林天爵 楊果林 柳 卓 肖洪波

(1中南大學(xué)土木工程學(xué)院, 長(zhǎng)沙 410075)(2中南大學(xué)地球科學(xué)與信息物理學(xué)院, 長(zhǎng)沙 410083)(3中建五局土木工程有限公司, 長(zhǎng)沙 410000)

隨著我國(guó)中西部經(jīng)濟(jì)建設(shè)的需要,西部山區(qū)的高速公路建設(shè)發(fā)展迅速,考慮到道路線形和生態(tài)環(huán)保的要求,諸多路段采用半路半橋形式沿陡坡行進(jìn)或全高架橋形式跨越,因此部分橋梁樁基設(shè)置于陡邊坡上[1].此類樁基不僅直接承受上部結(jié)構(gòu)的主動(dòng)荷載作用,同時(shí)還受到陡坡失穩(wěn)土體側(cè)移的推擠作用,在以上組合荷載作用下,樁基產(chǎn)生較大的樁身水平變形和內(nèi)力.然而,目前針對(duì)陡坡段橋梁樁基的分析通?；谄降貥痘挠?jì)算理論,存在較大誤差.因此,陡坡段橋梁樁基內(nèi)力和變形計(jì)算方法是亟待解決的問(wèn)題之一.

文獻(xiàn)[2-4]分別推導(dǎo)了縱橫向荷載共同作用下樁基側(cè)向響應(yīng)的冪級(jí)數(shù)解、有限差分解與傳遞矩陣解.對(duì)于組合受荷樁基的樁身側(cè)向變形,文獻(xiàn)[5-8]分別給出了冪級(jí)數(shù)解、改進(jìn)有限桿單元解、簡(jiǎn)化解析解和傳遞矩陣解.然而,上述研究均未考慮樁身豎向摩阻的影響.樁身豎向摩阻產(chǎn)生的抗力矩對(duì)樁身水平承載特性存在著不可忽略的影響,且隨著樁徑的增大或地層條件的改善而增強(qiáng)[9].Ashour等[10]研究了樁身豎向摩阻對(duì)水平受荷樁水平承載特性的影響;李洪江等[11]引入附加軸力,提出了考慮豎向摩阻的樁基側(cè)向變形的計(jì)算方法;竺明星等[12]根據(jù)不同類型的樁身豎向摩阻模型,提出了樁身豎向摩阻抗力矩簡(jiǎn)化理論解,并采用傳遞矩陣法推導(dǎo)出考慮樁身豎向摩阻的樁基水平特性半解析解.但以上研究對(duì)象均為水平受荷主動(dòng)樁,關(guān)于樁身豎向摩阻對(duì)組合受荷被動(dòng)樁水平受力特性影響的研究則較少.

鑒于此,本文在深入分析陡坡段組合荷載作用下橋梁樁基受力特性的基礎(chǔ)上,基于三參數(shù)地基模型,考慮樁身豎向摩阻的影響,建立了樁身側(cè)向變形分析模型,推導(dǎo)出不同特征段受力變形控制方程.然后,應(yīng)用Laplace變換結(jié)合矩陣傳遞法求得樁身側(cè)向變形的半解析解.最后,通過(guò)現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)和文獻(xiàn)算例驗(yàn)證了本文方法的合理性,并分析了樁身被動(dòng)段豎向摩阻和長(zhǎng)度對(duì)樁身側(cè)向變形的影響,以期為同類工程提供參考.

1 樁身響應(yīng)分析

1.1 計(jì)算模型與基本假定

圖1 樁基計(jì)算模型

考慮軸力對(duì)樁身側(cè)向響應(yīng)的影響,地面以上自由段樁身軸力為

Ng(zg)=N0+f0zg

地面以下被動(dòng)段樁身軸力為

Np(zp)=N0+f0Lg+f1zp

主動(dòng)段樁身軸力為

Na(za)=N0+f0Lg+f1(Lp+za)

式中,f0、f1分別為地面以上和以下的軸力增長(zhǎng)系數(shù),且f0=γsAs,f1=γsAs-τsU/2,其中,γs為樁身材料的體積質(zhì)量,As為樁身橫截面的面積,τs為樁側(cè)極限豎向摩阻,U為樁身周長(zhǎng)[14].

