戴江南， 王 建

(中國海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 山東 青島 266100)

近年來，基爾霍夫型問題[1]的研究受到了相當(dāng)多的關(guān)注。此類問題在非線性彈性、電流變流體和圖像恢復(fù)等方面的應(yīng)用中均起到重要作用。對它的解的存在性、非存在性、爆破、熄滅、衰減估計(jì)和漸進(jìn)行為的研究有實(shí)際意義。由基爾霍夫首次提出了類似的方程，當(dāng)考慮用弦長變化來描述被拉伸弦的橫向振動時(shí)，這種方程通常被稱為基爾霍夫型方程，方程形式如下：

式中:L表示弦的長度；ρ表示物質(zhì)密度；表示橫截面積；δ表示阻力模數(shù)；P0表示初始軸心張力；E表示楊氏彈性模量；u(x,t)表示弦上t時(shí)刻x點(diǎn)處的豎直位移。

針對這類問題，作者在文獻(xiàn)[2-4]中運(yùn)用泛函分析的方法，研究了基爾霍夫型方程解的存在性、唯一性和正則性。

文獻(xiàn)[5]研究了如下含變指數(shù)的非局部基爾霍夫型拋物方程

(4)

在適當(dāng)?shù)募僭O(shè)下，作者利用Galerkin近似方法得到了其弱解的局部存在性。

文獻(xiàn)[6-7]研究了下述具有非線性項(xiàng)的基爾霍夫型拋物方程

(5)

作者應(yīng)用位勢井法研究了方程(5)弱解或強(qiáng)解的全局存在性、唯一性和爆破性。對于任意初始能量，作者得到了解的全局存在性和爆破性的結(jié)果。

本文研究具有p-Laplace算子的基爾霍夫型拋物方程的初邊值問題

(1)

u(x,t)=0, (x,t)∈?Ω×(0,T),

(2)

u(x,0)=u0(x),x∈Ω。

(3)

文獻(xiàn)[5]證明了方程(4)的弱解的局部存在性，但對其解的爆破性未作分析。受文獻(xiàn)[5-7]的啟發(fā)，本文運(yùn)用能量估計(jì)和凸函數(shù)技巧對問題(1)～(3)的解的爆破時(shí)間在不同初始能量條件下做出估計(jì)，得到了不同條件下解的爆破時(shí)間的上界和下界。

1 預(yù)備知識

在本文中，采用以下記號：

(6)

(7)

易知，J(u)和I(u)連續(xù)，此外，有下式成立：

(8)

(9)

其次，由于方程(1)是退化的，它一般沒有古典解。因此，我們給出問題(1)～(3)的弱解。

(10)

則稱u是問題(1)～(3)在Ω×[0,T]上的一個(gè)弱解。

下面我們給出解在有限時(shí)間爆破的定義。

定義2令u(x,t)為問題(1)～(3)的弱解，如果

為得出初始能量J(u0)為非負(fù)時(shí)u(x,t)爆破時(shí)間的上界，需要如下引理：

引理1令J(u)和I(u)分別由公式(6)和(7)給定，且T>0為問題(1)～(3)的解u(x,t)的最大存在時(shí)間。令

則以下對所有的t∈(0,T)成立：

(11)

L′(t)=-I(u(x,t)) 。

(12)

證明 對于光滑解，取公式(10)的檢驗(yàn)函數(shù)w=ut，則得公式(11)。通過逼近可知公式(11)對弱解同樣成立。特別的，它表明J(u(x,t))關(guān)于t非增。取公式(10)的檢驗(yàn)函數(shù)w=u，可得公式(12)。證畢。

引理2[7]設(shè)ψ(t)為正的二階可導(dǎo)的函數(shù)，滿足下列不等式ψ″(t)ψ(t)-(1+θ)(ψ′(t))2≥0，其中，θ>0。 若ψ(0)>0,ψ′(0)>0，則當(dāng)

引理3[8]考慮特征值問題：

(13)

記λ1>0為問題(13)的特征值，則

(14)

