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（河北經(jīng)貿(mào)大學(xué)發(fā)票博物館，河北 石家莊 050061）

本文想要探討的問題是：在秦漢時(shí)期，普通受教育者的數(shù)學(xué)水平是什么樣的？岳麓秦簡《數(shù)》、張家山漢簡《算數(shù)書》、清華簡《算表》、北大簡《算數(shù)書》等出土數(shù)學(xué)文獻(xiàn)，是否反映了普通受教育者的數(shù)學(xué)水平？本文討論的普通受教育者，是指受過基礎(chǔ)教育的人，并非文盲，也并非專業(yè)研習(xí)數(shù)學(xué)的學(xué)者?？紤]到秦漢時(shí)期受教育者的比例不會(huì)很高，本文所指普通受教育者，在人口中的比例也不會(huì)很高，但卻會(huì)是所有受教育者中的大多數(shù)。

一、秦漢時(shí)期普通受教育者的數(shù)學(xué)知識(shí)推測

學(xué)校教育，是普通受教育者獲得數(shù)學(xué)知識(shí)的最重要的途徑，可以在很大程度上體現(xiàn)大多數(shù)普通受教育者的數(shù)學(xué)水平。因此，要解答這個(gè)問題，首先需要了解秦漢普通受教育者的數(shù)學(xué)教育。

（一）西漢中后期到東漢的數(shù)學(xué)教育 研究漢代教育史的學(xué)者們普遍注意到，《四民月令》對漢代普通受教育者所學(xué)知識(shí)有較為詳細(xì)的介紹，其文為：

（正月）農(nóng)事未起，命成童（本注：謂十五以上至二十）以上入大學(xué)，學(xué)五經(jīng)；師法求備，勿讀書傳。研凍釋，命幼童（本注：謂十歲以上至十四）入小學(xué)，學(xué)篇章（本注：謂《六甲》、《九九》、《急就》、《三倉》之屬）。[1](P9)

（八月）暑小退，命幼童入小學(xué)，如正月焉。[1](P60)

（十月）農(nóng)事畢，命成童以上入大學(xué)，如正月焉。[1](P68)

（十一月）研水凍，命幼童讀《孝經(jīng)》、《論語》、篇章、小學(xué)。[1](P71)

從中可以看出，當(dāng)時(shí)的教育分為“大學(xué)”和“小學(xué)”兩種。“大學(xué)”學(xué)的是五經(jīng)，“小學(xué)”學(xué)的是《六甲》、《九九》、《急就篇》、《三倉》、《論語》、《孝經(jīng)》等。從這段記載中，可見普通受教育者在10到14歲的“小學(xué)”期間，集中學(xué)數(shù)學(xué)，所學(xué)內(nèi)容主要為《九九》。

九九是先秦秦漢時(shí)期較為常見的概念，又稱九九數(shù)、九九之?dāng)?shù)、九九之術(shù)、九九歌等，即今日的九九乘法表（順序與今日的九九乘法表相反，且缺少跟1有關(guān)的9條）。由于乘法是以加法為基礎(chǔ)的，因而學(xué)會(huì)九九的人，應(yīng)該也會(huì)簡單的整數(shù)四則運(yùn)算。九九在當(dāng)時(shí)有兩個(gè)特征：基礎(chǔ)，重要。先說九九的基礎(chǔ)地位?！俄n詩外傳》、《說苑》等文獻(xiàn)都曾記載，齊桓公曾經(jīng)廣泛招募人才，齊國有一位“東野”邊鄙之人，以九九求見?！皷|野”一詞，值得注意。齊國西邊與魯國接壤，中間為首都，均屬于經(jīng)濟(jì)、文化較為發(fā)達(dá)的地區(qū)，唯有東部較為落后。這應(yīng)該就是古人喜歡用“東野”、“齊東野語”之類的詞，來形容粗俗之人的原因。所以，這位“東野”邊鄙之人，實(shí)際上代表了齊國落后地區(qū)的小有知識(shí)之人，所學(xué)較為淺薄。齊桓公當(dāng)然知道這一點(diǎn)，直接指出九九是非常基礎(chǔ)的知識(shí)，不足以被接見，邊鄙之人也自認(rèn)為“夫九九，薄能耳”。[2]（P100-101）[3]（P187-188）這和《四民月令》的記載也是一致的：九九是幼童所學(xué)，受過一定教育的人都會(huì)，所以被認(rèn)為“薄能”，不足見。從另一方面來說，九九又很重要。比如，《管子·輕重篇》稱：“伏羲……作九九之?dāng)?shù)以合天道，而天下化之?！盵4]（P1507）《周髀算經(jīng)》稱：“數(shù)之法出于圓方，圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一?！盵5]（P1-2）九九被推崇到“合天道”、算數(shù)起源的高度，這是因?yàn)榫啪攀沁M(jìn)行籌算的基礎(chǔ)，是整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是因?yàn)楫?dāng)時(shí)算數(shù)和術(shù)數(shù)聯(lián)系非常緊密，是究天人之際的基礎(chǔ)知識(shí)?？紤]到當(dāng)時(shí)人們的精神信仰，后者恐怕是更為重要的。