樁身主動(dòng)側(cè)土體離散為一系列獨(dú)立彈簧.基于三參數(shù)地基模型,被動(dòng)段和主動(dòng)段單位樁長(zhǎng)的土體水平抗力pp、pa與水平變形的關(guān)系式為

(1)

式中,kp(zp)、ka(za)分別為被動(dòng)段和主動(dòng)段的地基水平抗力系數(shù);δp為斜坡效應(yīng)導(dǎo)致的地基水平抗力折減系數(shù),不同類型的地基水平抗力折減系數(shù)可通過(guò)試驗(yàn)得出[15-17],當(dāng)缺少試驗(yàn)資料時(shí),可參考文獻(xiàn)[18]的建議取值;m為地基水平抗力比例系數(shù);n為深度指數(shù);z0為地面處當(dāng)量深度.

為分析豎向摩阻對(duì)樁身側(cè)向響應(yīng)的影響,將樁側(cè)土體豎向抗力和樁身抗力矩的作用離散為一系列彈簧(見(jiàn)圖1).樁身不同特征樁段的豎向摩阻分布如圖2所示.圖中,τvp(zp)、τva(za)分別為被動(dòng)段和主動(dòng)段的豎向摩阻.假定樁身豎向摩阻為線彈性分布,對(duì)圖中A-A′截面積分可得

(2)

式中

圖2 樁身豎向摩阻分布示意圖

式中,Mvp(zp)、Mva(za)分別為被動(dòng)段和主動(dòng)段的豎向摩阻抗力矩;θ為樁身截面轉(zhuǎn)角;kvp(zp)、kva(za)分別為被動(dòng)段和主動(dòng)段的地基豎向抗力系數(shù);Rvp(zp)、Rva(za)分別為被動(dòng)段和主動(dòng)段的豎向摩阻勁度;r為樁身截面半徑;D為樁徑.

自由段、被動(dòng)段和主動(dòng)段的樁身微分控制方程分別為

(3)

(4)

(5)

式中,b1為樁身計(jì)算寬度;E為樁身材料的彈性模量;I為樁身截面慣性矩;EI為樁身抗彎剛度.

對(duì)于自由段樁身受力變形式(3)可采用常規(guī)方法求解,但被動(dòng)段樁身受力變形式(4)和主動(dòng)段樁身受力變形式(5)則無(wú)法采用常規(guī)方法求解.為統(tǒng)一解答形式,通過(guò)樁身離散,采用傳遞矩陣法對(duì)樁身各特征樁段微分控制方程進(jìn)行求解.

1.2 自由段樁身受力變形求解

如圖3所示,樁身自由段離散為ng份,每段長(zhǎng)度lg=Lg/ng.取任意第i段樁身建立獨(dú)立坐標(biāo)系進(jìn)行分析,將每個(gè)離散樁段上下截面的軸力均值作為該段的軸力值Ngi,即

圖3 自由段離散示意圖

(6)

假定第i段樁身側(cè)向分布荷載qgi為常數(shù),即為離散樁段上下截面的樁身側(cè)向分布荷載均值,則

(7)

令ygi、θgi、Mgi、Qgi、zgi分別為樁身自由段ng等分后第i段底部的樁身水平變形、樁身截面轉(zhuǎn)角、彎矩、剪力和深度.將式(3)轉(zhuǎn)換成微分方程組為

(8)

(9)

式中

χ4,gi=b1qgizgi

則自由段第i段的傳遞矩陣方程為

Sgi=UgiSgi0

(10)

式中,Sgi0={ygi0,θgi0,Mgi0,Mgi0,1}T,其中ygi0、θgi0、Mgi0、Qgi0分別為自由段第i段頂部的樁身水平變形、樁身截面轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力,同時(shí)也是自由段第i-1段底部的樁身水平變形、樁身截面轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力.

