邵蓓瑜

【摘? ?要】推理是思維的基本形式之一。數(shù)學(xué)教材中有很多內(nèi)容都可以作為培養(yǎng)學(xué)生推理能力的材料，習(xí)題中也能挖掘出可以引導(dǎo)學(xué)生由已知信息出發(fā)逐步得到結(jié)論的推理素材。以“角的度量”單元中的一組習(xí)題為例，教師在教學(xué)中要幫助學(xué)生掌握以下方法：處理好已知與結(jié)論的關(guān)系;重視隱含的已知信息;學(xué)會用“因果”關(guān)系進行表達的方式，讓學(xué)生逐步形成“用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界”的核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】角的度量;因果表達;數(shù)學(xué)思維;推理意識

推理是一種基本的思維形式。推理意識，是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在小學(xué)階段的具體表現(xiàn)形式之一。小學(xué)階段的數(shù)學(xué)教學(xué)，不要求學(xué)生用規(guī)范的語言、符號表達推理過程，但要重視培養(yǎng)學(xué)生的推理意識。讓學(xué)生經(jīng)歷思考的過程，體會解決問題時要從已知條件出發(fā)，一步一步有條理、有根據(jù)地找到答案，是培養(yǎng)學(xué)生推理意識的重要方式。

教學(xué)中，教師要有意識地讓學(xué)生經(jīng)歷尋找已知條件和問題之間聯(lián)結(jié)的過程，感受推理的完整性和嚴密性，由此讓學(xué)生在解決具體的數(shù)學(xué)問題時，不僅能明確思維的方向，還能按照數(shù)學(xué)知識的邏輯順序展開分析。以“角的度量”單元中的一組習(xí)題為例，說說如何幫助學(xué)生養(yǎng)成有條有理思考、有根有據(jù)表達的習(xí)慣。

一、學(xué)習(xí)材料分析

作為一種基本的思維形式，推理無處不在。教學(xué)時，教師會引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷推理過程。但一般來講，教師在新課教學(xué)中會關(guān)注對學(xué)生推理意識的培養(yǎng)，而在練習(xí)中卻對此有所忽視。其實，有很多練習(xí)內(nèi)容都可以成為培養(yǎng)學(xué)生推理意識的好材料。

如人教版教材四年級上冊“角的度量”單元“練習(xí)七”中的三道習(xí)題：習(xí)題4、習(xí)題7、習(xí)題15。習(xí)題4旨在引導(dǎo)學(xué)生通過測量、比較，發(fā)現(xiàn)“對頂角相等”這一事實，為后續(xù)學(xué)習(xí)積累基本經(jīng)驗;習(xí)題7旨在引導(dǎo)學(xué)生借助隱含信息（平角），得出未知角的度數(shù);習(xí)題15旨在引導(dǎo)學(xué)生借助題目體驗“說理”的過程。教學(xué)這三道題，不僅可以從內(nèi)容的視角出發(fā)解決問題，也可以從培養(yǎng)學(xué)生推理意識的視角出發(fā)，通過對習(xí)題的加工重組，使其成為提升學(xué)生推理意識的好素材。

比如習(xí)題7的第（1）小題，要解決“∠1=70°，那么∠2=（ ）”這個問題，需要先找到它的一個“隱含的已知信息”，即平角是180°。教學(xué)時如果能夠喚醒學(xué)生在解決問題中積累的“根據(jù)兩個或兩個以上已知信息，才能找到問題答案”的經(jīng)驗，就能讓學(xué)生感知到“從已知到結(jié)論”的推理基本結(jié)構(gòu)。而要解決第（2）小題“已知∠1=40°，那么∠2=（ ），∠3=（ ），∠4=（ ）”，學(xué)生需要經(jīng)歷以下思考過程：①在多個信息中根據(jù)“已知與結(jié)論”的因果關(guān)系，選擇“有關(guān)的平角”和“已知角”算出未知角。②借助“中間問題”搭建問題解決的橋梁。如根據(jù)已知的∠1的度數(shù)，計算∠3的度數(shù)時，∠2或∠4的度數(shù)就是“橋梁”。③得到答案解決問題。教師如果能夠引導(dǎo)學(xué)生將以上思考過程顯性化，則能讓學(xué)生更好地體會是“根據(jù)什么得到結(jié)論”的，從而讓推理意識得以萌發(fā)。

