【摘 要】兩步混合運算是同級混合運算及乘加、乘減式題的延伸，是進一步學(xué)習(xí)整數(shù)、小數(shù)及分?jǐn)?shù)四則混合運算的基礎(chǔ)。文章對人教版、蘇教版、北師大版三種版本教材中兩步混合運算的內(nèi)容進行了詳細的比較，得出其均注重通過融合現(xiàn)實情境讓學(xué)生體會運算順序，通過解決實際問題培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用能力的相同點，但在知識編排的整體性與關(guān)聯(lián)性、模型思想的關(guān)注程度及題組練習(xí)的編排上差異較大?；诖?，研究者提出了注重整體教學(xué)、滲透模型思想及構(gòu)建題組模塊的教學(xué)建議。

【關(guān)鍵詞】人教版;蘇教版;北師大版;兩步混合運算;教材比較

【作者簡介】馮剛，一級教師，蘇州工業(yè)園區(qū)教學(xué)能手，主要研究方向為小學(xué)數(shù)學(xué)教材及課程建構(gòu)研究。

運算能力是學(xué)生應(yīng)具備的一種關(guān)鍵能力，也是一種關(guān)鍵素養(yǎng)。運算能力的培養(yǎng)能促進學(xué)生對算理的理解，并尋求合理簡潔的運算途徑來解決問題。[1]兩步混合運算是學(xué)生首次系統(tǒng)地總結(jié)運算順序，也是后續(xù)進一步學(xué)習(xí)三步混合運算及小數(shù)、分?jǐn)?shù)四則混合運算的關(guān)鍵環(huán)節(jié)和重要節(jié)點。為此，本文選取人民教育出版社（以下簡稱人教版）、江蘇鳳凰教育出版社（以下簡稱蘇教版）及北京師范大學(xué)出版社（以下簡稱北師大版）三種版本（以下簡稱三版）教材，就其中兩步混合運算的相關(guān)內(nèi)容展開比較，在異同分析中發(fā)現(xiàn)各版本教材編排的優(yōu)勢所在，進而提出教學(xué)建議。

一、三版教材中兩步混合運算內(nèi)容的編排

筆者對三版教材中兩步混合運算的相關(guān)內(nèi)容進行了詳細的分析，整理得到其編排情況，見表1。

由表1可知，三版教材中兩步混合運算內(nèi)容的編排在年級安排上有較大差異，相關(guān)內(nèi)容及課時的安排也稍有不同。蘇教版與北師大版教材的編排內(nèi)容與編排順序均比較一致，第一課時是乘法和加減法的混合運算，第二課時是除法和加減法的混合運算，第三課時是帶括號的混合運算。人教版教材的編排則差異較大，第一課時是同級混合運算，第二課時是乘除法和加減法的混合運算，第三課時是帶括號的混合運算，第四課時是列綜合算式解決實際問題。

二、三版教材中兩步混合運算內(nèi)容編排的相同點

兩步混合運算的教學(xué)重點是學(xué)生能在理解運算順序合理性的基礎(chǔ)上按照運算順序正確計算，難點是學(xué)生要初步學(xué)會列綜合算式解決實際問題。三版教材的編排均在重難點的突破上下足了功夫，存在著一些共性。

（一）融合現(xiàn)實情境，體會運算順序

運算順序是伴隨著人類長期的實踐與計算活動而形成的一種規(guī)定，其合理性源自運算自身的層級性特點，如乘法是幾個相同的數(shù)相加的簡便運算，算式中既有乘法又有加法時，自然應(yīng)先算乘法，這是避繁趨簡的理性選擇[2]。但這樣的解釋對學(xué)生而言過于抽象，學(xué)生理解存在困難。史寧中教授曾指出，小學(xué)階段中，數(shù)學(xué)學(xué)科所有的規(guī)定都是從現(xiàn)實世界中抽象出來的，所有混合運算都是在講述兩個或兩個以上的故事，可能是大故事包含小故事，也可能是幾個故事并列[3]。因此，三版教材基于學(xué)生的生活經(jīng)驗和認(rèn)知基礎(chǔ)，創(chuàng)設(shè)了與運算順序相匹配的學(xué)生熟悉的生活情境，引導(dǎo)學(xué)生通過實際問題中的事理和數(shù)量關(guān)系體會運算順序的合理性。