基于各微段樁身內(nèi)力和變形的連續(xù)性,由式(10)可得

Sgi=UgiSg(i-1)

(11)

則自由段樁身受力變形的傳遞矩陣方程為

Sgng=UgngUg(ng-1)…Ug2Ug1Sg0=UgSg0

(12)

式中,Ug為樁身自由段總傳遞系數(shù)矩陣;Sg0={yg0,θg0,Mg0,Qg0,1}T為樁頂處的受力變形參量;Sgng={ygng,θgng,Mgng,Qgng,1}T為樁身自由段與被動(dòng)段界面處受力變形參量.

1.3 被動(dòng)段樁身受力變形求解

如圖4所示,被動(dòng)段樁身離散為np份,每段長(zhǎng)度hp=Lp/np.取任意第i段樁身建立獨(dú)立坐標(biāo)系進(jìn)行分析,將每個(gè)離散微段上下截面的軸力平均值作為該段軸力值Npi,即

(13)

假定第i段樁身被動(dòng)荷載qpi與豎向摩阻勁度Rvpi為常數(shù),即為離散樁段上下截面的樁身被動(dòng)荷載與豎向摩阻勁度均值,則

(14)

(15)

假定第i段地基水平抗力系數(shù)kpi為常數(shù),由積分中值定理可得

(16)

將式(4)轉(zhuǎn)換成微分方程組為

(17)

式中,ypi、θpi、Mpi、Qpi、zpi分別為樁身被動(dòng)段np等分后第i段底部的樁身水平變形、樁身截面轉(zhuǎn)角、彎矩、剪力和深度.

令Tpi=Npi-2Rvpi,λpi=Tpi/(4EI),ηpi=b1kpi/(4EI),求解得被動(dòng)段第i段的傳遞系數(shù)矩陣為

圖4 被動(dòng)段離散示意圖

Upi=

(18)

式中

被動(dòng)段第i段的傳遞矩陣方程為

Spi=UpiSpi0

(19)

式中,Spi0={ypi0,θpi0,Mpi0,Qpi0,1}T,其中ypi0、θpi0、Mpi0、Qpi0不僅為被動(dòng)段第i段頂部的樁身水平變形、樁身截面轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力,也是其第i-1段底部的樁身水平變形、樁身截面轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力.

由式(18)可得

Spi=UpiSp(i-1)

(20)

則被動(dòng)段樁身受力變形的傳遞矩陣方程為

Spnp=UpnpUp(np-1)…Up2Up1Sp0=UpSp0

(21)

式中,Up為樁身被動(dòng)段總傳遞系數(shù)矩陣;Sp0={ygng,θgng,Mgng,Qgng,1}T為樁身自由段與被動(dòng)段交界面處的受力變形參量;Spnp={ypnp,θpnp,Mpnp,Qpnp,1}T為樁身被動(dòng)段與主動(dòng)段界面處的樁身受力變形參量.

1.4 主動(dòng)段樁身受力變形求解

如圖5所示,主動(dòng)段樁身分為na份,每小段的長(zhǎng)度ha=La/na.取任意第i段樁身建立獨(dú)立坐標(biāo)系進(jìn)行分析,則主動(dòng)段第i段的軸力為

圖5 主動(dòng)段離散示意圖

(22)

同理,主動(dòng)段第i段的豎向摩阻勁度為

(23)

主動(dòng)段第i段的地基水平抗力系數(shù)為

(24)

將式(5)轉(zhuǎn)換成微分方程組為

(25)

式中,yai、θai、Mai、Qai、zai分別為樁身主動(dòng)段na等分后第i段底部的樁身水平變形、樁身截面轉(zhuǎn)角、彎矩、剪力和深度.