從以上分析中可知，這組習(xí)題既能對接學(xué)生解決問題的推理經(jīng)驗，又能幫助他們借助直觀的數(shù)量關(guān)系體會“根據(jù)已知得到結(jié)論”的推理過程。因此可以按照“認識簡單推理—再認識稍復(fù)雜的推理—建立思維方法”的過程重新編制習(xí)題組，為培養(yǎng)學(xué)生的推理能力服務(wù)。

二、教學(xué)過程闡述

（一）經(jīng)歷從已知到結(jié)論的推理過程

要讓學(xué)生經(jīng)歷從已知到結(jié)論的推理過程，首先要引導(dǎo)其理解什么是已知，什么是得到的結(jié)論，并學(xué)習(xí)怎樣根據(jù)已知得到結(jié)論。

1.明確什么是已知、什么是結(jié)論，體會什么是推理

教師呈現(xiàn)圖1，引導(dǎo)學(xué)生思考：一條直線與另一條直線相交，已知∠1的度數(shù)，可以得到∠2的度數(shù)嗎？

師：如果∠1=70°，那么∠2是多少度？你是怎么想的？

生：∠2=110°。

生：你看圖上∠1+∠2=180°，而∠1=70°，所以∠2=180°-70°=110°。

師：這道題目中已經(jīng)告訴我們的信息是什么？

生：已知∠1=70°。

師：根據(jù)這一個已知條件就能得到答案嗎？∠2是怎么算出來的？

生：不是的，還有一個已知條件是180°。

師：咦，這個180°是哪兒來的？

生：圖上∠1+∠2組成了平角，也就是180°。

師：有了∠1+∠2=180°和∠1=70°這兩個信息，就能算出∠2=110°，也就是說，這道題中有兩個已知條件，一個是直接告訴我們的，另一個是藏在圖形中悄悄告訴我們的。

教師調(diào)整圖1中兩條直線之間的傾斜度，再次提問：如果已知∠1=30°，那么∠2=（? ?）。在學(xué)生解決這一問題后繼續(xù)問：如果∠1=□，在□里填小于180°的任何一個數(shù)，那么你能知道∠2=（? ?）嗎？讓學(xué)生體會不管∠1是幾度，∠2始終是180°-∠1。

之后教師引導(dǎo)歸納“以上求∠2的過程中有什么共同的地方”，并根據(jù)談話明確指出：“一般情況下，我們至少要根據(jù)兩個信息才能得到一個問題的答案，這兩個信息無論是直接告訴我們的，還是藏起來要我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)的，都叫已知信息，求出的答案則叫結(jié)論。由已知信息推導(dǎo)得出結(jié)論的過程，我們稱為推理。”

以上過程意在讓學(xué)生明確獲得結(jié)論是需要已知信息的，已知信息包含直接告知的信息和隱含的信息，體會根據(jù)已知信息推導(dǎo)得出結(jié)論的過程就是推理。這為幫助學(xué)生形成“有條有理思考，有根有據(jù)表達”奠定了基礎(chǔ)。

2.經(jīng)歷根據(jù)已知推導(dǎo)結(jié)論的過程

（1）教師呈現(xiàn)圖2，并出示問題：已知∠1=40°，那么∠2=_______________，∠3=____________，∠4=______________。請學(xué)生獨立解答并記錄思考過程。

教師呈現(xiàn)學(xué)生的解答（如圖3），引導(dǎo)質(zhì)疑：“∠2多少度”明明是要求的問題，怎么在計算∠3的時候卻作為已知信息來用呢？

生：在計算∠3的時候，∠2=140°已經(jīng)算出來了，就是已知信息了。

師：像這樣既是結(jié)論，又是解決其他問題的已知信息的情況，還有嗎？

根據(jù)學(xué)生的回答逐步形成板書內(nèi)容（如圖4）。

如上，學(xué)生在解決問題的過程中，感知到通過計算得出的∠2的度數(shù)不僅是問題的結(jié)論，還可以在后續(xù)的問題解決中作為新的已知信息來使用，進一步體會已知、結(jié)論的相對性。