《四民月令》反映的顯然是西漢中后期尊儒以后的情況。秦、西漢前期并不會(huì)以《孝經(jīng)》、《論語》、五經(jīng)等儒家經(jīng)典為學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容。那么，這段記載能否說明秦、西漢前期甚至秦朝、戰(zhàn)國時(shí)期的情況呢？不管朝廷是以法家思想、黃老思想還是儒家思想作為官方指導(dǎo)思想，識(shí)字、識(shí)數(shù)這種最基礎(chǔ)、又和官方指導(dǎo)思想沒有沖突的教育，應(yīng)該不會(huì)有本質(zhì)上的變化。也就是說，《四民月令》中記載的識(shí)字和九九教育，很可能是貫穿整個(gè)秦漢時(shí)期的。當(dāng)然，還需要更多的證據(jù)，來進(jìn)一步證明這一點(diǎn)。

（二）出土秦漢數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)教育出土秦漢簡牘中多有九九簡，學(xué)者們已經(jīng)有過不少論述。值得注意的是，這其中體現(xiàn)了通過自學(xué)獲得數(shù)學(xué)知識(shí)的情況。邢義田先生指出，漢代西北竹簡里有不少關(guān)于九九乘法表的習(xí)字簡，這表明吏卒們“能書、知計(jì)算和知律令的能力并不是擔(dān)任這些職務(wù)以前就必然具備，而是在擔(dān)任職務(wù)的過程里逐漸學(xué)會(huì)的”，而九九乘法表“無疑是最基本的……算書?！盵6]（P585-587）這說明對于秦漢時(shí)期的普通受教育者來說，九九乘法表是數(shù)學(xué)自學(xué)的主要內(nèi)容。

通過分析反映了秦漢之際數(shù)學(xué)成就的《數(shù)》、《算數(shù)書》等出土文獻(xiàn)的內(nèi)容，也可以得出同樣的結(jié)論。比如，“《算數(shù)書》是一部數(shù)學(xué)問題集”，[7]（P12）看似奇怪的是，這部問題集卻不是以問題開頭的，而是以簡單的分?jǐn)?shù)乘法和整數(shù)乘法開始：

相乘 寸而乘寸，寸也；乘尺，十分尺一也；乘十尺，一尺也；乘百尺，十尺也；乘千尺，百尺也。半【分寸】乘尺，廿分尺一也；三分寸乘尺，卅分尺一也；四分寸乘尺，四十分尺一也；五分寸乘尺，五十分尺一也；六分寸乘尺，六十分尺一也；七分寸乘尺，七十分尺一也；八分寸乘尺，八十分尺一也。一半乘一，半也；乘半，四分一也。三分而乘一，三分一也；乘半，六分一也；乘三分，九分一也。四分而乘一，四分一也；乘半，八分一也；乘三分，十二分一也；乘四分，十六分一也。五分而乘一，五分一也；乘半，十分一也；乘三分，十五分一也；乘四分，廿分一也；乘五分，廿五分一也。乘分之術(shù)曰：母相乘為法，子相乘為實(shí)。

