曹艷芳

摘要：精準(zhǔn)預(yù)設(shè)讓習(xí)題課教學(xué)具有清晰的方向性，精彩生成讓習(xí)題課激起思維的火花。在充分認(rèn)識教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)價值的基礎(chǔ)上、在充分了解學(xué)生學(xué)習(xí)能力和思維水平的前提下，對學(xué)生出現(xiàn)的不同解法甚至錯誤解法進(jìn)行準(zhǔn)確的預(yù)判，形成預(yù)設(shè)性學(xué)習(xí)任務(wù)；在課堂教學(xué)中及時發(fā)現(xiàn)學(xué)生的解題障礙或思維誤區(qū)，產(chǎn)生生成性學(xué)習(xí)任務(wù)。在二者結(jié)合的基礎(chǔ)上，回歸最初定義，探尋錯誤根源?；陬A(yù)設(shè)和生成融合的平面向量數(shù)量積習(xí)題教學(xué)，選擇思維空間較大的例題，在討論不同解法和學(xué)生錯解的基礎(chǔ)上，找到問題的根源，拓展新的思維空間，從而較好地突破了平面向量數(shù)量積運(yùn)算難點。

關(guān)鍵詞：平面向量數(shù)量積；習(xí)題講評課；預(yù)設(shè)與生成；高中數(shù)學(xué)

中圖分類號：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1992-7711（2021）19-0049

一、問題的提出

向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的概念之一，具有深刻的幾何背景和豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)涵。平面向量數(shù)量積（以下簡稱數(shù)量積）的概念從物理中的“功”抽象而來，依據(jù)定義式可以推導(dǎo)出向量的模長、夾角以及坐標(biāo)表示等公式。類比推廣到空間向量后，先將幾何問題坐標(biāo)化數(shù)量化，再進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，最后又將運(yùn)算結(jié)果轉(zhuǎn)化成幾何關(guān)系，從而數(shù)量積成為研究空間基本圖形的位置、度量關(guān)系的有效工具。經(jīng)過這一學(xué)習(xí)過程，學(xué)生體會和掌握了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等學(xué)科核心素養(yǎng)。

數(shù)量積的教學(xué)研究多見于新授課教學(xué)設(shè)計和解題策略。如李沛、丁益祥設(shè)計了“路徑探究、背景分析、定義抽象、向量投影、性質(zhì)研習(xí)”[1]五個環(huán)節(jié)來突破教學(xué)難點。曹磊利用平面向量基本定理，將向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為基底向量的數(shù)量積，將數(shù)量積運(yùn)算自然引導(dǎo)到坐標(biāo)表示[2]。魏安龍將數(shù)量積運(yùn)算進(jìn)行了題型歸納，側(cè)重定義法、坐標(biāo)法、基底法[3]。孫金霞、石海峰以2014年江蘇高考題第12題為例，探究了數(shù)量積運(yùn)算方法與選擇策略[4]。對于數(shù)量積運(yùn)算方法優(yōu)劣比較與選擇，學(xué)生做題誤區(qū)與錯因分析等研究相對缺乏。

二、預(yù)設(shè)與生成融合的基本內(nèi)涵

預(yù)設(shè)是教師在課前對課堂教學(xué)活動的規(guī)劃和設(shè)計，生成是在教學(xué)中因?qū)W情變化產(chǎn)生預(yù)料之外的有價值的觀點或問題。缺少生成的預(yù)設(shè)，課堂缺乏靈氣，壓制了學(xué)習(xí)的主動性與積極性；缺少預(yù)設(shè)的生成，往往又缺少課堂焦點，導(dǎo)致教學(xué)效率下降。從而預(yù)設(shè)與生成融合在習(xí)題教學(xué)中顯得尤為重要。

1.基于生成的預(yù)設(shè)

基于生成的預(yù)設(shè)是以生成為目的的預(yù)設(shè)，是課堂教學(xué)生成的準(zhǔn)備。精準(zhǔn)預(yù)設(shè)離不開對教學(xué)內(nèi)容和學(xué)情準(zhǔn)確而深刻地把握，以及對課堂教學(xué)過程充分地預(yù)計。

2.對教學(xué)內(nèi)容的精準(zhǔn)把握和學(xué)情的充分了解是精準(zhǔn)預(yù)設(shè)的基本保證。數(shù)量積運(yùn)算內(nèi)容豐富運(yùn)用廣泛，是高考命題熱點也是課堂教學(xué)重點。數(shù)量積運(yùn)算常規(guī)方法有三種：定義法、坐標(biāo)法、基底法。筆者所在學(xué)校的學(xué)生對定義法和坐標(biāo)法掌握相對較好，但當(dāng)已知條件特征不明顯時，在方法的選擇上就會出現(xiàn)困難，能夠靈活運(yùn)用基底法的學(xué)生就更少。主要原因是學(xué)生對平面向量基本定理理解不到位，缺乏基底意識。

