陳黎

摘 要：文章以新課標(biāo)和近幾年高考導(dǎo)向為指引，從學(xué)情、師資、教學(xué)資源和教學(xué)手段等維度對高中概率與統(tǒng)計主題內(nèi)容的教學(xué)策略和實踐進(jìn)行研究，以期在新一輪教學(xué)改革的浪潮中落實發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)和學(xué)生個人核心素養(yǎng)目標(biāo)，體現(xiàn)概率與統(tǒng)計主題的課程價值。

關(guān)鍵詞：高中概率與統(tǒng)計;教學(xué)策略;核心素養(yǎng)

在大數(shù)據(jù)時代，社會的深刻變革使數(shù)學(xué)有了更廣闊的應(yīng)用空間，同時也會對數(shù)學(xué)教育提出新的要求?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》強(qiáng)調(diào)：在數(shù)學(xué)課程開展的過程中，把促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展放在突出位置。

概率與統(tǒng)計是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》中，概率與統(tǒng)計以主題的形式出現(xiàn)，教學(xué)的內(nèi)容與要求均有所增加的同時凝練了學(xué)科的核心素養(yǎng)。

另一方面，從高考命題的角度來說：2004年全國高考卷首次出現(xiàn)概率與統(tǒng)計內(nèi)容的解答題，到2019年全國I卷（理）概率與統(tǒng)計內(nèi)容的解答題成了壓軸題。高考對概率與統(tǒng)計部分內(nèi)容的考查明顯體現(xiàn)出從最初的知識立意到能力立意再到素養(yǎng)立意的變化。如何將新課標(biāo)中的核心素養(yǎng)落實到平時概率與統(tǒng)計的教育教學(xué)中去，這是高中數(shù)學(xué)教師必須面對和思考的問題。筆者在近幾年翻閱了大量資料并結(jié)合教學(xué)工作，從理論到實踐對該主題的教與學(xué)進(jìn)行研究和探討。

一、概率與統(tǒng)計教學(xué)中存在的問題

（一）學(xué)情特點

小學(xué)、初中的數(shù)學(xué)課程中概率與統(tǒng)計的內(nèi)容是以每年1—2章節(jié)滲透的形式呈現(xiàn)的。學(xué)生有一定的基礎(chǔ)，體現(xiàn)在了解概率是什么（模糊地）;計算簡單的古典概型;能做簡單的數(shù)據(jù)統(tǒng)計;會計算樣本的極差、中位數(shù)、平均數(shù)、方差等數(shù)字特征。這也基本符合學(xué)生在該年齡階段的認(rèn)知特點。

高中階段學(xué)生在這一主題的內(nèi)容學(xué)習(xí)中主要存在以下問題：

1. 對重要概念存在模糊認(rèn)識。比如對概率研究的對象隨機(jī)事件，學(xué)生就缺乏系統(tǒng)完整的認(rèn)知，在計算復(fù)雜概率問題時不會分析隨機(jī)事件的相互關(guān)系（互斥、相互獨立）。這是因為在小學(xué)初中的數(shù)學(xué)課程中學(xué)生沒有系統(tǒng)地學(xué)習(xí)這個概念，這顯然影響了數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的發(fā)展。

2. 對概率與統(tǒng)計的主體思想沒有整體地認(rèn)知。這是因為之前的學(xué)習(xí)是滲透式的，每個學(xué)年學(xué)一些，學(xué)生對概率與統(tǒng)計主題內(nèi)容很難有完整系統(tǒng)的概念。即使在高中也分成兩個模塊來學(xué)，之前的零碎感和模糊感很難在短期內(nèi)消除，造成數(shù)學(xué)推理和數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)發(fā)展不到位。

（二）教師方面存在的問題

師范大學(xué)數(shù)學(xué)教育專業(yè)的畢業(yè)生在本科期間的《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》雖然是必修課，但明顯偏重于理論，與實際結(jié)合較少，非應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的畢業(yè)生基本沒有做過一個完整的統(tǒng)計案例。再加上之前的概率與統(tǒng)計主題不是高考的重點內(nèi)容，教學(xué)用到專業(yè)知識的地方不多，也就導(dǎo)致很多初高中教師對這塊內(nèi)容缺乏系統(tǒng)的認(rèn)識，教學(xué)上對學(xué)生的引領(lǐng)就顯得比較無力。