則主動(dòng)段第i段的傳遞矩陣系數(shù)矩陣為

Uai=

(26)

式中

Tai=Nai-Rvai,λai=Tai/(4EI),ηai=b1kai/(4EI)

則主動(dòng)段第i段的傳遞矩陣方程為

Sai=UaiSai0

(27)

式中,Sai0={yai0,θai0,Mai0,Qai0,1}T,其中yai0、θai0、Mai0、Qai0分別為主動(dòng)段第i段頂部的樁身水平變形、樁身截面轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力,同時(shí)也是第i-1段底部的樁身水平變形、樁身截面轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力.

由式(26)可得

Sai=UaiSa(i-1)

(28)

則主動(dòng)段樁身受力變形的傳遞矩陣方程為

Sana=UanaUa(na-1)…Ua2Ua1Sa0=UaSa0

(29)

式中,Ua為樁身主動(dòng)段總傳遞系數(shù)矩陣;Sa0={ypnp,θpnp,Mpnp,Qpnp,1}T為樁身被動(dòng)段與主動(dòng)段交界面處的受力變形參量;Sana={yana,θana,Mana,Qana,1}T為樁底處受力變形參量.

1.5 連續(xù)性與求解方法

由于主動(dòng)段和被動(dòng)段、被動(dòng)段和自由段的樁身內(nèi)力和變形在交界面處相等,即

(30)

聯(lián)立式(12)、(21)、(29)和(30),可得整個(gè)樁身傳遞矩陣方程為

Sana=UaUpUgSg0=USg0

(31)

式中,U為整樁的總傳遞系數(shù)矩陣.

根據(jù)不同的樁頂和樁底邊界條件,樁頂自由時(shí),有Mg0=M0,Qg0=Q0;樁頂固定時(shí),有yg0=0,φg0=0;樁底自由時(shí),有Mana=0,Qana=0;樁底固定時(shí),有yana=0,φana=0.

據(jù)此,可按照以下步驟求解樁身受力變形：

① 根據(jù)工程實(shí)際情況,將樁頂和樁底邊界條件代入式(31),可得關(guān)于4個(gè)未知量的4個(gè)方程所組成的方程組,通過(guò)求解方程組即可得出未知的樁頂和樁底受力變形參量.

② 根據(jù)樁頂受力變形參量yg0、θg0、Mg0、Qg0,由式(12)、(21)和(29)可分別求得樁身自由段、被動(dòng)段和主動(dòng)段第i段的受力變形為

Sgi=UgiUg(i-1)…Ug2Ug1Sg0

(32)

Spi=UpiUp(i-1)…Up2Up1UgSg0

(33)

Sai=UaiUa(i-1)…Ua2Ua1UpUgSg0

(34)

由式(32)～(34)即可得到樁身任意深度位置的內(nèi)力與變形.

2 算例驗(yàn)證

2.1 現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)

為驗(yàn)證本文方法的合理性,以文獻(xiàn)[19]中某高速公路陡坡段橋梁樁基為例進(jìn)行驗(yàn)算.相關(guān)計(jì)算參數(shù)為：樁徑D=2.0 m,樁長(zhǎng)L=25 m,彈性模量E=29.6 GPa.作用于樁頂?shù)妮S力N0=7 312 kN,彎矩M0=520 kN·m,水平力Q0=50 kN.試樁處坡度約40°,樁長(zhǎng)范圍內(nèi)從上至下分別為厚度1.8 m的種植土、厚度9.7 m的含礫粉質(zhì)黏土、厚度6.1 m的強(qiáng)風(fēng)化白云質(zhì)灰?guī)r、厚度7.4 m的中風(fēng)化白云質(zhì)灰?guī)r.根據(jù)鉆孔試驗(yàn)結(jié)合規(guī)范[18],取土層地基水平抗力比例系數(shù)m1=1.5 MN/m4和m2=4 MN/m4,巖層地基水平抗力系數(shù)C3=80 MN/m3和C4=420 MN/m3.土層范圍為樁身被動(dòng)段,地基水平抗力折減系數(shù)δp=0.8[18],巖層范圍為樁身主動(dòng)段.現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)土壓力為拋物線分布,參考文獻(xiàn)[20],樁身被動(dòng)段種植土和含礫粉質(zhì)黏土的地基豎向抗力系數(shù)均取值為40 MN/m3.采用本文方法得到的彎矩計(jì)算值與現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)值對(duì)比見(jiàn)圖6.由圖可知,彎矩計(jì)算值與實(shí)測(cè)值沿深度方向的分布規(guī)律一致,且彎矩計(jì)算值的最大值與現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)最大值接近,從而證明了本文方法的合理性.