人教版教材先創(chuàng)設(shè)蹺蹺板樂園的情境，讓學(xué)生在求人數(shù)的過程中感悟運算順序，再創(chuàng)設(shè)烤面包情境，讓學(xué)生鞏固對運算順序的理解。蘇教版教材以文具店購物情境貫穿整個單元教學(xué)，依托“一共用去多少元”“一共應(yīng)付多少元”“還可以買幾本筆記本”三個問題串聯(lián)兩步混合運算的教學(xué)。北師大版教材創(chuàng)設(shè)了與蘇教版類似的購物情境，也采用“應(yīng)找回多少元”“一共需要多少元”這樣的問題引導(dǎo)學(xué)生思考，還創(chuàng)設(shè)了坐船過河的情境引導(dǎo)學(xué)生理解含有小括號的兩步混合運算的運算順序。

（二）解決實際問題，培養(yǎng)應(yīng)用能力

新課程改革以來，單純的計算題教學(xué)及應(yīng)用題教學(xué)已經(jīng)取消，數(shù)的運算教學(xué)與解決問題教學(xué)的融合是新課程改革所倡導(dǎo)的理念。換言之，學(xué)生在運算技能形成的同時，問題解決能力也得以提升，而在解決實際問題的過程中運算能力又得以發(fā)展，兩者相輔相成。三版教材均遵循了新課程改革理念，將實際問題作為教學(xué)運算順序的載體，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷分步算式合并成綜合算式的過程，并在列綜合算式的過程中提高問題解決的能力，感受綜合算式在解決實際問題中的應(yīng)用價值。

與蘇教版和北師大版教材相比，人教版教材單獨編排一課時教學(xué)列綜合算式解決實際問題，引導(dǎo)學(xué)生思考解題步驟并將分步算式合并為綜合算式，體現(xiàn)了對學(xué)生列綜合算式能力的重視，這對學(xué)生問題解決能力的提升有很大的推動作用。

三、三版教材中兩步混合運算內(nèi)容編排的不同點

三版教材中兩步混合運算內(nèi)容的編排既有共性，也有個性，主要表現(xiàn)如下。

（一）知識編排的整體性與關(guān)聯(lián)性不同

不含括號的兩步運算式主要分為兩類：一類是同級運算兩步式，如連加連減、加減混合、連乘連除、乘除混合;另一類是兩級運算兩步式，如乘加乘減、除加除減。其中加減混合、乘除混合、乘加乘減及除加除減均含有兩種運算，因此又稱為混合運算。由此可知，兩步混合運算主要包括同級混合運算（加減混合、乘除混合）和兩級混合運算（乘除法和加減法混合）。“混合運算”作為兩步混合運算的起始單元，若教師能完整地進行混合運算的教學(xué)，幫助學(xué)生完整建構(gòu)兩步混合運算的知識體系，學(xué)生便能進行整體性、關(guān)聯(lián)性的學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)將會更加結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化。然而，三版教材的編排存在較大差異。

由表1可知，人教版教材對于兩步混合運算的內(nèi)容是按照同級運算、乘除法和加減法混合運算、帶括號的混合運算、列綜合算式解決實際問題這樣的思路來編排的，體現(xiàn)了整體化和結(jié)構(gòu)化。人教版教材在例1中編排了同級混合運算，引導(dǎo)學(xué)生掌握遞等式計算的格式并總結(jié)同級混合運算的運算順序。學(xué)生在一年級時便對加減混合這樣的同級混合運算順序有所感知，以此類推乘除混合運算順序顯得水到渠成。因此，教師可以將重點轉(zhuǎn)至遞等式格式的教學(xué)上。在學(xué)生已經(jīng)掌握遞等式書寫格式要求的基礎(chǔ)上，例2的乘除法和加減法混合運算及例3的帶括號的混合運算的教學(xué)重心自然轉(zhuǎn)向運算順序的總結(jié)和遷移上?；谇懊娴膶W(xué)習(xí)基礎(chǔ)，例4的列綜合算式解決實際問題則可以將重心轉(zhuǎn)向如何分析題意列出綜合算式，更好地提升學(xué)生問題解決的能力。由此發(fā)現(xiàn)，這樣的編排層次分明、目的清晰，有助于學(xué)生在遷移類推中感受知識的關(guān)聯(lián)性，實現(xiàn)知識的整體建構(gòu)，促進學(xué)生高階思維的發(fā)展。蘇教版教材在本單元中并未編排同級混合運算的內(nèi)容，而是將其前置于二年級上冊中，時間間隔太長以至于學(xué)生較難完整建構(gòu)混合運算知識體系。此外，蘇教版教材雖在二年級上冊編排了乘加、乘減兩步混合運算，但由于算式中乘法始終在前，因此總結(jié)的運算順序為從左往右依次計算，反而為本單元的教學(xué)帶來了負遷移，阻礙學(xué)生對兩級混合運算順序的正確建構(gòu)。北師大版教材將加減混合運算的內(nèi)容前置于二年級上冊中，并未編排乘除混合運算的內(nèi)容，不利于學(xué)生對知識的整體建構(gòu)與遷移類推。