乘 一乘十，十也；十乘千，萬也；十乘萬，十萬也；百乘萬，百萬；千乘萬，千萬。一乘十萬，十萬也；十乘十萬，百萬。一乘百萬，百萬；十乘百萬，千萬。半乘百萬，五十；半乘千，五百；半乘萬，五千。[7]（P37-38）

《算數(shù)書》之所以先不講算題，而是要講整數(shù)、分?jǐn)?shù)乘法，是因?yàn)?，讀者需要獲得某些基礎(chǔ)知識(shí)，才能進(jìn)行相關(guān)的學(xué)習(xí)與應(yīng)用。這些乘法運(yùn)算沒有一條是九九乘法，但又和九九具有一定的關(guān)聯(lián)，難度也差不多，這顯然是因?yàn)椤端銛?shù)書》默認(rèn)讀者已經(jīng)會(huì)了九九，要在九九的基礎(chǔ)上進(jìn)行一定的知識(shí)擴(kuò)充——正因如此，它才寫了“一乘十，十也”、“一乘十萬，十萬也”這種簡單的整數(shù)乘法，卻不寫九九乘法。正因如此，它才會(huì)告訴讀者，二分之一乘以三分之一，結(jié)果為六分之一，而不必寫“二三而六”。由此可見，九九是一般受教育者都會(huì)的知識(shí)，至于九九之外的數(shù)學(xué)知識(shí)，哪怕是跟九九有關(guān)、難度也差不多，也不一定會(huì)被普通受教育者掌握。所以，《算數(shù)書》才要在九九的基礎(chǔ)上進(jìn)行知識(shí)擴(kuò)充。

《數(shù)》也存在類似的情況，而且更能說明問題。由于《數(shù)》的編排次序已經(jīng)被打亂，無法恢復(fù)原貌。但明顯可以看到一些在九九基礎(chǔ)上，進(jìn)行簡單引申的內(nèi)容：

乘三分，二三而六，六分一也；半乘半，四分一也；四分乘四分，四四十六，十六分一也；少半乘一，少半也。

三分乘四分，三四十二，十二分一也。三分乘三分，三三而九，九分一也；少半乘十，三又少半也；五分乘六分，五六卅，卅分之一也。

五分乘五分，五五廿五，廿五分一也。四分乘五分，四五廿，廿分一也。[8]（P74-75）

《數(shù)》中出現(xiàn)了九九的部分內(nèi)容。但是，這些算題雖然涉及到了九九，其目的卻并不是為了講九九，而是為了講分?jǐn)?shù)乘法。這段引文實(shí)際上是說：×＝？讀者不是學(xué)過2×3＝6嗎？在此基礎(chǔ)上擴(kuò)展一下，就會(huì)知道×＝。×＝？讀者不是學(xué)過4×4＝16嗎？在此基礎(chǔ)上擴(kuò)展一下，就會(huì)知道，×＝。以此類推。

通過上述分析，可以知道：《數(shù)》雖然涉及到了九九，但它的本意并不是為了講九九，而是為了在九九的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)讀者學(xué)會(huì)分子為1的最簡單的分?jǐn)?shù)乘法。這種教學(xué)方法無疑是非常簡單有效的。這就是《數(shù)》中的九九不全的原因。這也說明，《數(shù)》的編寫者默認(rèn)讀者已經(jīng)會(huì)了九九，所以才在九九的基礎(chǔ)上進(jìn)行引申教學(xué)。

