(shù)學(xué)生的逆向思維經(jīng)驗不足”，就決定了我們在“舊知呈現(xiàn)，問題誘思”中，安排了一組練習(xí)，目的在于讓學(xué)生通過“正過來用”“反過來用”有所回憶，這些努力都是基于“最近發(fā)展區(qū)”的理解，為學(xué)生進一步學(xué)習(xí)新知“充分熱身”而服務(wù). 通過“面積為29的正方形的邊長是什么數(shù)”激發(fā)學(xué)生的求知欲；為幫助學(xué)生理解概念，抓住概念的本質(zhì)，通過讓學(xué)生說出“概念中的關(guān)鍵詞是什么”和“舉例說明什么是算術(shù)平方根”等引導(dǎo)學(xué)生鞏固、深化概念. 這些都是從學(xué)生的學(xué)習(xí)起點出發(fā)，由淺入深、逐漸升華，符合學(xué)生的認知規(guī)律，是有利于促進學(xué)生自主建構(gòu)的一種嘗試.

關(guān)注已有知識經(jīng)驗，重構(gòu)“學(xué)材”

教科書的“探究”和“思考”欄目都是義務(wù)教育階段所有學(xué)生必須達到的基本要求. 但是考慮到學(xué)生已有的知識經(jīng)驗，若按照實施，勢必造成“教”落后于“學(xué)”. 根據(jù)“以課程標準為基準，以教科書為參照，以教學(xué)對象（學(xué)生）為依據(jù)”的原則，并以“學(xué)生最大發(fā)展”為旨歸，根據(jù)學(xué)習(xí)任務(wù)，為了實現(xiàn)學(xué)習(xí)效益的最大化，對教科書的“探究”和“思考”欄目進行“創(chuàng)造性”再建構(gòu)，可以為實現(xiàn)學(xué)生的最大發(fā)展提供平臺.

案例4 “二次根式（一）”（八年級下冊）

教科書通過“思考”欄目中的具體例子（列式并找共同點）引入二次根式的概念，讓學(xué)生經(jīng)歷了從特殊到一般的學(xué)習(xí)過程. 但是考慮到學(xué)生已有知識經(jīng)驗及“二次根式實質(zhì)就是非負數(shù)的算術(shù)平方根”，為此將此“思考”欄目重構(gòu)為“在復(fù)習(xí)回顧中，引導(dǎo)學(xué)生由算術(shù)平方根的意義自主建構(gòu)二次根式的概念”，具體如下.

1. 自主回顧

（1）4，16，（-4）2，0，-64，2，a的平方根和算術(shù)平方根分別是多少？（2）哪些數(shù)有平方根、算術(shù)平方根？負數(shù)為什么沒有平方根、算術(shù)平方根？

2. 建構(gòu)概念

（1），，，等都表示一個非負數(shù)的算術(shù)平方根，像這些帶根號的算術(shù)平方根，我們就把它叫作二次根式. （2）根據(jù)這些式子的特征，如何定義二次根式？（如何用字母表示？）

歸納：一般地，我們把形如（a≥0）的式子叫作二次根式，“”稱為二次根號. （在學(xué)生描述二次根式定義的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)二次根式應(yīng)具有兩個條件，即有二次根號“”；被開方數(shù)a是正數(shù)或0）

根據(jù)兩個新舊知識之間的邏輯聯(lián)系（二次根式實質(zhì)就是非負數(shù)的算術(shù)平方根，即二次根式就是帶根號的算術(shù)平方根），由學(xué)生已有知識“算術(shù)平方根”拓展新知識“二次根式”，合乎邏輯的發(fā)展結(jié)果，是在學(xué)生“原有基礎(chǔ)”上的“自主建構(gòu)”，符合學(xué)生的認知規(guī)律，有利于學(xué)生理清知識之間的聯(lián)系，便于學(xué)生從整體上架構(gòu)知識體系.

案例5 “反比例函數(shù)的意義”（九年級下冊）

在學(xué)習(xí)反比例函數(shù)前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)，而且每次學(xué)習(xí)函數(shù)，都是通過觀察具體實例中的函數(shù)式子的共同點來歸納函數(shù)概念. 考慮到對于學(xué)習(xí)函數(shù)已有一定知識、技能和方法的學(xué)生而言，通過邏輯推理的方法由舊知遷移到新知，有利于發(fā)展學(xué)生的遷移能力和掌握類比的學(xué)習(xí)方法，有利于學(xué)生智慧的提升，為此，將此“思考”欄目重構(gòu)為“在回顧復(fù)習(xí)中，自主建構(gòu)反比例函數(shù)的概念”，具體如下.

問題：汽車在由A地勻速開往B地的過程中（兩地相距400 km）.

（1）在這個變化過程中，常量和變量分別是什么？

（2）v是t的函數(shù)嗎？為什么？（追問：t是v的函數(shù)嗎？為什么？）

（3）可用怎樣的函數(shù)解析式表示v和t之間的關(guān)系？

（4）v是t的什么函數(shù)？為什么？

（5）根據(jù)前面學(xué)習(xí)正比例函數(shù)的經(jīng)驗，談?wù)勗鯓訉W(xué)習(xí)反比例函數(shù)，可以從學(xué)習(xí)內(nèi)容、過程、方法等多個角度談?wù)勀愕目捶?

