劉園年 吳鐘華

摘 要：數(shù)學(xué)建模是當(dāng)前教學(xué)研究的熱點(diǎn)，新課程標(biāo)準(zhǔn)對概念教學(xué)要求注重生成的過程.本文以“對數(shù)函數(shù)的概念”教學(xué)設(shè)計為例，將數(shù)學(xué)建模融入概念教學(xué).以生物學(xué)問題為研究對象，注重數(shù)學(xué)建模的過程和對數(shù)函數(shù)概念的生成過程.讓學(xué)生更好的感受對數(shù)函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用和理解概念的本質(zhì).

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模;對數(shù)函數(shù);教學(xué)設(shè)計;生物學(xué)

一、教學(xué)內(nèi)容的認(rèn)識

“對數(shù)函數(shù)的概念”是新教材人教版必修第一冊第4.4節(jié)“對數(shù)函數(shù)”的第一節(jié)課，是在學(xué)習(xí)完指數(shù)函數(shù)和對數(shù)概念后進(jìn)行的研究.與指數(shù)函數(shù)的抽象概括得到不同，教科書是通過演繹推理獲得對數(shù)函數(shù)的概念的.這一獲得的過程對同學(xué)們來說非常新穎，是非常重要的數(shù)學(xué)過程和體驗(yàn).

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)：認(rèn)識對數(shù)函數(shù)，建立對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系;教學(xué)難點(diǎn)：（1）數(shù)學(xué)模型的建立（2）對數(shù)函數(shù)概念的生成

二、教學(xué)設(shè)計與實(shí)施

1. 從生物學(xué)出發(fā)構(gòu)建模型

課堂開始，首先回顧4.2.1的問題2：

問題：當(dāng)生物死亡后，其機(jī)體內(nèi)原有的碳14含量會按確定的衰減比率（簡稱衰減率）衰減，大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”.按照上述變化規(guī)律，生物體內(nèi)碳14含量與死亡年數(shù)之間有怎樣的關(guān)系？

師生回顧：

師：如果你就是考古學(xué)家，你覺得你對它的死亡時間感興趣嗎？有沒有什么辦法可以得知生物體的死亡時間？

生：感興趣，可以通過測出碳14含量來計算生物體的死亡時間.

師：是的，我們可以根據(jù)死亡時間推測該生物體生成所處的年代，如果是墓地還可根據(jù)墓地的形狀以及陪葬品，進(jìn)一步確認(rèn)主人的身份，推知當(dāng)時的科學(xué)工藝水平等等.這對過去的歷史與科學(xué)文化的研究具有十分重要的意義.

【設(shè)計意圖】以“科學(xué)考古”為話題代入課堂學(xué)習(xí)中，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和熱情. 從另一個角度繼續(xù)研究碳14衰減問題，讓學(xué)生在認(rèn)識對數(shù)函數(shù)時也能感受到對數(shù)函數(shù)的實(shí)際背景，同時也讓學(xué)生進(jìn)一步感受其中的函數(shù)模型.

師：作為考古學(xué)家的你，現(xiàn)在已經(jīng)利用儀器，測出了死亡生物體內(nèi)碳14的含量，那如何得知它死亡了多長時間呢？例如， 死亡生物體內(nèi)碳14的含量為，那么死亡時間是？死亡生物體內(nèi)碳14的含量為，那么死亡時間是？那么如果死亡生物體內(nèi)碳14的含量為y，那么死亡時間是？

生：當(dāng)y=，x=5730，當(dāng)y=，，對任意.

【設(shè)計意圖】通過前兩個具體數(shù)例，幫助學(xué)生抽象概括出生物體內(nèi)碳14的含量y與死亡時間x之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型. 體驗(yàn)數(shù)學(xué)模型的建立過程.

2. 對數(shù)函數(shù)概念的生成

師：這樣我們就從原來的碳14含量y是死亡時間的函數(shù)，建立了死亡時間和碳14含量y間的一種對應(yīng)關(guān)系.那么這種對應(yīng)關(guān)系是函數(shù)關(guān)系嗎？

生：是

師：目前還不知道，我們需要如何去判斷呢？

學(xué)情預(yù)設(shè)：學(xué)生回答：只要判斷對于任意的一個y是否會有唯一確定的x和它對應(yīng)

（在實(shí)際課堂中，學(xué)生對這一問題基本回答不上來，沒有頭序）

師：很好，大家說了一部分，判斷它是否是函數(shù)，應(yīng)當(dāng)從函數(shù)的概念出發(fā).

師生活動：（共同回顧函數(shù)概念）設(shè)A、B是非空實(shí)數(shù)集，如果對于集合A中的任意一個數(shù)x，按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y=f（x），x∈A.