分析《九章算術(shù)》，也可以得出相同的結(jié)論?！毒耪滤阈g(shù)》的開篇部分的前兩道算題是：

今有田廣十五步，從十六步。問：為田幾何？答曰：一畝。

又有田廣十二步，從十四步。問：為田幾何？答曰：一百六十八步。（《九章算術(shù)》卷一《方田章》）[9]（P11）

“廣”即為寬度，“從”同“縱”，即為長度。漢制一畝為二百四十步（實(shí)際上應(yīng)該是二百四十平方步，古人在平方單位的用詞方面，有時(shí)不是很嚴(yán)格）。這兩道算題，實(shí)際上是想告訴讀者：15×16＝240，12×14＝168。這么做，是為了幫助讀者在自己現(xiàn)有知識(shí)水平的基礎(chǔ)上，進(jìn)行簡單的知識(shí)擴(kuò)充，帶領(lǐng)讀者逐步深入到更高的數(shù)學(xué)層次。那么，《九章算術(shù)》假定讀者需要具有什么樣的數(shù)學(xué)知識(shí)呢？《九章算術(shù)》中，并沒有出現(xiàn)九九乘法的內(nèi)容，而這兩條整數(shù)運(yùn)算只是比九九乘法略難一點(diǎn)。這也表明：《九章算術(shù)》默認(rèn)讀者會(huì)九九乘法和簡單的四則運(yùn)算——九九乘法和整數(shù)的四則運(yùn)算規(guī)則是孩童時(shí)期學(xué)習(xí)的東西，過于基礎(chǔ)，不需要講解。

（三）小結(jié)

上面的討論，既是縱向的，也是橫向的。說是縱向的，是指《數(shù)》反映的是秦代的情況，《算數(shù)書》反映的是秦、西漢初期的情況，《四民月令》反映的是西漢中期以后至東漢的情況，《九章算術(shù)》一般認(rèn)為成書于兩漢之交，反映了此前的情況。它們涵蓋的時(shí)間范圍分別是：秦代、秦和西漢前期、西漢中后期到東漢時(shí)期、東漢前，將它們連起來，恰恰是一條較為完整的時(shí)間鏈。說是橫向的，是指得出結(jié)論的材料種類多種多樣，包括傳世史料、傳世數(shù)學(xué)文獻(xiàn)、出土數(shù)學(xué)文獻(xiàn)等，這些不同的材料都指向同一個(gè)結(jié)論，那么這個(gè)結(jié)論的可信性，無疑就大大增強(qiáng)了。

將這些縱向的、橫向的分析整合起來，就可以得出一個(gè)較為可靠的初步結(jié)論：秦漢時(shí)期，普通受教育者的數(shù)學(xué)教育，限于九九之類和基礎(chǔ)的四則運(yùn)算，總體來說，他們的數(shù)學(xué)知識(shí)并不復(fù)雜。這個(gè)結(jié)論和蘇俊林先生通過分析走馬樓吳簡《嘉禾吏民田家莂》、倉受米牘中的數(shù)值計(jì)算，得出的結(jié)論——“孫吳時(shí)期……基層吏民的數(shù)值計(jì)算能力可能有整體偏低的傾向”[10]（P327-348）——基本一致（只是蘇先生的研究側(cè)重于簡牘和孫吳時(shí)期）。

二、秦漢時(shí)期普通受教育者的計(jì)算能力推測

明確了普通受教育者的數(shù)學(xué)教育，緊接著的一個(gè)問題就是：只會(huì)九九乘法和基本的整數(shù)四則運(yùn)算，數(shù)學(xué)能力可以達(dá)到什么樣的程度？

假設(shè)一個(gè)人具備以下知識(shí)：（1）熟練背誦九九，（2）會(huì)0到9的整數(shù)加減法，（3）懂得算籌整數(shù)四則運(yùn)算的基本規(guī)則。著名數(shù)學(xué)史家李儼先生在《中國算學(xué)史》一書中，對算籌有如下總結(jié)：“吾國古代算數(shù)用籌，初稱為策，算書多稱為算。漢、唐以后則多以籌、籌算、籌策、算籌諸名互用。而宋代以后，俗稱為算子?！盵11]（P59）算籌是當(dāng)時(shí)最主要、最常見的計(jì)算工具，也是普通數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者所掌握的計(jì)算工具。下面，我們來看一下，如果一個(gè)人具備了這三種知識(shí)，他可以達(dá)到什么樣的數(shù)學(xué)水平。

根據(jù)《孫子算經(jīng)》、《夏侯陽算經(jīng)》的記載，會(huì)發(fā)現(xiàn)他在整數(shù)計(jì)算方面的數(shù)學(xué)知識(shí)并不是很低，可以處理比較復(fù)雜的整數(shù)乘除法運(yùn)算。先看整數(shù)乘法，《孫子算經(jīng)》中的整數(shù)乘法運(yùn)算規(guī)則是：