（1）對教學(xué)環(huán)節(jié)的規(guī)劃是精準(zhǔn)預(yù)設(shè)的主要任務(wù)。為了突破數(shù)量積運(yùn)算教學(xué)重難點，筆者在習(xí)題課中設(shè)計了這樣一道例題。

題中a，b是以坐標(biāo)的形式給出的，x，y是a，b的線性表示，學(xué)生在做題時會選擇坐標(biāo)法，但由于計算煩瑣，學(xué)生可能會產(chǎn)生畏難情緒或計算錯誤?；诮虒W(xué)目標(biāo)和學(xué)情，預(yù)設(shè)本節(jié)課的教學(xué)流程為：知識回顧—自主練習(xí)—展示交流—解難答疑—歸納總結(jié)—鞏固練習(xí)。

（2）基于預(yù)設(shè)的生成

基于預(yù)設(shè)的生成是有取舍的生成，是聚焦于教學(xué)目標(biāo)的生成性問題的解決。精彩的生成離不開有思維空間的問題和思維活動的充分展開。

①有思維空間的問題是精彩生成的基礎(chǔ)。思維空間意味著習(xí)題課選題不僅在知識上緊扣主要內(nèi)容，而且在解題方法上不是唯一的，在不同解法中發(fā)現(xiàn)思維的差異，從而形成思維碰撞。本課所選例題（見上）從知識層面上看，是一道向量垂直與數(shù)量積運(yùn)算的綜合應(yīng)用題。從解題方法上可以選擇坐標(biāo)法，也可以根據(jù)垂直關(guān)系列式，運(yùn)用運(yùn)算律和數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式來解決。第一種解法容易想到但計算煩瑣，第二種方法需要學(xué)生有敏感的數(shù)學(xué)解題能力。設(shè)計此題意在訓(xùn)練學(xué)生進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算，以及分析運(yùn)算策略尋求最優(yōu)解法。

②充分的思維展開是精彩生成的主要過程。思維展開就是給予學(xué)生充分的解答時間，并調(diào)控思維展開的過程。將此題呈現(xiàn)給學(xué)生自主完成，根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗，學(xué)生會出現(xiàn)以下幾種情況。無從下筆；計算受阻而畏難；計算煩瑣致出錯；快速準(zhǔn)確。教師再挑選這四種代表性的作業(yè)進(jìn)行展示，并請學(xué)生講述解題思維過程及困惑。通過交流展示，學(xué)生知道此題有兩種解法，同時會產(chǎn)生質(zhì)疑：哪種解法好？下次做題時自己會運(yùn)用哪種？此時，教師引導(dǎo)學(xué)生在做題前應(yīng)預(yù)估兩種解法的可行性、繁簡程度，最終得出解決數(shù)學(xué)問題要步驟化，不能盲目下筆。接著再安排鞏固練習(xí)就能很好地實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)。

三、預(yù)設(shè)與生成融合的習(xí)題課教學(xué)實施

基于預(yù)設(shè)與生成融合的習(xí)題課教學(xué)，教學(xué)環(huán)節(jié)清晰，教學(xué)過程充分重視學(xué)生思維活動的展開，預(yù)設(shè)和生成的學(xué)習(xí)活動相得益彰。基本教學(xué)過程為：知識回顧—自主練習(xí)—展示交流—釋疑解惑—質(zhì)疑探疑。

1.知識回顧，快速回顧數(shù)量積運(yùn)算的三種常規(guī)方法，做好知識上的鋪墊。

2.自主練習(xí)，呈現(xiàn)例題后，讓學(xué)生獨立完成。在巡視的過程中，了解學(xué)生做題時的思維活動，把握主要思維障礙或誤區(qū)，收集講題素材。

3.展示交流，充分了解學(xué)生做題情況后，挑選了4份預(yù)估的代表性答案進(jìn)行投影，并請4位學(xué)生談了做題時的困惑和收獲。緊接著展示了預(yù)先準(zhǔn)備好的兩種解法，并請學(xué)生思考交流：兩種解法哪種較好？理由是什么？

4.釋疑解惑，經(jīng)過一番討論后，生5：“解法一容易想到，但是坐標(biāo)太難算了。”生6：“若是不計算坐標(biāo)，根據(jù)垂直列式用運(yùn)算律展開，因a，b的數(shù)量積為0，運(yùn)算量大大簡化了?！惫P者聽完兩位學(xué)生的發(fā)言馬上總結(jié)：“在解決問題時要養(yǎng)成良好的運(yùn)算習(xí)慣：理解題意、找準(zhǔn)運(yùn)算對象—思考運(yùn)算思路，預(yù)估運(yùn)算繁簡—選擇運(yùn)算方法，求得運(yùn)算結(jié)果。”

5.質(zhì)疑探疑，按照預(yù)設(shè)完成了例題的教學(xué)，正準(zhǔn)備開展鞏固練習(xí)時，課堂上冒出了意外的聲音，生7有別的解法，解答如下：

出乎意料，生7利用平面向量基本定理，確定基底寫出坐標(biāo)，再轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算。這個方法確實妙，但為何答案不正確呢？這是一個好的生成問題，臨時提出兩個問題，引導(dǎo)學(xué)生探究錯誤根源：