師：回到剛剛的問題，對照函數(shù)的定義，該如何判斷其是否是函數(shù)關(guān)系？

生：“任意一個數(shù)x，要有唯一的y和它對應(yīng)”，“對應(yīng)法則”等等，

師（引導(dǎo)回答）：需要驗(yàn)證兩個方面①兩個非空實(shí)數(shù)集A和B ②確定的對應(yīng)關(guān)系（“確定的”即是“任意一個數(shù)x，都有唯一的y和它對應(yīng)”）

師（總結(jié)剛才的判斷過程）：判斷一個對應(yīng)關(guān)系是否是函數(shù)關(guān)系，應(yīng)當(dāng)根據(jù)定義條件進(jìn)行嚴(yán)格的驗(yàn)證.

師生活動（共同歸納，并板書）：

師：集合A、B確實(shí)是非空實(shí)數(shù)集滿足①.那么如何判斷②確定的對應(yīng)關(guān)系？

學(xué)情預(yù)設(shè)：學(xué)生：對任意一個數(shù)y∈A，看是否都有唯一的x∈B和它對應(yīng).

（在實(shí)際課堂中，大多學(xué)生的反應(yīng)符合預(yù)設(shè)）

師：對的，我們可以利用函數(shù)圖象，先畫出函數(shù)的圖象，再過y軸正半軸上任一點(diǎn)作x軸的平行線，與該函數(shù)的圖象有且只有一個交點(diǎn)，這就說明，對于任意一個，通過對應(yīng)關(guān)系，在上都有唯一確定的數(shù)x與它對應(yīng)，所以x也是y的函數(shù).

另一方面，由指數(shù)函數(shù)是單調(diào)的這一特點(diǎn)也可以進(jìn)行判斷.

師：通過以上可以得知對應(yīng)關(guān)系：也是函數(shù)關(guān)系，函數(shù)，y∈（0，1]刻畫了時間x隨碳14含量y的衰減而變化的規(guī)律.

【設(shè)計意圖】回顧函數(shù)概念后，學(xué)生從毫無頭序到找到思路，加強(qiáng)了對概念的理解和重視.在判斷的過程中對所需條件進(jìn)行分析和一一驗(yàn)證，也培養(yǎng)了學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难芯孔黠L(fēng). 其中利用指數(shù)函數(shù)圖像來判斷“確定的對應(yīng)關(guān)系”， 可以感受圖像的直觀，讓學(xué)生感受數(shù)形結(jié)合的思想方法. 而從指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性出發(fā)，則可以更加嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼f明這一問題.

師：那么對于一般的底數(shù)a（教師板書：）和正數(shù)y，其得到的新的對應(yīng)關(guān)系：x=logay是函數(shù)關(guān)系嗎？

師生（教師板書，共同回答）：由 y=ax（a>0且a≠1）可以得到x=logay（a>0且a≠1），x也是y的函數(shù).習(xí)慣上，將寫x為自變量，寫y為因變量，即寫為y=logax，這就是今天要學(xué)習(xí)的對數(shù)函數(shù).

一般地，函數(shù)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，定義域是（0，﹢∞）.

【設(shè)計意圖】讓學(xué)生經(jīng)歷“特殊到一般”的研究過程，體會“特殊到一般”的研究方法.

3. 對數(shù)函數(shù)概念的理解

師：回到對數(shù)函數(shù)的定義中，對數(shù)函數(shù)對它的底數(shù)有這樣的限制：，這是為什么呢？

學(xué)情預(yù)設(shè)：學(xué)生回答：因?yàn)閷?shù)函數(shù)是從指數(shù)函數(shù)中變化得來，所以也要與指數(shù)函數(shù)對底數(shù)的要求一致.

（實(shí)際課堂中，符合預(yù)設(shè)）

師：最后要說的定義域，也是通過轉(zhuǎn)換為x=ay 得到的，那你能通過這個轉(zhuǎn)化，說出對數(shù)函數(shù)的值域嗎？

生：值域?yàn)镽.

師：從對數(shù)函數(shù)的定義域和值域上，我們還可以發(fā)現(xiàn)y=logax的值域等于y=ax的定義域，y=logax的定義域等于y=ax的值域，對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)有如此有趣、緊密的聯(lián)系，后面我們會繼續(xù)學(xué)習(xí).

【設(shè)計意圖】通過理解概念，挖掘出對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)定義域和值域的關(guān)系，為之后反函數(shù)的講解鋪墊.

4. 例題

課本例1，例2

5.作業(yè)

校本作業(yè)

參考文獻(xiàn)：

[1]陳林.基于“數(shù)學(xué)建模理論”的高中生物學(xué)教學(xué)實(shí)踐研究[D].四川師范大學(xué)，2017.

[2]沈小軍，馮莉莉.數(shù)學(xué)模型在中學(xué)生物教學(xué)中的應(yīng)用分析[J].讀寫寫（教教學(xué)刊），2019（01）.

[3]王穎喆.關(guān)于中學(xué)數(shù)學(xué)建模教與學(xué)的思考[J].數(shù)學(xué)通報，2020（59-11）.

基金項(xiàng)目：福建省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2020年度教育教學(xué)改革專項(xiàng)課題 “基于‘?dāng)?shù)學(xué)建模理論’的高中生物新教材教學(xué)實(shí)踐研究”（課題編號Fjjgzx20-002）