張?jiān)?黃洪猛 梁永永

(蘭州交通大學(xué)土木工程學(xué)院, 蘭州 730070)

薄壁箱梁在偏心豎向荷載作用下表現(xiàn)出復(fù)雜的空間受力性能,其橫截面上的應(yīng)力大小及分布難以通過初等力學(xué)方法進(jìn)行計(jì)算,傳統(tǒng)的應(yīng)力驗(yàn)算方法已不能保證混凝土薄壁箱梁的抗裂性.為此,《公路鋼筋混凝土及預(yù)應(yīng)力混凝土橋涵設(shè)計(jì)規(guī)范》(JTG 3362—2018)明確要求對復(fù)雜形式薄壁箱梁應(yīng)采用精細(xì)化分析方法,如考慮翹曲效應(yīng)的七自由度模型、折面梁格模型等,并補(bǔ)充規(guī)定了對箱梁頂板和底板等板件平面內(nèi)主拉應(yīng)力驗(yàn)算的要求,以免產(chǎn)生各板件平面內(nèi)的斜裂縫.此外,還引入了正應(yīng)力和剪應(yīng)力放大系數(shù)的計(jì)算公式,以充分反映箱梁的空間受力性能.

混凝土薄壁箱梁在偏心豎向荷載作用下的扭轉(zhuǎn)問題均表現(xiàn)為約束扭轉(zhuǎn),橫截面內(nèi)的翹曲正應(yīng)力和剪應(yīng)力顯著影響主拉應(yīng)力大小和分布,是斜截面抗裂性驗(yàn)算時(shí)必須計(jì)算的內(nèi)容.因此,研究薄壁箱梁約束扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力計(jì)算方法具有重要意義.近年來,許多學(xué)者在薄壁箱梁的約束扭轉(zhuǎn)方面開展了深入研究.Wang等[1]將箱梁扭轉(zhuǎn)角分解為自由翹曲扭轉(zhuǎn)角與約束剪切扭轉(zhuǎn)角,給出了總剪應(yīng)力的4個(gè)分量及其計(jì)算公式.徐勛等[2]基于廣義坐標(biāo)法建立了扭轉(zhuǎn)狀態(tài)下薄壁箱梁的位移模式,用混合變分原理推導(dǎo)了控制微分方程,論證了通過力矩平衡條件和翹曲連續(xù)條件2種剪應(yīng)力計(jì)算方法的統(tǒng)一性.張?jiān)５萚3]針對有懸臂翼緣板的箱梁,提出了約束扭轉(zhuǎn)二次剪應(yīng)力的分解計(jì)算方法,并分析了懸臂翼緣板寬度變化對二次扭矩和剪應(yīng)力的影響.徐棟等[4]在深入剖析預(yù)應(yīng)力混凝土箱梁腹板開裂成因的基礎(chǔ)上,提出了能夠全面反映空間效應(yīng)的箱梁完整應(yīng)力驗(yàn)算方法,已納入現(xiàn)行公路混凝土橋梁設(shè)計(jì)規(guī)范《公路鋼筋混凝土及預(yù)應(yīng)力混凝土橋涵設(shè)計(jì)規(guī)范》(JTG 3362—2018).鐘新谷等[5]結(jié)合大比例預(yù)應(yīng)力混凝土連續(xù)箱梁模型試驗(yàn),用梁段有限元法分析了偏載作用下箱梁結(jié)構(gòu)的應(yīng)力放大系數(shù),指出實(shí)際設(shè)計(jì)中采用的剪應(yīng)力放大系數(shù)嚴(yán)重偏小.夏桂云等[6]針對傳統(tǒng)的有限梁段法不便于直接計(jì)算二次扭矩的不足,給出了通過單元節(jié)點(diǎn)位移計(jì)算二次扭矩的變換公式,減少了通過廣義內(nèi)力計(jì)算約束扭轉(zhuǎn)二次剪應(yīng)力時(shí)的計(jì)算量.文穎等[7]對懸臂翼緣板和閉合箱壁采用不同的翹曲位移模式,建立了約束扭轉(zhuǎn)分析的梁段有限元模型,能夠更好地反映箱梁的翹曲變形狀態(tài).文獻(xiàn)[8-12]也用有限梁段法分析了箱梁的約束扭轉(zhuǎn)效應(yīng),其中Kim等[9]和Cambronero-Barrientos等[10]采用的梁段單元還可以同時(shí)考慮截面畸變變形.