圖6 彎矩計(jì)算值與實(shí)測(cè)值的對(duì)比

2.2 算例

文獻(xiàn)[21]以某陡坡段橋梁樁基工程為例,采用冪級(jí)數(shù)法對(duì)樁身側(cè)向響應(yīng)進(jìn)行分析.橋樁修建于巖坡上,樁長(zhǎng)L=30 m,樁徑D=2 m,樁身混凝土體積質(zhì)量γs=2 500 kg/m3,彈性模量E=18 GPa.滑動(dòng)面以上樁側(cè)強(qiáng)風(fēng)化巖厚度為10 m,其下微風(fēng)化巖厚度為20 m,強(qiáng)風(fēng)化巖層和微風(fēng)化巖層的地基水平抗力比例系數(shù)分別為mp=5 MN/m4和ma=50 MN/m4.作用于樁頂?shù)妮S力N0=9.1 MN,水平力Q0=170 kN,彎矩M0=1 MN·m,樁側(cè)土壓力假定為矩形分布,合力為500 kN,被動(dòng)段地基豎向抗力系數(shù)取kvp=0.計(jì)算值與文獻(xiàn)[21]中的冪級(jí)數(shù)解對(duì)比見(jiàn)圖7.由圖可知,采用本文方法得到的樁身水平變形和彎矩計(jì)算值與文獻(xiàn)[21]變化規(guī)律一致,從而證明了本文方法的合理性.

(a) 樁身水平變形

(b) 樁身彎矩

為分析被動(dòng)段豎向摩阻對(duì)樁身側(cè)向響應(yīng)的影響,取kvp=300 MN/m3,結(jié)果見(jiàn)圖7.由圖可知,被動(dòng)段豎向摩阻對(duì)樁身側(cè)向響應(yīng)折減效應(yīng)明顯,考慮豎向摩阻的樁身最大水平變形和彎矩較不考慮時(shí)分別減小約25.36%和19.40%.

3 影響因素分析

為進(jìn)一步分析樁身被動(dòng)段的豎向摩阻和長(zhǎng)度對(duì)樁身側(cè)向響應(yīng)的影響,以某廢棄礦坑兩型化利用工程為例,對(duì)陡坡段橋梁樁基的樁身側(cè)向響應(yīng)的影響參數(shù)展開分析.橋梁位于廢棄礦坑的坑壁之上(見(jiàn)圖8).混凝土彈性模量為18 GPa,體積質(zhì)量γs=2 500 kg/m3,樁徑D=2 m,自由段樁身長(zhǎng)度Lg=5 m,坡面以下樁長(zhǎng)為30 m.樁側(cè)巖土體由10 m厚的強(qiáng)風(fēng)化石灰?guī)r和20 m厚的中風(fēng)化石灰?guī)r組成.為簡(jiǎn)化分析,取強(qiáng)風(fēng)化石灰?guī)r深度范圍為樁身被動(dòng)段,樁身長(zhǎng)度Lp=10 m;中風(fēng)化石灰?guī)r深度范圍為樁身主動(dòng)段,樁身長(zhǎng)度La=20 m.被動(dòng)段和主動(dòng)段的地基豎向抗力系數(shù)分別為kvp=10 MN/m3和kva=100 MN/m3,地基水平抗力比例系數(shù)分別為mp=7.5 MN/m4和ma=60 MN/m4.設(shè)計(jì)荷載為豎向力N0=6 MN、彎矩M0=400 kN·m和水平力Q0=400 kN,樁身被動(dòng)荷載合力為600 kN,簡(jiǎn)化為矩形分布.坡面以下Lp深度內(nèi)的地基水平抗力折減系數(shù)δp=0.8,樁頂和樁底的邊界條件按樁頂自由,樁底固定考慮.