（二）對模型思想的關(guān)注程度不同

模型思想是小學(xué)生必備的核心素養(yǎng)與關(guān)鍵能力，能幫助學(xué)生體會及理解數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，其形成過程主要經(jīng)歷三個階段：一是從生活中抽象出數(shù)學(xué)問題，二是以數(shù)學(xué)符號表征問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，三是求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義。三版教材的編排均關(guān)注到了模型思想的滲透，但在關(guān)注程度上有很大不同。

正如前文所言，三版教材均注重引導(dǎo)學(xué)生解決現(xiàn)實情境中的實際問題，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象、符號表征、求出結(jié)果的過程。由此可見，三版教材均在幫助學(xué)生建立模型思想，構(gòu)建兩步混合運算模型。但模型思想的建立還有很關(guān)鍵的一個步驟，即討論結(jié)果的意義。結(jié)果的意義一方面體現(xiàn)在所解決的問題中，另一方面在于如何體現(xiàn)于一般問題情境中，即運算模型的一般化與生活化。蘇教版與人教版教材并未體現(xiàn)一般化與生活化的過程，北師大版教材則比較注重這方面的應(yīng)用。北師大版教材在例題及習(xí)題的編排中，多次設(shè)計了類似“用（70-46）÷8還能解決什么問題”“結(jié)合情境說說下面算式表示的意思”這樣的問題。這種逆向提問的設(shè)計，讓學(xué)生結(jié)合情境說出綜合算式表示的意思，使得抽象的符號還原為具象的情境，讓學(xué)生能夠深入理解所建立的兩步混合運算算式模型的一般化意義。通過這樣的方式，在突破教學(xué)重難點的同時也幫助學(xué)生建立模型思想，有助于學(xué)生用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界。

（三）題組練習(xí)的編排有明顯差異

如何幫助學(xué)生將混合運算的運算順序組織成相對完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，以便學(xué)生能夠及時提取并正確應(yīng)用，顯然題組練習(xí)是一個較好的途徑。題組練習(xí)可視為通向理解的階梯、突破難點的鑰匙、數(shù)學(xué)建模的模具。正如陳永明教授所說，數(shù)學(xué)教學(xué)如果不搞題組，那就只好搞“題?！盵4]。然而，三版教材在題組練習(xí)的編排上存在著顯著的差異。

蘇教版教材在每節(jié)課的課后練習(xí)及單元練習(xí)中均設(shè)計了題組練習(xí)，根據(jù)設(shè)計意圖，將其分為三類。第一類重在引導(dǎo)學(xué)生在對比中感受不同的運算順序會產(chǎn)生不同的運算結(jié)果，體會運算順序的重要性，幫助學(xué)生進一步內(nèi)化運算順序。如同級與兩級運算的對比：56÷7×8與56-7×8;運算符號在不同位置的對比：17×4+20與17+4×20;有無小括號的對比：90-40×2與（90-40）×2。第二類重在引導(dǎo)學(xué)生在對比中感受運算的特點，發(fā)展學(xué)生數(shù)感的同時提高其估算能力。如被減數(shù)相同的情況下減數(shù)與差的關(guān)系：90-38×2與90-38÷2。第三類重在引導(dǎo)學(xué)生在對比中感受運算性質(zhì)，體會運用運算性質(zhì)簡化運算的過程，進一步提高學(xué)生的運算能力。如減法運算性質(zhì)的運用：180-36-44與180-（36+44）;除法運算性質(zhì)的運用：320÷4÷2與320÷（4×2）。人教版教材雖然也設(shè)計了題組練習(xí)，但是數(shù)量較少且僅僅編排了上述第三類及第一類中有無小括號的對比題型。北師大版教材則整個單元均未編排題組練習(xí)，缺少題組對比，不利于學(xué)生對運算順序的內(nèi)化。

四、教材比較的啟示

基于上述對三版教材的分析與比較，筆者提出以下教學(xué)建議，以便教師優(yōu)化教學(xué)設(shè)計，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（一）注重整體教學(xué)，遷移類推達成整體建構(gòu)