要給學(xué)生“一杯水”，老師至少要有“一桶水”。在高中數(shù)學(xué)課程中，為了讓僅具備初等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的學(xué)生理解并接受概率與統(tǒng)計中的許多概念，教材不可能用公理化的方式對其進(jìn)行嚴(yán)格的定義，但教師不但要正確理解，還應(yīng)在此基礎(chǔ)上將難懂的學(xué)術(shù)語言轉(zhuǎn)換為能符合學(xué)生認(rèn)知水平的教學(xué)語言，并引發(fā)積極的思考。趙軒、任子朝認(rèn)為教學(xué)中重視做題忽視概念不利于知識的內(nèi)化和遷移。為了學(xué)生的長遠(yuǎn)發(fā)展，高考作為選拔性考試將會進(jìn)一步發(fā)揮加強(qiáng)基本概念考查，打破機(jī)械刷題學(xué)習(xí)模式的導(dǎo)向作用。為了讓學(xué)生對概率與統(tǒng)計內(nèi)容有整體的理解和正確的認(rèn)識，教師有必要將大學(xué)教材《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》重新學(xué)習(xí)一次，至少將重要的章節(jié)重溫一遍。筆者這兩年利用閑暇時間特意將新舊三個版本的大學(xué)教材《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》重新研讀了一遍，對很多相關(guān)概念的理解有了新的認(rèn)識，對概率與統(tǒng)計問題認(rèn)識的高度和深度使筆者在教學(xué)中能游刃有余，讓教學(xué)過程變得有序、充實，讓學(xué)生對知識和方法的來龍去脈清楚明晰。另外教師必須認(rèn)真鉆研新課標(biāo)，將其各核心素養(yǎng)的內(nèi)涵與價值、表現(xiàn)與水平特征、培養(yǎng)與評價等相關(guān)內(nèi)容爛熟于心，充分領(lǐng)會其精神和本質(zhì)，才有可能讓學(xué)科素養(yǎng)落在實處。

如果教師只滿足于能講解課本和習(xí)題上的案例是不夠的，這就要求教師擴(kuò)大知識面，多進(jìn)行課外的閱讀，從現(xiàn)實生活中去尋找教育教學(xué)的素材，如果在課堂上能將生活中學(xué)生感興趣的事物用概率與統(tǒng)計的觀點進(jìn)行分析、透視，引起學(xué)生的興趣，參與討論、產(chǎn)生共鳴，那么“創(chuàng)設(shè)情境”“有效遷移”就不會停留在表面，這樣的課堂就不再枯燥、乏味，而讓學(xué)生聽得津津有味，對教師產(chǎn)生崇敬感。情感、態(tài)度價值觀的因素融入進(jìn)來，學(xué)科素養(yǎng)的凝練過程才會有“問渠那得清如許，為有源頭活水來”的效果。筆者近幾年讀了吳軍博士的《數(shù)學(xué)之美》，作者用通俗的敘事語言將數(shù)學(xué)在現(xiàn)今眾多前沿領(lǐng)域的應(yīng)用娓娓道來，是非常好的數(shù)學(xué)科普書籍。其中包含大量的概率與統(tǒng)計在自然語言處理、密碼學(xué)、路徑規(guī)劃、人工智能等前沿科學(xué)的豐富案例，它們作為教學(xué)素材經(jīng)常在筆者的課堂上適時出現(xiàn)，讓學(xué)生驚訝“原來讓翻譯軟件正確率大幅提高的不是語言學(xué)家的研究成果而是統(tǒng)計模型的應(yīng)用”“ALPHA GO能戰(zhàn)勝柯潔并不是它能理解柯潔的棋風(fēng)而是它有基于統(tǒng)計學(xué)超快的自學(xué)能力”，這樣的課堂才更具有活力和靈性。