凡乘之法，重置其位。上下相觀，上位有十步至十，有百步至百，有千步至千。以上命下，所得之?dāng)?shù)列于中位。言十即過，不滿自如。上位乘訖者先去之。下位乘訖者則俱退之。六不積，五不只。上下相乘，至盡則已。[12]（P2）

這段記載其實(shí)比較簡單，復(fù)雜的是為了準(zhǔn)確定位數(shù)位而進(jìn)行的移位。簡單說，計(jì)算整數(shù)乘法時(shí)，要將乘數(shù)從最高位往下，不斷地乘以被乘數(shù)，一直到乘完為止。假設(shè)，要計(jì)算56×78，就要將乘法分解成如下步驟：（1）5×7＝35，5×8＝40?，F(xiàn)在計(jì)算的時(shí)候，考慮到數(shù)位，需要在后面補(bǔ)充若干個(gè)0，在算籌中無需補(bǔ)0，這是因?yàn)樗慊I中的數(shù)字位置是錯(cuò)開的，空格就表示0。明白了這一點(diǎn)，計(jì)算就會(huì)變得特別容易。（2）6×7＝42，6×8＝48。（3）結(jié)合數(shù)位，將這些結(jié)果相加。

再來看整數(shù)的除法運(yùn)算?！秾O子算經(jīng)》中的整數(shù)除法運(yùn)算規(guī)則是：

凡除之法，與乘正異。乘得在中央，除得在上方。假令六為法，百為實(shí)。以六除百，當(dāng)進(jìn)之二等。令在正百下，以六除一，則法多而實(shí)少，不可除。故當(dāng)退就十位。以法除實(shí)，言一六而折百為四十，故可除。若實(shí)多法少，自當(dāng)百之，不當(dāng)復(fù)退。故或步法十者置于十位，百者置于百位（頭位有空絕者，法退二位）。余法皆如乘時(shí)。實(shí)有余者，以法命之。以法為母，實(shí)余為子。[12]（P2）

整數(shù)除法與今天的計(jì)算方法幾乎完全一樣，都是從左到右除。差別只是算籌運(yùn)算需要應(yīng)用到移位。《孫子算經(jīng)》認(rèn)為，這是乘法計(jì)算的逆運(yùn)算，基本相同。

通過上述分析，可以看出，運(yùn)用算籌進(jìn)行的整數(shù)乘除運(yùn)算都比較簡單。整數(shù)乘法實(shí)際上，是整數(shù)加法和九九乘法表的混合運(yùn)算；整數(shù)除法實(shí)際上，是整數(shù)減法和九九乘法表的混合運(yùn)用。涉及的知識(shí)并不復(fù)雜。因此，可以認(rèn)為，秦漢時(shí)期普通受教育者，在算籌的幫助下，是可以解決比較復(fù)雜的整數(shù)乘除運(yùn)算的。

由此可見，秦漢時(shí)期的一名普通受教育者，只要能夠熟練背誦九九乘法表，會(huì)0到9的整數(shù)加減法，懂得算籌四則運(yùn)算的基本規(guī)則，就能進(jìn)行各種各樣復(fù)雜的整數(shù)四則運(yùn)算。這些基本上能夠滿足他的日常生活需要。

當(dāng)然，正如上文提過的，《算數(shù)書》、《數(shù)》都是從簡單的分?jǐn)?shù)計(jì)算開始的。這說明，分?jǐn)?shù)計(jì)算可能并非人人都能掌握的基礎(chǔ)知識(shí)。這就在一定程度上限制了普通受教育者的數(shù)學(xué)水平。

三、數(shù)學(xué)知識(shí)不夠用怎么辦

既然秦漢時(shí)期普通受教育者的數(shù)學(xué)知識(shí)以九九為中心，那么就會(huì)有一個(gè)問題：這些知識(shí)夠用嗎？如果不夠用，那要怎么辦？

邢義田先生已經(jīng)對此有所說明，那就是在需要用到的時(shí)候，再進(jìn)行學(xué)習(xí)。蘇俊林先生也說：“對于基層吏民而言……算術(shù)多為自學(xué)?！鄙衔膶Α端銛?shù)書》不記錄九九乘法和整數(shù)的四則運(yùn)算的分析，也說明了同樣的道理。

