王燕

摘要：數(shù)學(xué)建?；顒邮腔跀?shù)學(xué)思維，運(yùn)用模型解決實(shí)際問題的綜合實(shí)踐活動。文章以“體重與脈搏”教學(xué)為例，對恒溫動物的體重與脈搏進(jìn)行分析與探究，讓學(xué)生體會建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟，激發(fā)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)、分析、解決問題的能力，同時提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模;體重;脈搏率

生活中，事物與事物之間是有聯(lián)系的，揭示這些聯(lián)系是數(shù)學(xué)的意義所在，數(shù)學(xué)建模就是這樣的一個數(shù)學(xué)活動。“體重與脈搏”是課程標(biāo)準(zhǔn)中的一個建模課題，其目的是讓學(xué)生經(jīng)歷一次完整的數(shù)學(xué)建模過程，讓學(xué)生初步體驗(yàn)提出問題、建立模型、求解模型、檢驗(yàn)、優(yōu)化模型等建?；顒樱⑼ㄟ^活動，展示學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)處理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

該問題的分析線索比較長，學(xué)生很難自主地建模求解，在過程中容易出現(xiàn)目標(biāo)不明確、無法操作等問題。因此，筆者采用問題呈現(xiàn)的形式引導(dǎo)學(xué)生將核心問題拆分成容易達(dá)成的小目標(biāo)，引導(dǎo)他們按照一定的脈絡(luò)進(jìn)行下去。

一、 中學(xué)數(shù)學(xué)建?，F(xiàn)狀分析

（1）初中學(xué)生已學(xué)過確定型的函數(shù)模型（如：一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)），在高中階段學(xué)習(xí)了函數(shù)的基本研究內(nèi)容和方法，但運(yùn)用函數(shù)知識來解決實(shí)際問題的能力不足，在實(shí)踐技能上對圖形計(jì)算器的操作還不夠熟練，在思想觀念上對擬合型的函數(shù)模型缺乏科學(xué)認(rèn)識，在數(shù)學(xué)應(yīng)用上缺乏運(yùn)用函數(shù)模型來闡述自然規(guī)律的意識，在函數(shù)方法上難以想到運(yùn)用對數(shù)運(yùn)算特性來轉(zhuǎn)化數(shù)據(jù)。

（2）本節(jié)內(nèi)容最大的難點(diǎn)是“用跨學(xué)科知識分析評判所得函數(shù)模型闡釋恒溫動物體重與脈搏率之間內(nèi)在聯(lián)系的合理性”。首先應(yīng)排除影響脈搏率的其他非主要因素，從而由生物學(xué)常識形成模型假設(shè)，再運(yùn)用數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理分析所得模型的科學(xué)性。此外，由于動物間體重差異太大，在數(shù)據(jù)處理上也存在難點(diǎn)，運(yùn)用對數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化數(shù)據(jù)需要教師的啟發(fā)引導(dǎo)。

（3）由于在自然情景中所得數(shù)據(jù)并非處于容易處理的“理想狀態(tài)”，所以需要運(yùn)用信息技術(shù)支持教學(xué)。本節(jié)課運(yùn)用圖形計(jì)算器可以直觀展示數(shù)據(jù)對應(yīng)的散點(diǎn)圖并建立函數(shù)模型，快捷地轉(zhuǎn)化數(shù)據(jù)重構(gòu)函數(shù)模型，因此為教學(xué)提供了極大的支持。

二、 中學(xué)數(shù)學(xué)建模策略

（一）情境設(shè)疑，啟迪思考

（PPT展示人的脈搏率從嬰兒時期到長大成人的變化）

師：你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

生：隨著人慢慢長大，脈搏率在變小。

師：大家覺得影響脈搏率的主要因素是什么？

生：是不是會和性別、年齡、身高、體重等因素有關(guān)系。

問題1：如果將研究范圍擴(kuò)展到恒溫動物，你覺得影響脈搏率的主要因素是什么？

預(yù)設(shè)：性別、年齡、身高這些因素就不合適了，那么應(yīng)該是體重會影響脈搏率！

【設(shè)計(jì)意圖】

引導(dǎo)學(xué)生在實(shí)際情境中發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，以開放的問題引導(dǎo)學(xué)生提出本節(jié)課研究的主題，即運(yùn)用數(shù)學(xué)方法研究恒溫動物體重與脈搏率之間的內(nèi)在聯(lián)系。