二、教學(xué)策略與建議

（一）抓住主題特點，著重發(fā)展數(shù)據(jù)處理核心素養(yǎng)

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中需要學(xué)生凝練學(xué)科核心素養(yǎng)，數(shù)據(jù)處理是概率與統(tǒng)計主題所獨有的。這一素養(yǎng)與其他數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)相比，其獨特主要表現(xiàn)在：一是立論的基礎(chǔ)不同。因為數(shù)據(jù)分析問題的起點一定來自于數(shù)學(xué)的外部，研究問題的基本思路是從數(shù)據(jù)出發(fā)而不是從定義出發(fā);二是推理方法，數(shù)據(jù)分析中推理的基礎(chǔ)是歷史經(jīng)驗，主要采用歸納推理，其他數(shù)學(xué)內(nèi)容的推理基礎(chǔ)是公理體系主要采用演繹推理;三是判斷準(zhǔn)則，不同數(shù)學(xué)判斷結(jié)論的準(zhǔn)則是對與錯，這充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和準(zhǔn)確性，統(tǒng)計學(xué)面向隨機(jī)現(xiàn)象探究偶然性下的規(guī)律性，即使是同樣的數(shù)據(jù)也允許出現(xiàn)不同的判斷。人們根據(jù)自己對數(shù)據(jù)背景的理解采用不同的推斷方法進(jìn)行分析得出不同的推斷結(jié)果，其判斷結(jié)論的準(zhǔn)則是好與壞，這既體現(xiàn)了統(tǒng)計學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和準(zhǔn)確性，又體現(xiàn)了統(tǒng)計學(xué)的藝術(shù)特色。只有正確認(rèn)識數(shù)據(jù)分析的這些特點，才能在概率與統(tǒng)計的教學(xué)中的找準(zhǔn)著力點，讓學(xué)生樹立正確的概率與統(tǒng)計基本思想。

在教學(xué)實踐中，教師應(yīng)該運用豐富而真實的案例，反復(fù)強(qiáng)化以下基本的統(tǒng)計思想，讓學(xué)生在逐層發(fā)展學(xué)科素養(yǎng)的過程中有堅實的基礎(chǔ)：

統(tǒng)計學(xué)在做什么？——研究總體。

統(tǒng)計學(xué)對總體怎么研究？——用樣本估計總體。

統(tǒng)計學(xué)研究總體的那些方面？——數(shù)據(jù)的分布情況、數(shù)字特征;多種數(shù)據(jù)是否有關(guān)、有什么樣的關(guān)系。

統(tǒng)計學(xué)有什么用？——根據(jù)總體的情況做出正確的決策。

只有真正落實數(shù)據(jù)處理這一核心素養(yǎng)的發(fā)展，才能讓學(xué)生從整體上對這個主題學(xué)習(xí)內(nèi)容有深層次的認(rèn)識。這樣他們在應(yīng)對概率與統(tǒng)計問題的時候才會有方向感。

（二）以主題教學(xué)均衡發(fā)展其他核心素養(yǎng)

概率與統(tǒng)計內(nèi)容中除了數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)之外還有數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算。數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)主要用在統(tǒng)計部分，而概率部分離不開另外四種素養(yǎng)。概率與統(tǒng)計又是密不可分的。在解決概率與統(tǒng)計問題的時候，除了數(shù)據(jù)處理素養(yǎng)發(fā)揮核心作用之外，其他幾個素養(yǎng)也是不可或缺。這部分?jǐn)?shù)學(xué)內(nèi)容的知識結(jié)構(gòu)本身就體現(xiàn)了素養(yǎng)相互交融的特點。從數(shù)學(xué)的整體來講我們應(yīng)該辯證看待，既要用分析的方式，也要有綜合的思維方式。

首先要優(yōu)先發(fā)展數(shù)學(xué)建模思想。概率與統(tǒng)計問題的起點都是實際問題，那么數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)就會在解決問題的過程中扮演重要的角色。數(shù)學(xué)建模是連接數(shù)學(xué)與外部世界的橋梁，是應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實際問題的基本方式。這一素養(yǎng)沒有充分發(fā)展就意味著建模過程不暢或錯誤。