無論采用解析法還是梁段有限元法分析箱梁約束扭轉(zhuǎn)問題,最后都?xì)w結(jié)于通過廣義內(nèi)力進(jìn)行應(yīng)力計(jì)算,以適應(yīng)現(xiàn)行設(shè)計(jì)規(guī)范采用的驗(yàn)算體系.然而,在傳統(tǒng)箱梁及波形鋼腹板組合箱梁翹曲剪應(yīng)力計(jì)算的許多文獻(xiàn)中[8,13-18],均給出了不合理的翹曲剪應(yīng)力分布及計(jì)算結(jié)果.其中，文獻(xiàn)[8]給出的懸臂翼緣板上翹曲剪應(yīng)力分布曲線與正應(yīng)力分布不適應(yīng),而文獻(xiàn)[13-18]給出的翹曲剪應(yīng)力計(jì)算結(jié)果也存在錯(cuò)誤,即在本應(yīng)該沒有剪應(yīng)力的懸臂翼緣板自由端處出現(xiàn)了較大剪應(yīng)力,由此導(dǎo)致腹板和底板內(nèi)的剪應(yīng)力計(jì)算結(jié)果顯著減小.綜上所述,開展薄壁箱梁約束扭轉(zhuǎn)翹曲剪應(yīng)力的合理計(jì)算方法研究很有必要.

針對已有文獻(xiàn)中在薄壁箱梁約束扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力計(jì)算方面存在的問題,本文提出了剪應(yīng)力的實(shí)用簡化計(jì)算公式.首先導(dǎo)出薄壁箱梁約束扭轉(zhuǎn)總剪應(yīng)力的2種計(jì)算公式,并論證其等價(jià)性;在此基礎(chǔ)上,進(jìn)一步給出2種計(jì)算公式中相應(yīng)廣義扇性靜矩的實(shí)用簡化計(jì)算公式.

1 約束扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力公式推導(dǎo)

圖1所示為任意閉口薄壁截面簡圖,Oxyz為形心坐標(biāo)系,S為截面扭轉(zhuǎn)中心,s為沿壁厚中心線度量的曲線坐標(biāo),以逆時(shí)針為正.根據(jù)烏曼斯基第二扭轉(zhuǎn)理論,當(dāng)s坐標(biāo)起始點(diǎn)位于主零點(diǎn)處時(shí),壁厚中心線上任意點(diǎn)P處的縱向翹曲位移u和切向位移v可表達(dá)為

(1)

v(z,s)=θ(z)ρ(s)

(2)

圖1 任意閉口薄壁截面簡圖

由式(1)可得任意點(diǎn)處翹曲正應(yīng)力σω(為了簡化表達(dá),下文均不再標(biāo)出坐標(biāo)z和s)為

(3)

式中,E為彈性模量.

截取薄壁微元體dz×ds,其受力簡圖如圖2所示.由微元體縱向平衡條件,可得

(4)

式中,q為總剪力流,即薄壁中心線上任意點(diǎn)處總剪應(yīng)力與壁厚的乘積;t為壁厚.

圖2 薄壁微元體受力圖

將式(4)兩邊同乘以ds后對s積分,可得

(5)

根據(jù)閉口薄壁梁橫截面上內(nèi)、外扭矩平衡條件,可得

(6)

式中,Mz為橫截面總扭矩;Ω為薄壁中心線所圍成面積的2倍.

(7)

(8)

還可以通過翹曲位移連續(xù)性條件導(dǎo)出總剪力流的另一種計(jì)算公式.閉口截面薄壁梁的總剪力流q由自由扭轉(zhuǎn)的布雷特剪力流qs和平衡翹曲正應(yīng)力的二次剪力流qω兩部分組成,即

q=qs+qω

(9)

同樣由薄壁微元體的縱向平衡,可將二次剪力流qω表達(dá)為

(10)

式中,qω0為二次常剪力流,可由翹曲位移連續(xù)性條件求得.

