屠吉遷

【摘 要】數(shù)與形一直是數(shù)學(xué)研究中的兩個基本對象，而在日常教學(xué)中，教師將兩者割裂開來進行研究的現(xiàn)象屢見不鮮。雖然數(shù)與形屬于數(shù)學(xué)學(xué)科的不同范疇，但是我們常常需要借助幾何圖形來理清數(shù)量之間的關(guān)系，同時研究圖形時也離不開數(shù)據(jù)的支撐。教師如果能引導(dǎo)學(xué)生把握好數(shù)與形之間的關(guān)系，就會促成學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的形成，幫助學(xué)生在抽象與形象的數(shù)學(xué)思維之間架起激發(fā)深度學(xué)習(xí)的橋梁。

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合 數(shù)學(xué)思維 深度學(xué)習(xí)

近年來，教育研究者愈發(fā)關(guān)注“學(xué)生的學(xué)”。立足學(xué)生，可以回歸教學(xué)的本質(zhì)，找到課堂教學(xué)的內(nèi)在邏輯，從而實現(xiàn)深度學(xué)習(xí)。可是很多教師卻在組織學(xué)生研究數(shù)量關(guān)系和空間形式這一數(shù)學(xué)問題的時候忽視了對學(xué)生學(xué)習(xí)的關(guān)注。

小學(xué)階段的學(xué)生還沒有形成較完善的抽象思維，絕大多數(shù)還停留在直觀的形象思維階段。數(shù)形結(jié)合的思想無疑可以在他們的抽象思維和形象思維之間架起一座橋梁，讓數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)真正發(fā)生。

一、以數(shù)定形，讓空間關(guān)系更明晰

數(shù)在圖形上發(fā)揮的最普遍的作用便是它規(guī)定了一個圖形的形狀?！笆澜缟蠜]有兩片完全相同的樹葉”，證明這句話最有力的方法便是對樹葉進行全面的測量，包括樹葉的周長、各部分比例等。在數(shù)學(xué)課堂上，我們常常是由數(shù)與直觀物體之間的一一對應(yīng)關(guān)系，才確定物體的多少。當(dāng)你無法看出兩群羊中到底哪群羊規(guī)模更龐大的時候，你一定會用數(shù)一數(shù)的方法找到答案。著名的繆勒-萊爾錯覺提出：末端加上向外的兩條斜線的線段比末端加上向內(nèi)的兩條斜線的線段看起來長一些（如圖1）。其實通過測量可以發(fā)現(xiàn)，這兩條線段的長度是一樣的，數(shù)據(jù)在這里以其嚴(yán)密性確定了圖形之間的關(guān)系。如果單獨給出一個沒標(biāo)數(shù)據(jù)的長方形，也許學(xué)生很難直接判斷出這個長方形的長和寬之間存在著什么樣的數(shù)量關(guān)系，但如果告知該長方形的長是6厘米，寬是4厘米，那么便可以迅速確定長是寬的1.5倍（如圖2）。

這些數(shù)據(jù)，讓我們眼里的圖形不再單純的是一片樹葉，也不再單純的是一個長方形。由于我們對數(shù)據(jù)進行了分析，便明白了一片樹葉的獨特，也搞清楚了長方形的長寬比例。數(shù)量對圖形的作用就在于讓圖形的空間形式變得更具體。

二、以形輔數(shù)，讓運算律的學(xué)習(xí)具有深度

運算律作為數(shù)量關(guān)系的一種表現(xiàn)形式，對其的理解和掌握對于處于形象思維的小學(xué)生來說是具有挑戰(zhàn)的。

以《乘法分配律》一課為例。觀察本節(jié)課的主題圖，學(xué)生一般都能完整描述題目：每個班領(lǐng)24根跳繩，四年級6個班和五年級4個班一共要領(lǐng)多少根跳繩？之后，學(xué)生在解決問題的過程中，形成了兩種不同的方法，這兩種方法的算式可根據(jù)相同的結(jié)果用等號聯(lián)系起來，即（6+4）×24=6×24+4×24。為了讓學(xué)生能發(fā)現(xiàn)乘法分配律的核心，教師通常會直接讓學(xué)生尋找左右兩邊算式的聯(lián)系。