鄭毓信教授認(rèn)為，數(shù)學(xué)的對象并非一個個孤立的模式，而是整體性的建構(gòu)[5]。教師在教學(xué)中應(yīng)關(guān)注知識的“生長點”與“延伸點”，注重知識的結(jié)構(gòu)與體系，幫助學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性。為此，教師可以將同級混合運算引入第一課時的教學(xué)中，給予學(xué)生完整建構(gòu)知識體系的機會。同級混合運算是學(xué)生較早接觸的混合運算，其運算順序是學(xué)生容易理解的。教師應(yīng)充分發(fā)揮同級混合運算的優(yōu)勢，并強化遞等式的書寫格式，讓學(xué)生在反思交流中感受遞等式計算與分步計算的異同點，體會遞等式計算的價值，為后續(xù)兩級混合運算及帶括號混合運算順序的探究和列綜合算式解決實際問題打好基礎(chǔ)。此外，教師應(yīng)充分發(fā)揮學(xué)生的遷移類推能力，引導(dǎo)學(xué)生通過對先前所學(xué)知識進行遷移與類比推理，讓學(xué)生自主建構(gòu)新知，并結(jié)合實際情境解釋、驗證所得結(jié)果。正如建構(gòu)主義理論所強調(diào)的，有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要關(guān)注知識之間關(guān)系的聯(lián)通，對知識之間的因果關(guān)系有正確的把握，要善于將有聯(lián)系的知識或同一類知識組成模塊，構(gòu)建完整的知識體系。在知識的遷移類推中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了知識的前后關(guān)聯(lián)，這樣的學(xué)習(xí)才是有深度的學(xué)習(xí)，體現(xiàn)了“教育就是生長”的教育哲學(xué)思想。

（二）滲透模型思想，逆向提問助推能力提升

課程標(biāo)準(zhǔn)強調(diào)“四能”，即發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力，分析和解決問題的能力。如前文所述，本單元教學(xué)的難點是列綜合算式解決實際問題。一方面，長期的分步列式解答所形成的思維定式會干擾學(xué)生對綜合算式的解答。另一方面，綜合算式的解答需要學(xué)生對問題的結(jié)構(gòu)和數(shù)量關(guān)系有宏觀的把握，并能將解題思路與運算順序有機結(jié)合，難度顯而易見。對于如何更好地突破難點，北師大版教材中的逆向提問法為教師提供了思路。教師可以將抽象的綜合算式意義一般化，轉(zhuǎn)變?yōu)槎鄻踊木呦笄榫?，使綜合算式的模型印入學(xué)生的腦海中，便于學(xué)生自主創(chuàng)建更多的綜合算式模型以解決實際問題。因此，教師在教學(xué)中除了可以采用依據(jù)問題列綜合算式解決實際問題這樣的常態(tài)化教學(xué)方式，還可以采用“聯(lián)系情境說說這個算式表示的意思”“結(jié)合算式創(chuàng)編實際問題”這樣的逆向提問教學(xué)設(shè)計。根據(jù)實際情境列綜合算式，是生活化向數(shù)學(xué)化的轉(zhuǎn)變，而根據(jù)綜合算式想象實際情境，則是數(shù)學(xué)化向生活化的轉(zhuǎn)變。生活與數(shù)學(xué)的雙向互通，能夠有效實現(xiàn)直觀與抽象的相互交融，幫助學(xué)生建構(gòu)綜合算式模型，最終促成學(xué)生問題解決能力的提升。

（三）構(gòu)建題組模塊，對比分析實現(xiàn)深度理解

比較是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式，通過比較，學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的認(rèn)知才能走向更深層次。在題型結(jié)構(gòu)、數(shù)量關(guān)系、解題方法、數(shù)學(xué)思想上構(gòu)建基于同一個數(shù)學(xué)模型的題組模塊，引導(dǎo)學(xué)生進行對比分析，能夠幫助學(xué)生對知識的深度理解與掌握。如前文所述，蘇教版教材中提供了意圖明確的三類題組練習(xí)，教師可以充分運用這三類題組練習(xí)，挖掘練習(xí)背后的設(shè)計意圖，讓隱性的數(shù)學(xué)規(guī)律結(jié)構(gòu)化、可視化、算法化。同時，教師應(yīng)進一步挖掘題組素材，引導(dǎo)學(xué)生基于現(xiàn)有題組續(xù)編練習(xí)，進而構(gòu)建題組模塊。學(xué)生自主構(gòu)建題組模塊的過程，既是內(nèi)化知識的過程，也是運用知識的過程，最終實現(xiàn)對知識的深度理解。此外，題組模塊的對象不僅僅局限于簡單的混合運算算式中，還可以是多道混合運算實際問題。教師可以構(gòu)建題型結(jié)構(gòu)、數(shù)量關(guān)系相近的實際問題題組模塊，讓學(xué)生在解決問題后進一步嘗試?yán)m(xù)編題組，在不斷完善的題組模塊中發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律，強化對解決問題過程的理解，培養(yǎng)和發(fā)展初步的數(shù)學(xué)建模意識與能力。

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[4]陳永明.在簡約中尋求厚重[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2019（1）：47-49.

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（責(zé)任編輯：羅小熒）