另外，《算數(shù)書》并非成體系的數(shù)學(xué)著作，而是雜抄之作。由此想到的問題是：普通受教育者是如何使用《算數(shù)書》等數(shù)學(xué)著作的？如果是當(dāng)成學(xué)習(xí)的工具，那么部分自學(xué)者的數(shù)學(xué)水平可能會(huì)比較高；如果只是當(dāng)成套用的工具，在現(xiàn)實(shí)生活中有需求的時(shí)候，進(jìn)行簡單的套用，那么就并不影響前面的結(jié)論。通過研究發(fā)現(xiàn)，《算數(shù)書》抄的時(shí)候粗枝大葉，沒有進(jìn)行仔細(xì)分辨。比如，同一種計(jì)算方法只是表達(dá)方式稍有差別，就會(huì)被當(dāng)成兩種方法。舉例來說，《算數(shù)書》中的約分術(shù)為：

約分約分術(shù)曰：以子除母，母亦除子，子母數(shù)交等者，即約之矣。

有（又）曰，約分術(shù)曰：可半，半之；可令若干一，若干一。

其一術(shù)曰：以分子除母，少（?。┮阅赋?，子母等以為法，子母各如法而成一。不足除者可半，半母亦半子。[7]（P43）

表面上看，《算數(shù)書》提供了4種方法，其實(shí)第1種和第3種都是更相減損法，只是文字表述略有差異，第4種只是第2種的前半部分，實(shí)際上只有2種方法。

又比如，《算數(shù)書》中的合分術(shù)為：

合分術(shù)曰：母相類，子相從。母不相類，可倍，倍；可三，三；可四，四；可五，五；可六，六；子亦輒倍，倍及三、四、五之如母。

母相類者，子相從。其不相類者，母相乘為法，子互乘母以為實(shí)，如法成一。

有（又）曰：母乘母為法，子羨乘母為實(shí)，實(shí)如法而一。

其一曰：可十，十；可九，九；可八，八；可七，七；可六，六；可五，五；可四，四；可三，三；可倍，倍。母相類止。母相類，子相從。[7]（P45-46）

《算數(shù)書》中看似提供了5種方法，其實(shí)第3種和第4種完全一樣，只是文字表述有所不同，第2種和第5種也是一樣的，只是第2種只說到了6，第5種卻一直說到10。作者本來只需要羅列前3種，第4種前的“有（又）”、第5種前的“其一”，說明作者見到別的書上有看似不同的記載，就直接抄過來了，沒有深究。

這些說明抄寫者并沒有認(rèn)真研究過這些算法，只是把它當(dāng)成可以套用的公式，需要的時(shí)候直接套用就行了。

又比如，《算數(shù)書》中有不少簡單的數(shù)字錯(cuò)誤。比如，“相乘”算題出現(xiàn)了這種低級錯(cuò)誤。比如，“狐皮”算題、“并租”算題都出現(xiàn)了丟失分母、只剩下分子的現(xiàn)象。這些錯(cuò)誤只要計(jì)算過一遍，甚至只是仔細(xì)看一遍，就很容易發(fā)現(xiàn)。沒有發(fā)現(xiàn)，說明抄寫者和擁有者對算數(shù)本身不感興趣，并沒有計(jì)算過這些題目。題目的意義在于告訴讀者，在實(shí)際應(yīng)用的時(shí)候，如何將不同的變量套用到公式的不同地方。與之形成鮮明對比的是，《九章算術(shù)》中的算題、算法都經(jīng)過大數(shù)學(xué)家劉徽的精心編制，沒有這種問題。

由此可見，在當(dāng)時(shí)應(yīng)該有一小部分?jǐn)?shù)學(xué)水平更高的人，專門從事數(shù)學(xué)方面的研究，給需要的人提供應(yīng)用公式或教材。普通受教育者只是在需要的時(shí)候，套用專家們的研究成果即可，并不需要刻意進(jìn)行高精深的學(xué)習(xí)。也就是說，就算是需要用到某些超過“小學(xué)”范圍的數(shù)學(xué)知識(shí)，普通受教育者也不會(huì)進(jìn)行太多學(xué)習(xí)，其自學(xué)程度是非常有限的。