觀察發(fā)現(xiàn)，雖然學(xué)生可以通過模仿寫出類似的等式，但是當(dāng)單獨給出左邊的算式時，有一部分學(xué)生不會將算式展開。同樣，也有一部分學(xué)生不會將右邊的算式合并。那么在用字母總結(jié)規(guī)律的時候，有相當(dāng)一部分學(xué)生其實還是停留在模仿層面上，對乘法分配律的實質(zhì)是一知半解的。常見的錯誤主要有：（42+35）×2=42+（35×2），27×12+43×12=（27+12）×43，40×50+50×90=40×（50+90）。這樣的錯誤距離學(xué)生達到深度學(xué)習(xí)還遠遠不夠。如果讓學(xué)生僅僅經(jīng)歷從“數(shù)”到“數(shù)”，從“算”到“算”的乘法分配律的建構(gòu)過程，那么學(xué)生對乘法分配律的理解就會停留在識記與模仿層面上，這樣既給學(xué)生帶來記憶負擔(dān)，又導(dǎo)致學(xué)生將各種運算律混淆使用。

針對四年級學(xué)生處于形象思維的特點，筆者對課本這部分內(nèi)容進行了改編，并利用“四色學(xué)習(xí)單”進行幾何直觀建模?！八纳珜W(xué)習(xí)單”的具體內(nèi)容如下：

本張“四色學(xué)習(xí)單”在活動要求上充分關(guān)注學(xué)生的“學(xué)”，將探究任務(wù)分為四個層次，由淺入深地挖掘本節(jié)課知識的內(nèi)涵，有效地幫助學(xué)生建立起形象的乘法分配律的模型，弱化其他運算律對它的干擾。下面筆者結(jié)合以上“四色學(xué)習(xí)單”的活動要求，具體來探討如何借助幾何直觀突破本節(jié)課的重難點。

1.借助幾何直觀，感知模型

首先對本節(jié)課的例題進行改編，通過生活實例幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型。題目具體為：有一塊長方形的花圃，長8米，寬6米。在修建時，花圃的長增加了3米，現(xiàn)在這個花圃的面積是多少平方米？

在出示題目以后，教師先引導(dǎo)學(xué)生想象花圃修建時所形成的幾何圖形。實踐表明，多數(shù)學(xué)生能用畫圖的方法整理出題目條件。學(xué)生在根據(jù)圖形解決問題的同時，能感受到“式”與“形”的結(jié)合，與乘法分配律緊密聯(lián)系的幾何模型也初步建立了起來。

2.借助幾何直觀，抽象模型

雖然借助幾何直觀，學(xué)生對算式與圖形之間的聯(lián)系能有初步的感知，但此時不必急于揭示它們之間的聯(lián)系。學(xué)生對乘法分配律的總結(jié)需要經(jīng)歷探索的過程，需要在這個過程積累經(jīng)驗，從而不斷加深對數(shù)形結(jié)合的感悟?？墒莾H憑題目這一種情況是無法完成幾何直觀對乘法分配律模型的有效建構(gòu)的，還需要進一步對例題進行改動。

這時，可以將題目條件“長增加了3米”改成“長增加了（ ）米”，還是要求學(xué)生求花圃改建后的面積是多少平方米。相對于原題而言，修改后的題目開放了許多。學(xué)生可以依據(jù)已有的畫圖策略的經(jīng)驗，通過圖形整理出題目條件（如圖3）。當(dāng)括號里填寫不同的數(shù)據(jù)的時候，所求的面積大小也就不同，列出的等式也不一樣。有了這種拓展練習(xí)的嘗試，教師可以進一步對原題再進行改動（如圖4）。