由幾何方程可知,薄壁微元體中面內(nèi)的剪應(yīng)變γ可通過翹曲位移表達(dá)為

(11)

式中,G為剪切模量.將式(2)代入式(11),可得

(12)

式(12)兩邊同乘以ds后對s積分,可得

(13)

式中,u0為虛構(gòu)切口一側(cè)處(即s坐標(biāo)起始點(diǎn)處)的翹曲位移.由于虛構(gòu)切口處翹曲位移必須保持連續(xù),故按式(13)計(jì)算切口另一側(cè)翹曲位移(繞閉口薄壁中心線積分一周)所得結(jié)果必然等于u0,從而可得翹曲位移連續(xù)性條件如下：

(14)

將式(9)代入式(14),并應(yīng)用布雷特第一和第二公式,可將翹曲位移連續(xù)性條件進(jìn)一步表達(dá)為

(15)

將式(10)代入式(15)即可解出qω0,從而可得二次剪力流qω的計(jì)算公式為

(16)

(17)

故總剪力流的另一種計(jì)算公式為

(18)

式中,Ms為自由扭轉(zhuǎn)扭矩.Ms與Mω之和為總扭矩Mz.

至此,本文分別從總扭矩平衡條件和翹曲位移連續(xù)性條件,導(dǎo)出了總剪力流的2種計(jì)算公式,可任選一種使用,2種公式計(jì)算結(jié)果應(yīng)該相同,但式(18)的物理意義更清晰.此外,即使對于有懸臂板的薄壁箱形截面,式(17)中的積分仍只需在閉口范圍內(nèi)計(jì)算.

2 2種公式的等價(jià)性

本節(jié)將從理論上證明所導(dǎo)出的第1種公式(式(7)和(8))與第2種公式(式(17)和(18))之間的等價(jià)性.

(19)

將式(19)兩邊對s求導(dǎo),可得

(20)

利用式(20),對式(8)中的積分進(jìn)行變換,得

(21)

由分部積分可知,式(21)右端第1個(gè)積分為

(22)

式中,s1表示橫截面壁厚中心線全長.借助式(21)和式(22),可將式(8)改寫為

(23)

將式(23)代入式(7),并根據(jù)Ms=Mz-Mω,可得

(24)

上述推演表明,式(18)與式(7)是恒等的.

圖3 薄壁箱梁橫截面簡圖

懸臂板

(25)

頂板

(26)

腹板

(27)

底板

(28)

其中

(29)

(30)

式中,ρt、ρc、ρw及ρb分別為橫截面扭轉(zhuǎn)中心至頂板、懸臂板、腹板及底板的垂直距離.

4 數(shù)值算例

圖4 箱梁橫截面尺寸(單位：m)

為了驗(yàn)證本文方法的正確性,用本文導(dǎo)出的公式及Ansys有限元法計(jì)算該簡支箱梁距跨中2.5 m處橫截面上各板件中點(diǎn)處的剪應(yīng)力,計(jì)算結(jié)果列于表1中.用Ansys有限元計(jì)算時(shí),采用Shell63殼單元,集中扭矩荷載按照沿閉合箱室壁厚中心線均勻分布的剪力流形式,等效施加于跨中截面閉合箱壁上各單元的相應(yīng)節(jié)點(diǎn)處,梁端及跨中的橫隔板厚度均為0.3 m.全梁共劃分為3 348個(gè)節(jié)點(diǎn),3 350個(gè)單元.表1中的相對誤差為Ansys解與本文解的差除以本文解得到的.由表可知,除懸臂板中點(diǎn)處的計(jì)算值與Ansys結(jié)果誤差稍大外(主要由剛性周邊假設(shè)引起),在其余位置處按本文方法計(jì)算結(jié)果與Ansys結(jié)果均吻合良好.