（6）如何定義反比例函數(shù)？反比例函數(shù)的一般式是怎樣的？

借助具體的情境回顧變量、函數(shù)等概念很有必要，一方面為反比例函數(shù)的學(xué)習(xí)做好鋪墊，有利于學(xué)生能夠較順利地接受反比例函數(shù)的概念等相關(guān)內(nèi)容；另一方面，可以反過來進一步深化對函數(shù)內(nèi)涵的理解和掌握. 在“正比例函數(shù)”的學(xué)習(xí)中，學(xué)生對函數(shù)的研究內(nèi)容、過程和方法有了一定的基礎(chǔ)，因此學(xué)習(xí)“反比例函數(shù)”時，學(xué)生已經(jīng)有了知識、方法和經(jīng)驗的基礎(chǔ)，對“成反比例關(guān)系的兩個變量是反比例函數(shù)關(guān)系”有所感知，對“用一般式對反比例函數(shù)進行定義”有所體驗，在此基礎(chǔ)上，直接引導(dǎo)學(xué)生自覺地正向遷移，進行反比例函數(shù)定義的教學(xué)是完全有條件的. 因此，在教學(xué)中，通過類比、遷移，能比較自然地呈現(xiàn)反比例函數(shù). 這種在學(xué)生原有基礎(chǔ)之上提煉、歸納得到的知識是牢固深刻的，也是在學(xué)生“原有基礎(chǔ)”上的“自主建構(gòu)”，符合學(xué)生的認知規(guī)律.

案例6 “平行四邊形的性質(zhì)（1）”（八年級下冊）

教科書“探究”欄目中，通過讓學(xué)生經(jīng)歷猜想、度量和證明等過程，探究平行四邊形的性質(zhì)，關(guān)注學(xué)生實踐和體驗. 但是考慮到學(xué)生已有知識經(jīng)驗和“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”，為此將此“探究”欄目重構(gòu)如下.

問題：（1）圖3分別是什么圖形？兩個圖形有什么聯(lián)系和區(qū)別？你已經(jīng)知道平行四邊形的哪些內(nèi)容？

（2）根據(jù)我們以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，你認為如何學(xué)習(xí)平行四邊形？可以從知識、方法、過程等角度來說明.

（3）平行四邊形是特殊的四邊形，它具有一般四邊形的一切性質(zhì)，那么，它有哪些特殊的性質(zhì)呢？如何研究平行四邊形的特殊性質(zhì)呢？（引導(dǎo)學(xué)生：①類比四邊形的研究方法，通過作平行四邊形的對角線來研究平行四邊形的特殊性質(zhì)；②抓住平行四邊形“兩組對邊分別平行”這個條件來研究平行四邊形的特殊性質(zhì)）

（4）分別作一般四邊形和平行四邊形的對角線，一般四邊形轉(zhuǎn)化為兩個三角形（如圖4），它們的形狀、大小有沒有特殊的關(guān)系？平行四邊形轉(zhuǎn)化為兩個三角形呢？由此可得到平行四邊形的哪些特殊性質(zhì)呢？

（5）按照要求在小組內(nèi)交流：①你得到的結(jié)論有哪些？②說明你是怎么思考的？③還有什么方法證明這些結(jié)論？④證明關(guān)鍵是什么？根據(jù)什么？

（6）如何用符號語言表示這些性質(zhì)？

（7）如果連接兩條對角線呢？

通過對比“一般四邊形”與“平行四邊形”的聯(lián)系和區(qū)別，為知識、方法的遷移打下伏筆. 通過問題“你已經(jīng)知道平行四邊形的哪些內(nèi)容”，便于從學(xué)生“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”出發(fā)，即，使得教學(xué)從學(xué)生實際出發(fā)，更有針對性；同時為學(xué)生對平行四邊形的感性認識上升到理性認識做好準備（通過邏輯推理的方法證明有關(guān)結(jié)論）. 通過類比和對比，平行四邊形的性質(zhì)自然而然呈現(xiàn)出來. 通過類比，使得學(xué)生的研究有內(nèi)容、有方向，更有方法，遷移能力、數(shù)學(xué)思考得到發(fā)展. 通過對比，不僅能讓學(xué)生從“一般”中得到“特殊”，而且使得學(xué)生自主、合作、交流、表達與聆聽等能力得到充分發(fā)展（尤其是自主學(xué)習(xí)的能力）. 同時，在學(xué)生通過獨立思考、與人交流等獲取數(shù)學(xué)知識、基本技能、研究和解決問題的策略、方式方法的過程中，生動地體驗數(shù)學(xué)活動充滿的探索與創(chuàng)造活力，并獲得成功的喜悅，激勵自主探究、合作學(xué)習(xí)的積極主動性，發(fā)展學(xué)力. 通過問題“你得到的結(jié)論有哪些？說明你是怎么思考的”，使學(xué)生對平行四邊形的認識從感性認識上升到理性認識（從不規(guī)范推理到規(guī)范推理，從合情推理到邏輯推理）；同時讓學(xué)生用不同的思路和方法證明同一個結(jié)論，可以激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)證明的興趣，發(fā)展學(xué)生思維的廣闊性和靈活性.

在對教科書“探究”和“思考”欄目進行改進和創(chuàng)新實踐中，教師必須根據(jù)學(xué)生群體和個體的實際情況，在對“學(xué)材”進行適當?shù)脑鰟h、調(diào)整、強化或弱化處理等過程中，融入自己的思想、見解、主張和思維方法，力求突出重點，化解難點，使深奧的知識、抽象的思維方法、復(fù)雜的解題思路淺顯化、具體化、簡單化，易于學(xué)生接受，從而不斷激活學(xué)生的創(chuàng)造力，完善良好的精神品格，同時以此促進教師對自己的數(shù)學(xué)教育進行認真的反思和理論提升，以促進教師的專業(yè)發(fā)展.