注1結(jié)合不等式(14)和H?lder不等式，顯然可得，

(15)

2 主要結(jié)論及證明

定理1設(shè)(r+1)p

J(u0)<0，

其中，

則存在T<+∞，使得解u(x,t)在有限時(shí)間下爆破，且T的上界如下估計(jì)形式：

(ii)

。

證明 (i)令

則L(0)>0，K(0)>0。由式(11)可得

這表明對所有的t∈[0,T) 有K(t)≥K(0)>0。由式(9)、(12)和0<(r+1)p

L′(t)=-I(u(t))=

(q+1)K(t)。

(16)

利用柯西-施瓦茨不等式，得

(17)

由公式(17)直接計(jì)算，可得

所以，

(18)

對不等式(18)在[0,t]上積分，可得

即

(19)

顯然公式(19)不是對所有的t>0 成立，因此，T<+∞且

I(u0)=(q+1)J(u0)-

其中，

(20)

另一方面，由J(u(t))的單調(diào)性和公式(8)、(15)可得

≥

當(dāng)t∈[0,T*]時(shí)，對任意T*∈(0,T)，β>0，σ>0，定義如下輔助函數(shù)：

(21)

通過計(jì)算得

(22)

F″(t)=2(u,uτ)+2β=-2I(u(t))+2β=

-2(q+1)J(u(t))+

(23)

對t∈[0,T*],令

由Young不等式和H?lder不等式可得，θ(t)在[0,T*]內(nèi)是非負(fù)的。

F(t)F″(t)+

F(t)[-2(q+1)J(u0)+

2(q+1)F(t)[-J(u0)]+

對任意的t∈[0,T*]和

由引理2知

或

(24)

選定一個(gè)

(25)

(26)

又由β0∈

再對公式(26)右邊取最小值，得

由于T*

證畢。

定理2設(shè)(r+1)p=q+10，使得問題(1)～(3)的弱解u(x,t)在有限時(shí)間T內(nèi)爆破，其中

(27)

證明 對文獻(xiàn)[10]的證明方法進(jìn)行了改進(jìn)。令

(28)

對(28)式關(guān)于t求導(dǎo)，并利用公式(9)得

(r+1)p(ut,ut)>0。

(29)

ψ(t)。

(30)

由公式(28)，(29)和J(u0)<0知，對所有t≥0，都有ψ(t)>0。

利用H?lder和柯西不等式，以及公式(29)、(30)得

(31)

表明

(32)

對公式(32)在[0,t]上積分，可得

再由L′(t)>ψ(t)，可得

(33)

對公式(33)在[0,t]上積分，可得

(34)

即

證畢。

之后，對問題(1)～(3)的解的爆破時(shí)間的下界給出估計(jì)。需要指出的是，前文的(i)和(ii)的情形可以統(tǒng)一處理。因?yàn)樵谇笙陆鐣r(shí)，I(u(t))<0控制爆破的時(shí)間。

證明 首先證明，如果定理1的假設(shè)(i)或(ii)成立，則有I(u(t))<0，t∈[0,T)。實(shí)際上，當(dāng)(ii)成立時(shí)，I(u(t))<0，t∈[0,T)在前文已給出證明。若J(u0)<0，由公式(11)知J(u(t))<0，t∈[0,T)。根據(jù)公式(9)和2p

由I(u(t))<0可得，對任意t∈[0,T)，

(35)

對公式(35)使用插值不等式，可得，對任意t∈[0,T)，

即

(36)

其中，C>0是僅與n、p、q和r相關(guān)的常數(shù)，

所以，由公式(12)和(36)得，對任意t∈[0,T)，

L′(t)=-I(u(t))=

(37)

其中，

因?yàn)楫?dāng)t∈[0,T)時(shí)，I(u(t))<0，所以當(dāng)t∈[0,T)時(shí)L(t)>0。之后，對(37)兩邊同除以Lγ(t)，再在[0,t)上積分，可得

(38)

證畢。

3 結(jié)語