（二）技術(shù)應(yīng)用，建立模型

師：要研究兩個量的關(guān)系，就需要有相應(yīng)的數(shù)據(jù)支持，請大家閱讀教材提供的種恒溫動物的體重與脈搏率對應(yīng)的數(shù)據(jù)。動物名[體重（單位：g）/脈搏率（單位：次/分）]

鼠（25/670）大鼠（200/420）

豚鼠（300/300）兔（2000/205）

小狗（5000/120）大狗（30000/85）

羊（50000/70）馬（450000/35）

問題2：為研究方便，將體重和脈搏率分別用W和f表示，觀察這組數(shù)據(jù)，你能發(fā)現(xiàn)什么？

【師生活動】隨著體重逐漸增大，脈搏率逐漸減小，這兩個量之間有函數(shù)關(guān)系。利用圖形計(jì)算器將數(shù)據(jù)繪制到直角坐標(biāo)系中，得到散點(diǎn)圖如圖1，再猜想函數(shù)類型。

【預(yù)設(shè)1】

生1：我覺得是反比例函數(shù)。

生2：根據(jù)表格數(shù)據(jù)對應(yīng)的乘積并不是一個常數(shù)，所以肯定不是反比例函數(shù)。

【預(yù)設(shè)2】可能會是一個單調(diào)遞減的指數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)模型。

師生共同探討分析這些函數(shù)的特點(diǎn)，對猜想的模型進(jìn)行初步的驗(yàn)證。之后利用圖形計(jì)算器的擬合功能，擬合函數(shù)模型f=1790.86·x-0.298257，如圖2。

【設(shè)計(jì)意圖】

讓學(xué)生感悟畫散點(diǎn)圖能夠?qū)⒈砀駭?shù)據(jù)更加直觀地呈現(xiàn)，也是研究函數(shù)模型的最基本的手段之一。通過圖形計(jì)算器、Excel等都可以實(shí)現(xiàn)。引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，落實(shí)數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)。

（三）模型假設(shè)，闡釋規(guī)律

問題3：為何脈搏率f和體重w之間大致滿足f=k·W-13的關(guān)系？

根據(jù)生物學(xué)常識我們可得到以下模型假設(shè)：

（1）生物學(xué)家認(rèn)為，睡眠中的恒溫動物依然會消耗體內(nèi)能量，主要是為了保持體溫;

（2）研究表明，消耗的能量E與心臟的血流量Q成正比;

（3）血流量Q是單位時間流過的血量，脈搏率f是單位時間心跳的次數(shù)，心臟每次收縮擠壓出來的血量為q;

（4）心臟每次收縮擠壓出來的血量q與心臟大?。ㄉ矬w體重W）成正比;生物體體重W與體積V成正比、體表散熱量與體表面積S成正比。

師：你能運(yùn)用以上4條模型假設(shè)來分析f=k·W-13的合理性嗎？

【追問1】你能根據(jù)以上模型假設(shè)，建立脈搏率f與體重W關(guān)系的函數(shù)關(guān)系嗎？

【師生活動】學(xué)生以6人小組為單位，從生物學(xué)知識和假設(shè)中提煉信息，給出各個變量的符號標(biāo)記，分組討論“這里需要的數(shù)學(xué)關(guān)系是什么”“如何用數(shù)學(xué)語言去刻畫變量間的關(guān)系”等問題。鼓勵學(xué)生以小組為單位，借助西沃電子設(shè)備展示自己推導(dǎo)的含有參數(shù)的數(shù)學(xué)關(guān)系式，對存在困難的小組和個人，教師予以適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)，讓其通過模仿達(dá)到預(yù)期的效果。