（2）教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生：“觀察圖2，我們除了得到∠2=140°，∠3=40°，∠4=140°的結(jié)論外，還有什么發(fā)現(xiàn)？”

生：我發(fā)現(xiàn)∠3=∠1，∠2=∠4。

師：你是怎么得到∠3=∠1，∠2=∠4這個結(jié)論的？

生：因為∠2和∠4都等于140°，所以∠2=∠4，同樣∠1和∠3都等于40°，所以∠3=∠1。

生：因為∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180°，∠1和∠3都加了∠2，所以∠1=∠3?！?和∠4也一樣，因為它們都加了∠3等于180°，所以∠2=∠4。

師：看來使用不同的信息也能推出同樣的結(jié)論∠1=∠3，∠2=∠4。

通過以上過程學(xué)生體驗到：幾個角的度數(shù)是根據(jù)已知信息計算得到的結(jié)論，這些結(jié)論又可以作為已知信息，得到新的結(jié)論∠3=∠1，∠2=∠4;不同學(xué)生使用不同的信息能推出同樣的結(jié)論，推理的過程具有不唯一性。

推理包含已知信息、結(jié)論和推理的過程。教師通過不斷追問，讓學(xué)生體會到根據(jù)已知信息得出結(jié)論的過程就是推理的過程，通過讓學(xué)生表達推理過程，幫助學(xué)生逐步形成“有理有據(jù)”得出結(jié)論的習(xí)慣。

（二）學(xué)習(xí)根據(jù)已知得出結(jié)論的推理方法

通過推理解決問題時，常見的方法有綜合法與分析法。綜合法就是一種從已知到結(jié)論的邏輯推理方法，也就是由因到果的證明方法;分析法是一種從結(jié)論到已知的邏輯推理方法，也就是執(zhí)果索因的證明方法。分析法的證明路徑與綜合法相反。雖然小學(xué)階段不要求學(xué)生進行嚴格的數(shù)學(xué)證明，但讓學(xué)生體驗推理的嚴密性和推理方法的多樣性也是培養(yǎng)學(xué)生推理意識的重要途徑之一。

1.綜合法

教師呈現(xiàn)圖5，引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑：要求4個角的度數(shù)，但圖中沒有任何信息，合理嗎？

生：圖中有信息?！?+∠2=180°，∠2+∠3=180°，∠3+∠4=180°，∠1+∠4=180°都是藏起來的已知信息。

師：根據(jù)他發(fā)現(xiàn)的信息，能推出什么結(jié)論？

生;∠1=∠3，∠2=∠4。因為∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180°，∠1和∠3都是加上∠2以后為180°，所以∠1=∠3。同理，∠2=∠4。

師：能計算出這4個角的度數(shù)嗎？

生：不能，還需要知道1個角的度數(shù)。

師：你想知道哪一個角的度數(shù)？為什么？

生：都可以，不管哪個角，都可以結(jié)合平角這一信息，推出其他角的度數(shù)。

……

通過思考“根據(jù)兩條相交直線中的已知信息能得到什么結(jié)論”“需要什么信息能得到4個角的度數(shù)”等問題，學(xué)生知道了每一步推理都是根據(jù)相關(guān)信息得出結(jié)論的過程。同時也發(fā)現(xiàn)，要知道圖5中各個角的度數(shù)，只要給出1個角的度數(shù)即可，因為根據(jù)一條信息可以不斷產(chǎn)生新的結(jié)論和信息，由此獲得開放的、發(fā)散的結(jié)論（如圖6）。這種用綜合法解決問題的思維方式，是學(xué)生今后進一步學(xué)習(xí)推理和解決復(fù)雜問題的重要基礎(chǔ)。

2.分析法

教師呈現(xiàn)圖7，并提出問題：圖中的∠1和∠2相等嗎？請說明理由。

師：要知道∠1和∠2是否相等，需要哪些已知信息？

生：如果知道∠1和∠2各多少度就可以了。

生：可以量出∠1和∠2的度數(shù)，通過比較就能知道∠1和∠2是否相等。

生：不量也可以。圖中有兩個長方形，長方形的每一個角都是90°。從圖中可以看出，∠1+中間的這個角=90°，∠2+中間的這個角=90°，也就是說，因為∠1和∠2分別加上中間這個公共的角都等于90°，所以∠1=∠2。

