普學(xué)云

目前，老師們關(guān)于小學(xué)數(shù)學(xué)解方程方法的討論越來越多，特別《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》（以下簡稱《新課標(biāo)》）頒布后，針對上述問題的討論更是越演越烈，大家討論的焦點(diǎn)始終聚集在“算術(shù)思維”和“代數(shù)思維”孰對孰錯、孰優(yōu)孰劣上。《新課標(biāo)》對解方程的要求為“了解等式的性質(zhì)，能用等式的性質(zhì)解方程”。但在實(shí)際教學(xué)中，教師并沒有真正落實(shí)課標(biāo)要求，為了讓學(xué)生在考試中提高解方程的速度和正確率，部分教師直接把“等式的性質(zhì)”過濾掉，只教給學(xué)生使用“四則運(yùn)算的逆運(yùn)算”來解方程，這樣的做法直接忽視了代數(shù)思維的形成與發(fā)展。是擯棄傳統(tǒng)擁抱未來，還是把傳統(tǒng)與新時代要求有機(jī)融合就成了值得我們思考的問題。

一、用算術(shù)思維解方程的原因分析

1.課程標(biāo)準(zhǔn)的要求讓教師在“用好”與“好用”之間徘徊

1988年頒布的《九年制義務(wù)教育全日制小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（初審）》和1992年頒布的《九年制義務(wù)教育全日制小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（試用）》中都規(guī)定“不講等式的性質(zhì)和移項法則”，這為教師們教學(xué)解方程使用“四則運(yùn)算的逆運(yùn)算”提供了理論依據(jù)，23年的充分實(shí)踐讓老師們發(fā)現(xiàn)，使用“四則運(yùn)算的逆運(yùn)算”解方程有著其獨(dú)特的優(yōu)勢，一是從一年級學(xué)習(xí)加法、減法開始，到二年級學(xué)習(xí)了乘、除法，到此為止，四則運(yùn)算全部學(xué)習(xí)完畢，三、四、五年級的運(yùn)算都是在一二年級的基礎(chǔ)上進(jìn)行延伸的，只不過是數(shù)系有所擴(kuò)充，學(xué)生到五年級學(xué)習(xí)解方程時已經(jīng)積累了大量的關(guān)于四則運(yùn)算的經(jīng)驗;二是在教學(xué)四則運(yùn)算的過程中，學(xué)生在老師的要求下已經(jīng)記住了大量的譬如“被減數(shù)-減數(shù)=差、減數(shù)=被減數(shù)-差、被減數(shù)=差+減數(shù)”這樣的關(guān)系，所以學(xué)生用起來得心應(yīng)手。2001年的《課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗稿）》和2012年《新課標(biāo)》中對解方程要求學(xué)生“會用等式的性質(zhì)解方程”和“能用等式的性質(zhì)解方程”，反而成了師生們教與學(xué)的難點(diǎn)、痛點(diǎn)。因此，教師們放棄了與中學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容和方法接軌的“用等式的性質(zhì)解方程”，自然地選擇了易于學(xué)生現(xiàn)階段理解、接受的“四則運(yùn)算的逆運(yùn)算”來解方程。

2.教材內(nèi)容的呈現(xiàn)讓老師在“用什么”與“怎么用”之間進(jìn)退兩難

人教版五年級上冊所有涉及解方程的例題，教材中呈現(xiàn)的方法都是使用“等式的性質(zhì)”來解決，到了六年級上學(xué)期的教材中，解方程的方法讓人感覺有所改變，方程的左邊由“ax”直接變?yōu)椤皒”，都少了“÷a”這個步驟，許多老師認(rèn)為這不就是運(yùn)用了“一個因數(shù)=積÷另一個因數(shù)”的方法嗎？怎么又回到了“我的學(xué)生時代”？是教材編寫的失誤？還是有意而為之，我想這樣的失誤不太可能，那有意而為之的“有意”到底是什么？

我通過認(rèn)真閱讀了五年級數(shù)學(xué)上冊教師用書，才發(fā)現(xiàn)在教師用書中已經(jīng)闡釋了這種變化的必要性，即思維的減縮。里面是這樣描述的“鼓勵適當(dāng)簡化解方程的書寫。第5題的四個方程，數(shù)值都不大，ax±bx的運(yùn)算可借助口算，直接寫出結(jié)果。因為隨著熟練程度的提高，自然出現(xiàn)思維的減縮，適當(dāng)簡化書寫有利于思維的減縮”。也就是13.2x+9x省略（13.2+9）x這一步，直接寫出結(jié)果22.2x，那么在計算熟練之后，計算22.2x=33.3，直接把方程左邊的“÷22.2”省略，只在方程的右邊出現(xiàn)“÷22.2”也能看成是思維的減縮，思維的縮減不代表方法的改變，所以老師們把它簡單地看成是運(yùn)用“四則運(yùn)算的逆運(yùn)算”來解方程是錯誤的，就比如在計算因數(shù)末尾有0的乘法和商中間有0的除法時，在學(xué)生熟練的基礎(chǔ)上可以把豎式進(jìn)行簡寫的道理一樣。