比較近兩年的高考題我們會得到不言而喻的結(jié)論。2019年高考全國卷I（理）21題難度1.6，答卷中大量出現(xiàn)空白卷、審題不清和模型選擇錯誤。而2020年高考全國卷I（理）19題一改前三年背景文本材料較多的風(fēng)格，采用題干簡潔、直接設(shè)問的方式，對數(shù)學(xué)思維的要求雖然更高，但得分率有0.29，明顯高于2019年。由此說明數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)恰好是學(xué)生的短板。數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的主要瓶頸在于學(xué)生的知識面（對外部事物的理解）和在綜合情境中發(fā)現(xiàn)、提出、分析問題的能力。畢竟學(xué)生和社會接觸比較少，很多問題的情境離學(xué)生的生活比較遠(yuǎn)，要想學(xué)生在面臨陌生情境都能有深刻的理解是不現(xiàn)實的，應(yīng)對的辦法是：1. 認(rèn)真落實新課標(biāo)中數(shù)學(xué)建模活動與數(shù)學(xué)探究活動（必修主題五、選擇性必修主題四）的主題內(nèi)容，尤其要引導(dǎo)學(xué)生完成與統(tǒng)計學(xué)有關(guān)的數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)探究活動;2. 為學(xué)生提供較多真實的案例，讓其進(jìn)行閱讀、分析、建模的嘗試。

其次，其他幾個素養(yǎng)雖然不是概率與統(tǒng)計主題重點需要發(fā)展的核心素養(yǎng)，但教師在教學(xué)中也必須統(tǒng)籌兼顧?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》中提到：數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)通常是在綜合化、復(fù)雜化的情境中通過個體與情境的有效互動生成的。這就要求數(shù)學(xué)教師從以往的課節(jié)教學(xué)向主題教學(xué)轉(zhuǎn)換。課節(jié)教學(xué)以課時為單位進(jìn)行教學(xué)設(shè)計，對于合理把控數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)程優(yōu)化教學(xué)活動具有重要意義。不足之處是易使學(xué)生知識割裂，不利于形成完整的知識鏈條和體系，常常過多地關(guān)注知識與技能、忽視情感、態(tài)度、價值觀的培養(yǎng)，不利于學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)的發(fā)展，易使教師拘泥于具體內(nèi)容，缺乏對教學(xué)整體的把握。

（三）從學(xué)生成長角度，聚焦學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展能力

數(shù)學(xué)作為中國學(xué)生的一門必修課，除了要落實本學(xué)科的核心素養(yǎng)之外，還要肩負(fù)中國學(xué)生發(fā)展的六大核心素養(yǎng)：人文底蘊、科學(xué)精神、學(xué)會學(xué)習(xí)、健康生活、責(zé)任擔(dān)當(dāng)、實踐創(chuàng)新。其中的科學(xué)精神、學(xué)會學(xué)習(xí)在概率與統(tǒng)計的教學(xué)中有非常具體的落腳點。

科學(xué)精神可以簡單概括為實事求是、求真務(wù)實、開拓創(chuàng)新的理性精神和“實踐是檢驗真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)”的實證精神。隨著大數(shù)據(jù)時代的到來，概率與統(tǒng)計方法和結(jié)論在科學(xué)的各個領(lǐng)域、分支都有越來越廣泛的應(yīng)用。這部分的內(nèi)容相比其他數(shù)學(xué)內(nèi)容更容易課本、高考、習(xí)題中的各種情境都是概率與統(tǒng)計在各個層面應(yīng)用的管窺，處處體現(xiàn)理性精神和實證精神，是科學(xué)精神最好的涵詠。比如：研究吸引與肺癌關(guān)系的獨立性檢驗是心理學(xué)、醫(yī)學(xué)中廣泛采用的研究方法;二項分布是研究教育教學(xué)的有力工具;“要不要購買易損零件”（2016年高考—理19題）、“要不要繼續(xù)檢測”（2018年高考—理20題）帶有會計學(xué)和工商管理學(xué)的背景;“遇到紅燈的概率問題”來源于城市交通規(guī)劃學(xué)。教師在講完這些例子的數(shù)學(xué)過程之后不妨為學(xué)生講一講例子背后的理性精神。教師的延拓講解或許會點亮某些學(xué)生心中的科學(xué)火種，讓他們在不久的將來走上科研之路，最終成為某個領(lǐng)域的領(lǐng)軍人物。