在這個教學(xué)環(huán)節(jié)中，學(xué)生通過對數(shù)據(jù)的拓展，可以得到不同的等式;通過對等式和圖形的整體觀察，能自主發(fā)現(xiàn)乘法分配律與長方形幾何模型之間的緊密關(guān)聯(lián);通過反復(fù)的體驗可以進一步感受到乘法分配律的數(shù)學(xué)模型的普遍性。

3.借助幾何直觀，逆用模型

教師可以先出示算式（12+6）×8，提問：“你能想到什么圖形嗎？”實踐觀察發(fā)現(xiàn)，學(xué)生思考過后會回答：“這是一個長是12+6，寬是8的長方形。”還有學(xué)生補充：“還可以看成長12、寬8和長8、寬6的長方形的和?！苯又?，教師出示21×5+8×5這道算式，讓學(xué)生描述這又是什么樣子的圖形。這種“逼”學(xué)生嘗試建立圖形模型的過程，也是將學(xué)生的數(shù)學(xué)認知從具體經(jīng)驗向理性層面提升的過程，為今后靈活地運用乘法分配律打下了扎實的基礎(chǔ)。

觀察發(fā)現(xiàn)，有了以上三個環(huán)節(jié)的探究，學(xué)生做題的速度與準(zhǔn)確率大幅度提高。學(xué)生借助幾何直觀探究了抽象的運算律，在數(shù)學(xué)建模中進行了深度學(xué)習(xí)。

三、數(shù)形相融，促進學(xué)生思維發(fā)展

數(shù)與形是相輔相成的，離開了哪一方面學(xué)數(shù)學(xué)都會導(dǎo)致學(xué)生習(xí)得的知識過于表面化，學(xué)生便無法深入觸及知識的本質(zhì)，從而讓學(xué)習(xí)失去了深度。只有進行深度學(xué)習(xí)，學(xué)生的思維才能真正得到發(fā)展。

在學(xué)習(xí)+++的簡便計算方法時，蘇教版課本給出了一個分割好的正方形來幫助學(xué)生探究算法。把一整個大正方形看成單位“1”，先把這個正方形平均分成兩份，其中的一份用表示，接著把另一份再平均分成兩份，其中的一份標(biāo)上……學(xué)生在探索簡便方法之初會將算式各加數(shù)與圖形的各部分一一對應(yīng)起來，發(fā)現(xiàn)空缺的一部分也是，而求算式里面幾個加數(shù)的和其實就是將對應(yīng)的正方形各部分相加（如圖5）。怎樣快速地求出這幾部分的和呢？學(xué)生自然想到用整個正方形減去空缺的部分就是這幾部分的和，即1-。

其實學(xué)生在探索過程中，在算式和圖形之間建立的這種一一對應(yīng)的關(guān)系就是數(shù)形相融的過程。既依靠數(shù)據(jù)理清了圖形各部分之間的關(guān)系，也依靠圖形總結(jié)出簡便計算的方法。這樣的學(xué)習(xí)并不是單純地停留在熟記計算方法的表層學(xué)習(xí)，而是看到算式腦海里便會出現(xiàn)相應(yīng)的圖形，看到圖形便能根據(jù)圖形的分割寫出相應(yīng)的算式的深度學(xué)習(xí)。數(shù)與形緊密結(jié)合促進了抽象思維與形象思維的結(jié)合，這是一種思維能力提升的方式。

數(shù)形結(jié)合將數(shù)與形連接起來，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有深度。因而教師要引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成結(jié)合圖形思考問題的習(xí)慣，讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)形結(jié)合的思想解決數(shù)學(xué)問題，將形象思維和抽象思維通過數(shù)形結(jié)合架起的橋梁緊密地聯(lián)系起來。只有這樣，學(xué)生才能獲得數(shù)學(xué)思維的高階發(fā)展。

注：本文系南京市基礎(chǔ)教育優(yōu)秀教學(xué)成果培育項目“成就每一個：學(xué)習(xí)單導(dǎo)引的師生同構(gòu)課堂模式研究”階段成果。