要使教師走出這樣的誤區(qū)，必須從兩個方面來解決，一個是教師們要加大對教材、教師用書、課程標(biāo)準(zhǔn)的研讀力度;二是教師用書的編者有必要把這樣的變化放在主要內(nèi)容上闡明，而不是放在練習(xí)題的教學(xué)建議上簡單帶過。

二、用代數(shù)思維解方程的必要性分析

關(guān)于用什么樣的思維解方程，在以往的討論中出現(xiàn)了兩種觀點(diǎn)，一是在小學(xué)教學(xué)解方程為時過早，持這一觀點(diǎn)的老師們認(rèn)為，小學(xué)生還不具備用“等式的性質(zhì)解方程”這樣的能力，受數(shù)系擴(kuò)充的影響，小學(xué)階段尚未涉及有理數(shù)領(lǐng)域內(nèi)的所有運(yùn)算，比如涉及負(fù)數(shù)的運(yùn)算沒有參與進(jìn)來，這就為解減數(shù)、除數(shù)是未知數(shù)的方程設(shè)置了障礙，增加了難度，這也是《新課標(biāo)》回避二類問題的原因，也是教師不愿意在教學(xué)中用“等式的性質(zhì)解方程”的真正原因;二是在小學(xué)教學(xué)解方程是為中學(xué)學(xué)習(xí)更復(fù)雜的方程（方程組）做準(zhǔn)備、打基礎(chǔ)，持這一觀點(diǎn)的老師們則認(rèn)為中學(xué)學(xué)習(xí)解方程用的是代數(shù)的方法。在小學(xué)里學(xué)習(xí)解方程利用等式的性質(zhì)，這樣中學(xué)學(xué)習(xí)不再是另起爐灶。小學(xué)里解方程的教學(xué)，與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的銜接，不僅僅表現(xiàn)為解方程方法的一致，更有價值的是：思考問題的方法趨向一致。

根據(jù)四則運(yùn)算的互逆關(guān)系解方程，屬于算術(shù)領(lǐng)域的思考方法;用等式性質(zhì)解方程，屬于代數(shù)領(lǐng)域的解方程。兩者有聯(lián)系，但后者是前者的發(fā)展與提高。這樣，在解方程的教學(xué)中，教師有必要讓學(xué)生逐步接受并運(yùn)用代數(shù)的方法思考、解決問題，使思維水平得到提高。

三、算術(shù)思維與代數(shù)思維的整合分析

以上論述，無非是想給老師們提供一個標(biāo)準(zhǔn)，并找到運(yùn)用這一標(biāo)準(zhǔn)的理論依據(jù)，對解方程的方法進(jìn)行一次統(tǒng)一，讓老師們從容而教，不再膽戰(zhàn)心驚、如履薄冰，寫到這里，大家可能會認(rèn)為筆者推崇等式性質(zhì)排斥逆運(yùn)算，其實(shí)不然，用等式的性質(zhì)解方程和用四則運(yùn)算的逆運(yùn)算解方程兩種方法并非水火不容、各自為政，在新課標(biāo)要求下，四則運(yùn)算的逆運(yùn)算并非一無是處，在解方程中，“四則運(yùn)算的逆運(yùn)算”同樣可以發(fā)揮其優(yōu)勢，在解形如“a-x=b”和“a÷x=b”這兩類難度較大的方程時，我們就可以借助四則運(yùn)算的逆運(yùn)算先把減數(shù)或者除數(shù)是未知數(shù)的方程轉(zhuǎn)化為求和（積）的方程，然后再利用等式的性質(zhì)接著往下解。

四、結(jié)語

時代的進(jìn)步與發(fā)展，學(xué)生學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變，必然引發(fā)教學(xué)方式的深刻變革，這就需要新時代的教師們跟上社會前進(jìn)的腳步，把傳統(tǒng)的方法與新時代的要求進(jìn)行科學(xué)、有機(jī)地融合，同時，國家層面也應(yīng)對課程標(biāo)準(zhǔn)、教師用書、教材進(jìn)行統(tǒng)一，以滿足師生教與學(xué)的需求。我們期待即將面世的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2021版）》會對這些影響師生思維發(fā)展的問題加以改進(jìn)。