學(xué)會學(xué)習(xí)是指既要掌握學(xué)習(xí)知識的技能和方法，更要通過不同方面的努力，全面提高學(xué)習(xí)品質(zhì)，在學(xué)習(xí)中身心獲得發(fā)展，不斷超越自我。另一種通俗的理解是具備可持續(xù)學(xué)習(xí)的能力和意愿。這一素養(yǎng)的凝練需要豐富的場景和過程加持，而提高專業(yè)閱讀能力是重要的部分。

在學(xué)習(xí)概率與統(tǒng)計的過程中，學(xué)生有機(jī)會獲得較其他內(nèi)容更多的數(shù)學(xué)與其他科學(xué)融合的閱讀材料，對這些材料的正確理解是數(shù)學(xué)建模能否成功的關(guān)鍵。在教學(xué)過程中，教師若能對學(xué)生閱讀進(jìn)行相應(yīng)的指導(dǎo)，學(xué)生數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)能得到提高的同時，學(xué)生學(xué)習(xí)的素養(yǎng)也得到了發(fā)展。余文森教授認(rèn)為，在由狹義教學(xué)走向廣義教學(xué)的過程中，要由以書本知識為教學(xué)對象轉(zhuǎn)化為以課程資源為教學(xué)對象，課程資源包括但不限于教材。

（四）合理運用信息技術(shù)，有機(jī)融合數(shù)學(xué)教學(xué)與信息技術(shù)

發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要載體是數(shù)學(xué)教學(xué)活動。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，利用信息技術(shù)可以創(chuàng)設(shè)豐富的情境，可以將較為抽象的內(nèi)容變得直觀可視，可以提高學(xué)生自主探究和解決問題的能力。而在概率與統(tǒng)計教學(xué)內(nèi)容中，由于涉及的數(shù)據(jù)處理方法多樣，計算繁雜，對教師的教學(xué)設(shè)計和課堂控制能力提出了很大的挑戰(zhàn)，學(xué)生在課堂上面對成堆的數(shù)據(jù)和眼花繚亂的圖形很容易迷失思考的方向，無法真正參與教學(xué)活動中，很難實現(xiàn)知識與方法的生成、理解、升華過程，就更談不上發(fā)展核心素養(yǎng)，因此要合理使用信息技術(shù)。

隨著信息技術(shù)的發(fā)展，市場上的概率與統(tǒng)計的平臺很多，如：SPSS、MatLab等。但由于它們太過專業(yè)、對硬件要求高而不適用于高中數(shù)學(xué)教學(xué)。GGB（Geogebra）是近年來風(fēng)靡世界的數(shù)學(xué)教學(xué)軟件，有免費、功能強(qiáng)大、可移植性好等諸多特點，代表著數(shù)學(xué)課堂教學(xué)軟件的發(fā)展方向。從筆者多年的實踐來看，EXCEL是最適合在中學(xué)課堂中運用的概率與統(tǒng)計教學(xué)平臺。EXCEL的優(yōu)點是小巧、方便、經(jīng)濟(jì)、易學(xué)，幾乎每臺計算機(jī)上都有EXCEL，對硬件的要求不高，每位教師都可以根據(jù)自己的實際學(xué)習(xí)能力掌握一定的制作方法。通過在課堂中合理使用EXCEL，都能大幅度提高課堂的效率和有效性，現(xiàn)場操作的過程能讓學(xué)生產(chǎn)生既視感，幫助他們理解數(shù)據(jù)處理的具體過程，有效地提升凝練數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)的效率。