圖8 樁基計(jì)算圖

3.1 樁身被動(dòng)段豎向摩阻的影響

如圖9所示,假定其他計(jì)算參數(shù)不變,分析樁身被動(dòng)段地基豎向抗力系數(shù)變化對(duì)樁身側(cè)向響應(yīng)的影響.由圖可知,隨著地基豎向抗力系數(shù)的增加,樁身最大水平變形和彎矩均呈減小趨勢(shì).當(dāng)?shù)鼗Q向抗力系數(shù)由0分別增大至10、20、40、80 MN/m3時(shí),樁身最大水平變形分別降低約14.29%、24.14%、36.88%、50.42%,樁身最大彎矩分別降低約9.42%、14.47%、19.27%、22.77%.樁身彎矩沿樁長(zhǎng)的分布模式由單峰向雙峰轉(zhuǎn)變,荷載逐漸向樁身被動(dòng)段集中.最大彎矩位置向地表方向移動(dòng),荷載向深層地基的傳遞效應(yīng)減弱.

(a) 樁身水平變形

(b) 樁身彎矩

圖10 ηymax、ηMmax隨kvp的變化曲線

3.2 樁身被動(dòng)段長(zhǎng)度的影響

(a) 樁身最大水平變形

(b) 樁身最大彎矩

由此可知,當(dāng)αm≠1,即樁身存在不同特征段時(shí),不同被動(dòng)段土體剛度條件下,被動(dòng)段長(zhǎng)度Lp的變化對(duì)樁身側(cè)向響應(yīng)的影響存在敏感區(qū)間,該區(qū)間上限值即為被動(dòng)段臨界長(zhǎng)度Lpcr;且當(dāng)αm由0.125增大至0.500時(shí),Lpcr由5D減小至3D.當(dāng)Lp≤Lpcr時(shí),隨著被動(dòng)段長(zhǎng)度的增加,樁身側(cè)向響應(yīng)增大效應(yīng)顯著;當(dāng)Lp>Lpcr時(shí),被動(dòng)段長(zhǎng)度的增加對(duì)樁身側(cè)向響應(yīng)的影響可以忽略.

4 結(jié)論

1) 針對(duì)陡坡段橋梁樁基的受力特點(diǎn),考慮豎向摩阻的影響,基于三參數(shù)地基模型,建立了陡坡段橋梁樁基的樁身受力變形微分控制方程,采用Laplace變換結(jié)合矩陣傳遞法給出相應(yīng)的半解析解.

2) 通過(guò)現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)和文獻(xiàn)算例驗(yàn)證了本文方法的合理性.

3) 分析了樁身被動(dòng)段豎向摩阻和長(zhǎng)度對(duì)樁身側(cè)向響應(yīng)的影響.結(jié)果表明,樁身被動(dòng)段豎向摩阻對(duì)樁身側(cè)向響應(yīng)存在明顯的折減效應(yīng),但該折減效應(yīng)隨著被動(dòng)段地基豎向抗力系數(shù)的增大而逐漸減小.當(dāng)樁身被動(dòng)段長(zhǎng)度小于臨界長(zhǎng)度時(shí),樁身側(cè)向響應(yīng)隨著樁身被動(dòng)段長(zhǎng)度的增加而顯著增大,且樁身被動(dòng)段臨界長(zhǎng)度隨著被動(dòng)段土體剛度的增大而減小.由此可知,增強(qiáng)樁身被動(dòng)段3～5倍樁徑深度范圍內(nèi)的土體剛度對(duì)減小樁身側(cè)向響應(yīng)有較為明顯的效果.