師：剛才是哪個信息幫助我們得到∠1=∠2？

……

以上過程就是學(xué)生用分析法，從結(jié)論入手，尋找能夠支撐結(jié)論成立的條件，一步一步解決問題的過程。他們借助已知和結(jié)論之間的因果關(guān)系，在圖形的支撐下，經(jīng)歷“從已知信息出發(fā)思考能推出什么結(jié)論”和“從結(jié)論出發(fā)尋找需要的已知信息”的思維過程，深刻體會到得到結(jié)論需要有據(jù)可依。這一過程促進學(xué)生的思維方式由單一走向多元，由封閉走向開放，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思考力得以提升。

三、實踐后的思考

核心素養(yǎng)的培育不可能一蹴而就。培養(yǎng)學(xué)生的推理意識，提升其數(shù)學(xué)思考力同樣需要經(jīng)歷漫長的過程。在這個過程中，無論是新授課還是練習(xí)課，教師都需要幫助學(xué)生掌握以下幾個方法。

（一）處理好已知與結(jié)論的關(guān)系

推理是根據(jù)已知條件逐步推導(dǎo)得出結(jié)論的過程，處理好已知和結(jié)論之間的關(guān)系能讓思維更清晰。教學(xué)中，教師要重視讓學(xué)生在實踐中體會、感受什么是已知條件，什么是結(jié)論。特別是在推理過程中“得出的結(jié)論”又可以作為已知信息運用到后續(xù)推理的過程中，得到新的結(jié)論。從本案例的教學(xué)中可以看出，如果選材合適，教學(xué)處理得當，學(xué)生不但可以理解什么是已知條件，什么是得出的結(jié)論，也可以理解“藏起來的已知條件”也是已知條件，前面推理得出的結(jié)論同樣可以作為后續(xù)推理的已知條件，感受已知與結(jié)論的相對性和關(guān)聯(lián)性。

（二）重視隱含的已知信息

隱含的已知信息是題目中含而未露，需要學(xué)生從與數(shù)學(xué)題目相關(guān)的概念、性質(zhì)等角度去發(fā)現(xiàn)的信息。隱含的已知信息往往是問題解決的關(guān)鍵。在教學(xué)中，教師要重視幫助學(xué)生將隱含信息顯性化，體會隱含信息在問題解決中所起的作用。這為學(xué)生在今后的學(xué)習(xí)中，主動加強對概念、性質(zhì)等基礎(chǔ)知識的理解，靈活地看待已知與結(jié)論的關(guān)系，是大有裨益的。

（三）學(xué)會用“因果關(guān)系”進行表達的方式

學(xué)生要闡述自己的結(jié)論，解釋結(jié)論得出的過程，就需要運用有理有據(jù)的表達方式。學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中普遍存在“會算不會說”的現(xiàn)象——這里的“說”指的是運用合適的數(shù)學(xué)語言（口語或書面語）與他人交流的表達方式。教師可以借由非常明顯的具有因果關(guān)系的問題，引導(dǎo)學(xué)生使用因果關(guān)系詞匯，如“因為……所以……如果……那么……”等。這些詞匯能夠幫助學(xué)生厘清思路，形成“有條理地思考，有根據(jù)地表達”的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

參考文獻：

[1]教育部基礎(chǔ)教育課程教材專家工作委員會.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）解讀[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012：102-105.

[2]林碧珍.數(shù)學(xué)臆測引發(fā)數(shù)學(xué)論證的課堂實踐（上）[J].小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2018（4）：4-7.

[3]吳維維，邵光華.邏輯推理核心素養(yǎng)在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂如何落地[J].課程·教材·教法，2019（3）：88-95.

[4]李艷，唐恒鈞.小學(xué)數(shù)學(xué)邏輯推理教學(xué)的個案研究：以“圖形的面積和周長探索”為例[J].浙江師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2020（3）：355-360.

（浙江省溫州市永嘉縣實驗小學(xué)? ?325100）