另一方面，信息技術(shù)的運用是否能使課堂有效、真正為發(fā)展核心素養(yǎng)服務(wù)，這就取決于教師的組織教學(xué)的能力和學(xué)科功底。沒有精湛的教學(xué)設(shè)計和嫻熟的課堂駕馭能力為依托，光靠堆砌信息技術(shù)手段，并不能為學(xué)生帶來更深層次的思考，也就無從談起發(fā)展核心素養(yǎng)。這就是標(biāo)題中“合理”“有機(jī)融合”的要義。

三、教學(xué)案例與思考

（一）教學(xué)案例：統(tǒng)計案例（非線性回歸分析）

【教學(xué)設(shè)計】

1. 教材分析：本節(jié)內(nèi)容是高中人教A選修2-3第三章3.1節(jié)第二課時，是在學(xué)習(xí)完線性回歸方程的計算（通過例1復(fù)習(xí)必修3），擬合效果分析之后的進(jìn)一步學(xué)習(xí)，是對線性回歸分析的進(jìn)一步鞏固和提高。是回歸分析問題的最后一節(jié)新授課。

2. 學(xué)情分析：教學(xué)群體是高二物理班學(xué)生，數(shù)學(xué)水平落差較大。通過上一節(jié)的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)基本掌握了線性回歸的建模與分析方法，能對兩個相關(guān)變量進(jìn)行回歸求參、預(yù)測、殘差分析、擬合效果分析。

3. 教學(xué)目標(biāo)：

（1）能在較綜合的環(huán)境中正確地區(qū)分線性和非線性的回歸模型，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。

（2）能創(chuàng)造性地運用統(tǒng)計知識構(gòu)造相應(yīng)的統(tǒng)計模型解決問題，并用恰當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計語言表達(dá)數(shù)據(jù)提供的信息和規(guī)律，發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)處理素養(yǎng)。

（3）根據(jù)問題的需要對數(shù)學(xué)對象進(jìn)行合理地表述、推理、運算，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)。

4. 重難點：

重點：如何將非線性回歸分析轉(zhuǎn)化為線性回歸分析;如何評價擬合效果;

難點：如何確定非線性回歸模型的表達(dá)式。

5. 教法和學(xué)法：分組討論法、講練結(jié)合法。

【教學(xué)過程】

1. 回顧舊知：回顧線性回歸分析的基本步驟。

教師提出問題，引導(dǎo)學(xué)生回憶線性回歸分析的基本步驟，教師做點評、補充（喚醒學(xué)生的記憶，鞏固學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)）。

2. 提出問題：

（1）教師讀題，引導(dǎo)學(xué)生理解題意，學(xué)生思考、討論、敘述自己的理解，確定解釋變量和預(yù)報變量：溫度和產(chǎn)卵數(shù)誰做解釋變量誰做預(yù)備變量比較好？（提出情境、閱讀文本、理解題意）

（2）教師引導(dǎo)學(xué)生觀察散點圖，并描述其特點，如：單調(diào)性，凹凸性等，然后討論出幾種比較符合的函數(shù)模型（二次、指數(shù)、冪）：觀察散點圖，你認(rèn)為產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x之間具有線性關(guān)系嗎？如果不是，可能與哪些函數(shù)圖象比較匹配？（通過圖形的直觀性引導(dǎo)學(xué)生了解不是任意兩個變量之間都是線性相關(guān)關(guān)系）

（3）教師引導(dǎo)學(xué)生思考如何設(shè)計二次函數(shù)的具體表達(dá)式，主要從參數(shù)個數(shù)差異如何消除來引導(dǎo)：如果使用其他函數(shù)模型（比如二次函數(shù)）具體如何設(shè)計函數(shù)表達(dá)式？（用較易轉(zhuǎn)化的二次函數(shù)做鋪墊，用化歸思想引導(dǎo)學(xué)生思考如何將非線性規(guī)劃轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃）