這些數(shù)學(xué)專家很可能是政府人員，尤其是天文工作者。證據(jù)在《漢書·律歷志》：“數(shù)者……其法在算術(shù)。宣于天下，小學(xué)是則。職在太史，羲和掌之。”[13]（P956）可見太史、羲和掌管數(shù)學(xué)知識(shí)，進(jìn)行專門的數(shù)學(xué)研究，并將其研究成果“宣于天下”，供普通受教育者學(xué)習(xí)和使用。普通受教育者只需要套用羲和頒布的數(shù)學(xué)公式即可，不需要懂得其原理。

四、略論秦漢時(shí)期受教者的數(shù)學(xué)水平的三個(gè)層次

接下來在前面分析的基礎(chǔ)上，對秦漢時(shí)期運(yùn)用數(shù)學(xué)的受教育者的數(shù)學(xué)水平，進(jìn)行簡單的分類。

秦漢時(shí)期的數(shù)學(xué)知識(shí)主要體現(xiàn)在《九章算術(shù)》、《算數(shù)書》、《數(shù)》等書中。學(xué)者們一般認(rèn)為，這些書（尤其是《九章算術(shù)》）基本上代表了秦漢數(shù)學(xué)的最高水平。但是秦漢數(shù)學(xué)的最高水平，或者說是秦漢數(shù)學(xué)最高深的應(yīng)用，并非《九章算術(shù)》為代表的生產(chǎn)生活中的實(shí)用數(shù)學(xué)，而應(yīng)該是天文歷法。理由如下：

1.我國古代數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展與天文歷法、農(nóng)業(yè)有密切聯(lián)系。數(shù)學(xué)家最被統(tǒng)治者看重的在于天文歷法，數(shù)學(xué)最高深的應(yīng)用在天文歷法，數(shù)學(xué)水平最高的人應(yīng)該也是懂天文歷法的人?！稘h書·律歷志》說數(shù)是管理天文歷法的“羲和掌之”，《漢書·藝文志》里沒有專門的數(shù)學(xué)類，而是把數(shù)學(xué)歸入歷譜類，原因可能都正在于此。古人對歷數(shù)的評價(jià)也是極盡幽隱、微妙，比如劉炫說：“天文律歷，窮覈微妙?！盵14]（P1720）這是普通的數(shù)學(xué)應(yīng)用所達(dá)不到的。

2.檢索史籍可知，秦漢時(shí)期形容數(shù)學(xué)水平高深的數(shù)學(xué)家，用詞大都和歷法有關(guān)，比如張蒼“善用算律歷”，《漢書·藝文志》說他著有《張蒼》16篇，歸入陰陽家，又說“陰陽家者流，蓋出于羲和之官”。[13]（P1733-1734）這些都說明張蒼所長在于和天文歷算結(jié)合的數(shù)學(xué)。比如著有《許商算術(shù)》的“（許）商善為算，著《五行論歷》”，[13]（P3604）班固在總結(jié)許商的成就時(shí)，強(qiáng)調(diào)《五行論歷》，而不提《許商算術(shù)》，說明天文歷法類數(shù)學(xué)，比應(yīng)用型數(shù)學(xué)更重要。比如鄭玄擅長《三統(tǒng)歷》。我在檢索資料的過程中發(fā)現(xiàn)，古人所說擅長“九數(shù)”、《九章算術(shù)》者，幾乎全都是指擅長歷法的人。這似乎說明整個(gè)古代，數(shù)學(xué)最重要、最高深的應(yīng)用都是天文歷法方面，擅長天文歷法才能被稱為擅長數(shù)學(xué)。

綜上所述，初步將秦漢時(shí)期受教育者的數(shù)學(xué)水平分為三個(gè)層次：普通的受教育者，學(xué)習(xí)九九乘法表和基本的四則運(yùn)算；具有一定水平的數(shù)學(xué)家，研究數(shù)學(xué)在日常中的應(yīng)用；水平最高的數(shù)學(xué)家，關(guān)注天文歷算。當(dāng)然，由于材料的缺乏，這個(gè)結(jié)論需要完善的地方還很多，不足之處，敬請指正。