問題（1）平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示是什么？

問題（2）平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示是如何推導(dǎo)出來的？

問題（1）學(xué)生都能準(zhǔn)確地背出來，卻說不出問題（2）的所以然來。這時，筆者要求學(xué)生回歸教材，引導(dǎo)學(xué)生重新進(jìn)行知識梳理，平面內(nèi)任意向量都可以由同一平面內(nèi)兩個不共線的基底向量線性表示，在此基礎(chǔ)上選定坐標(biāo)軸上的單位向量i，j進(jìn)行正交分解，即a= xi+ yj，再利用運(yùn)算律進(jìn)行運(yùn)算從而得出了數(shù)量積的坐標(biāo)表示a？b= x1x2+ y1y2。在這個過程中，學(xué)生再次從整體上認(rèn)識了知識的關(guān)聯(lián)性。再衍生出第三個問題：

問題（3）數(shù)量積的坐標(biāo)表示對基底有要求嗎？此題中a，b為基底是否可行？

學(xué)生還意猶未盡，紛紛提問。a，b的坐標(biāo)是以坐標(biāo)軸上的單位向量i，j為基底得到的，x，y的坐標(biāo)是以c，b為基底得到的，它們的基底不同，會影響答案嗎？筆者要求學(xué)生再次回到數(shù)量積坐標(biāo)表示的推導(dǎo)過程中，發(fā)現(xiàn)答案確實是不受影響的。若a，b為基底，但它們不是單位向量又不垂直怎么辦？筆者認(rèn)為推導(dǎo)非垂直情況下數(shù)量積的坐標(biāo)表示意義不大，但還是肯定了學(xué)生的積極思考。

6.歸納總結(jié)，歸納總結(jié)是思路的提煉，方法的提升。結(jié)課環(huán)節(jié)要求學(xué)生來總結(jié)收獲。生8：“這道題將數(shù)量積運(yùn)算的三種方法都運(yùn)用上來了，沒有刷題但是確實掌握了三種方法?！惫P者也及時肯定：學(xué)生經(jīng)過思考得到了一題三解，迎難而上的學(xué)習(xí)勁頭值得表揚(yáng)。

四、效果與反思

1.教學(xué)效果

本課例中，學(xué)生不僅出現(xiàn)了可預(yù)見的錯誤類型，還因?qū)W生的錯解生成了具有探究價值的問題。筆者抓準(zhǔn)教育時機(jī)引領(lǐng)學(xué)生探究錯誤根源，在這一過程中，較好地建構(gòu)了知識網(wǎng)絡(luò)，將平面向量基本定理、正交分解、向量的坐標(biāo)表示、數(shù)量積的坐標(biāo)表示等知識串聯(lián)起來，對知識的理解更加透徹，也獲得了難能可貴的“基底意識”，是預(yù)設(shè)和生成的完美融合，課堂教學(xué)效果好。

2.教學(xué)反思

學(xué)生出現(xiàn)錯解源于新課教學(xué)不到位，在推導(dǎo)數(shù)量積坐標(biāo)表示時輕描淡寫，導(dǎo)致學(xué)生只是記住了坐標(biāo)表示的結(jié)論，而推導(dǎo)的理論依據(jù)和過程卻沒有受到重視。其次，在展示典型答案和學(xué)生分析后，應(yīng)該給出充足時間讓學(xué)生再次訓(xùn)練，而不是教師展示正確答案。此外，由于生成問題的出現(xiàn)，預(yù)設(shè)的鞏固練習(xí)未能預(yù)期進(jìn)行，時間所限只能進(jìn)行取舍。

通過這節(jié)課，筆者也意識到要上出有質(zhì)量、有深度的數(shù)學(xué)課必須加強(qiáng)自我學(xué)習(xí)。對每一個數(shù)學(xué)知識，要思考它從哪里來，有什么作用？從整體和局部兩個方面來進(jìn)行教學(xué)思考，認(rèn)清知識的本質(zhì)和內(nèi)涵，領(lǐng)悟蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。課堂教學(xué)千變?nèi)f化，預(yù)設(shè)和生成度的把握實際操作難度大，在以后的教學(xué)中還要不斷修煉。面對課堂出現(xiàn)的“不速之客”，要判斷是“奇思妙想”還是“胡思亂想”？是“巧妙利用”還是“撥亂反正”？

參考文獻(xiàn)：

[1]李沛，丁益祥.“平面向量的數(shù)量積”教學(xué)設(shè)計、反思與點評[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2020（7）：15-21.

[2]曹磊.體驗操作感悟過程自然建構(gòu)——以“平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示”教學(xué)為例[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2019（2）：32-34.

[3]魏安龍.“平面向量的數(shù)量積”（第2課時）教學(xué)設(shè)計[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2017（33）：22-24.

[4]孫金霞，石海峰.談平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算方法與選擇——以2014年江蘇高考第12題為例[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2014（23）：105+107.

（作者單位：廣東省廣州市番禺區(qū)石碁中學(xué)511450）