（4）如果是二次型模型，如何求參數(shù)？（讓學(xué)生體會數(shù)據(jù)如何隨著模型的變化而轉(zhuǎn)換）

（5）教師提出問題，引導(dǎo)學(xué)生思考，學(xué)生通過觀察思考發(fā)表自己的意見，教師點評：如果是指數(shù)函數(shù)模型如何設(shè)計具體函數(shù)表達(dá)式？（使學(xué)生進(jìn)一步體會把解釋變量和預(yù)報變量的非線性關(guān)系經(jīng)過轉(zhuǎn)換后可以轉(zhuǎn)化為兩個新變量間的關(guān)系）

（6）教師提出問題，引導(dǎo)學(xué)生分組討論，然后讓學(xué)生分組配合計算參數(shù)：如何計算這兩種指數(shù)函數(shù)模型的參數(shù)？（讓學(xué)生熟悉線性回歸模型的參數(shù)估計方法）

（7）教師提問、引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行變換獲得最終的非線性模型：如何將得到的線性回歸模型再變回原問題所提出的模型？（將線性回歸轉(zhuǎn)回非線性回歸從而解決問題）

（8）教師提出問題，引導(dǎo)學(xué)生回憶評價線性回歸模型擬合好壞的標(biāo)準(zhǔn)——相關(guān)系數(shù)R2，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生探討如何進(jìn)行不同模型間的比較;學(xué)生討論、計算每個模型的R2，并進(jìn)行比較：以上幾個模型中哪個能更好地刻畫紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y與溫度x的關(guān)系？（引導(dǎo)學(xué)生嘗試進(jìn)行不同模型的比較）

（9）教師引導(dǎo)學(xué)生歸納處理非線性回歸問題的思路，同時應(yīng)強(qiáng)調(diào)要借助散點圖的直觀性，聯(lián)想已學(xué)過的基本初等函數(shù)圖象，引導(dǎo)學(xué)生感受知識與方法之間的聯(lián)系。

小結(jié)：我們?nèi)绾翁幚矸蔷€性問題？（引導(dǎo)學(xué)生整理思路，內(nèi)化知識與方法，擴(kuò)大最近發(fā)展區(qū)）

3. 課堂練習(xí)：

通過練習(xí)進(jìn)一步內(nèi)化方法，鞏固新的最近發(fā)展區(qū)。再次體會統(tǒng)計案例：收集數(shù)據(jù)、處理數(shù)據(jù)、建立模型、回歸模型、數(shù)據(jù)分析、決策的全過程。學(xué)生自主練習(xí)，教師巡視解惑、個別輔導(dǎo)。

某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費x（單位：千元）對年銷售量y（單位：t）和年利潤z（單位：千元）的影響，對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi（i=1，2，…，8）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值。

4. 課后作業(yè)：（1）課本練習(xí);（2）課外收集與閱讀：①探究近10年我國人均GDP與淘寶雙11的銷售額數(shù)據(jù)的關(guān)系;②網(wǎng)上搜索與非線性回歸有關(guān)的案例并閱讀，在小組內(nèi)分享。

（二）反思

本節(jié)課總體來講設(shè)計合理、符合學(xué)生的認(rèn)知特點;課堂上學(xué)生的思維活躍，參與度高，主體性強(qiáng);合理運用信息技術(shù)輔助教學(xué)，教學(xué)效果良好。在教師的引導(dǎo)中，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)。在這堂課之后，接下來第二周筆者又以本節(jié)課的課后作業(yè)為資源再上了一節(jié)自主探究課，學(xué)生分組展示對案例的分析，非常精彩。由此說明本堂課在發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)方面有可取之處。

四、結(jié)語

通過以上研究，我們認(rèn)為在概率與統(tǒng)計的教學(xué)中，可以通過厘清本主題的整體特點和思想主線;提高教師自身的專業(yè)水平;用真實、完整、豐富的案例作教學(xué)資源;有機(jī)結(jié)合信息技術(shù)為手段等方面來提高教學(xué)能效，發(fā)展學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)和個人核心素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)

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[4]趙軒，任子朝.中學(xué)數(shù)學(xué)中概率的相關(guān)概念辨析——從一道高考題談起數(shù)學(xué)通報[J].數(shù)學(xué)通報，2018（12）.

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