表1 距跨中2.5 m處橫截面的剪應(yīng)力比較

(a) 總剪應(yīng)力分布圖

(b) 二次剪應(yīng)力分布圖

(c) 自由扭轉(zhuǎn)布雷特剪應(yīng)力分布圖

從圖6可以看出：① 全截面的最大剪應(yīng)力發(fā)生在腹板內(nèi),而在頂板和底板的中部區(qū)域內(nèi)剪應(yīng)力均較小,在頂板中心處的剪應(yīng)力最小.② 在箱梁的懸臂板內(nèi)也會產(chǎn)生可觀的剪應(yīng)力(二次剪應(yīng)力);進(jìn)一步計(jì)算分析表明,隨著懸臂板寬度的增加,箱梁截面承受的二次扭矩將顯著增大.③ 對于本例,如果忽略約束扭轉(zhuǎn)效應(yīng),而近似按自由扭轉(zhuǎn)理論計(jì)算箱梁剪應(yīng)力時(shí),則截面上二次扭矩為0,總扭矩全部為自由扭矩,此時(shí)腹板厚度中心線處的剪應(yīng)力為88.7 kPa,只有實(shí)際最大值的69%,從而嚴(yán)重低估了腹板內(nèi)的實(shí)際剪應(yīng)力大小.

盡管三維有限元數(shù)值分析方法可以解決箱梁的空間應(yīng)力分析問題,但這種數(shù)值分析與現(xiàn)行橋梁設(shè)計(jì)規(guī)范中基于內(nèi)力的驗(yàn)算體系不適應(yīng),尤其是在需要根據(jù)彎曲、扭轉(zhuǎn)或畸變效應(yīng)調(diào)整結(jié)構(gòu)的相應(yīng)剛度或采取相應(yīng)的合理構(gòu)造措施方面,基于梁理論的計(jì)算方法就會顯示出優(yōu)越性.此外,本文方法對于鋼箱梁完全適用;對于預(yù)應(yīng)力混凝土箱梁,由于板厚不能完全滿足薄壁假設(shè),存在一定近似性.

5 結(jié)論

1) 以烏曼斯基第二理論為基礎(chǔ),分別從總扭矩平衡條件和翹曲位移連續(xù)性條件出發(fā),導(dǎo)出了計(jì)算薄壁箱梁約束扭轉(zhuǎn)總剪應(yīng)力的2種計(jì)算公式,并從理論上嚴(yán)密論證了2種公式的等價(jià)性.公式推導(dǎo)過程中,特別強(qiáng)調(diào)了力學(xué)解釋以及對箱梁懸臂板的考慮,澄清了目前眾多文獻(xiàn)在約束扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力計(jì)算中的混亂狀況.

2) 針對2種計(jì)算公式中出現(xiàn)的廣義扇性靜矩計(jì)算繁瑣的情況,推導(dǎo)了其實(shí)用簡化計(jì)算公式,并結(jié)合數(shù)值算例,詳細(xì)說明了應(yīng)用簡化公式計(jì)算薄壁箱梁約束扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力的過程,以便設(shè)計(jì)人員應(yīng)用.

3) 帶懸臂板的薄壁箱梁發(fā)生約束扭轉(zhuǎn)時(shí),全截面上的最大剪應(yīng)力發(fā)生在腹板內(nèi),而在頂板和底板內(nèi)的剪應(yīng)力分布很不均勻且中部區(qū)域內(nèi)的剪應(yīng)力很小,在懸臂板內(nèi)也會出現(xiàn)數(shù)值較大的剪應(yīng)力(二次剪應(yīng)力).

4) 工程實(shí)踐中,薄壁箱梁的扭轉(zhuǎn)問題往往表現(xiàn)為約束扭轉(zhuǎn),如果近似按自由扭轉(zhuǎn)計(jì)算剪應(yīng)力,將嚴(yán)重低估腹板內(nèi)的實(shí)際剪應(yīng)力大小,算例箱梁按自由扭轉(zhuǎn)計(jì)算的腹板厚度中心線處剪應(yīng)力只有實(shí)際最大剪應(yīng)力的69%.