【摘 要】文章通過對“圓的組合圖形”的教學實踐與思考，將教材的例題和習題進行了有效整合，實現(xiàn)對教材的有效開發(fā)。在教學過程中，利用變式教學，滲透化零為整、等積代換等數(shù)學思想，幫助學生構建知識網(wǎng)絡，提升學生的幾何思維水平。

【關鍵詞】教材開發(fā);有效整合;幾何思維水平

【作者簡介】田志鋒，高級教師，淮北市學科帶頭人，教育部“跨世紀園丁工程”國家級骨干教師培訓學員，安徽省小學數(shù)學教學專業(yè)委員會理事、教科研指導委員會委員，主要從事小學數(shù)學教育教學研究工作。

【基金項目】安徽省教育科學研究項目2019年度立項課題“構建小學數(shù)學教師群體成長的教研共同體的實踐研究”（JK19086）

在小學數(shù)學課堂教學中，教師要有意識地提高學生的問題意識，讓學生學會思考，進行批判性的質疑，實現(xiàn)對數(shù)學活動的深度參與和對數(shù)學知識的深度理解[1]。也就是說，教師要順著學生的問題引領學生思考，促進學生創(chuàng)新思維的發(fā)展。同時，學生的質疑能給教師帶來新的教學思路，給課堂教學提供更廣闊的空間，促進教師對教學素材進行有效整合，使課堂煥發(fā)生機，使學生學習充滿活力。本文以“圓的組合圖形”為例，分析促進學生思維發(fā)展的教學實踐與思考。

一、教前慎思

（一）學生的困惑

筆者研究“圓的組合圖形”這個課題，緣于在教學人教版數(shù)學六年級上冊第69頁“外方內圓” “外圓內方”的例題后，有學生提出疑問：“為什么不討論它們的周長，周長該怎樣求？”為此，筆者對學生進行了一次教前測試：如圖1所示，正方形的邊長均為4cm，指出并計算圖中陰影部分的周長。

結果顯示，有不少學生沒能正確指出陰影部分的周長，部分學生能正確指出并計算，但沒有轉化意識，不能將圖形化零為整地考慮，以致計算過程過于復雜、煩瑣。另外，教材中零散分布的圓的組合圖形習題，只能讓學生就題論題，不能讓學生系統(tǒng)地掌握解決此類問題的思想方法，以致學生遇到類似的變式題時，或疲于應付，或無所適從，未能有效解答問題。

（二）教材開發(fā)

人教版數(shù)學五年級上冊設置了“組合圖形的面積”一節(jié)內容，但限于學生的知識儲備量，只討論直線型的組合圖形，僅要求學生會認識簡單的圖形并求出它們的面積。人教版數(shù)學六年級上冊“圓”單元中，穿插設置了很多有關圓的組合圖形的例題和習題，不僅涉及求面積，而且要求求出周長，如求出拱形門、太極圖、半圓環(huán)、操場跑道的周長等。

筆者將零散分布的有關圓的組合圖形的例題和習題進行了整合，通過在正方形內畫最大的圓等一系列數(shù)學學習活動，引導學生經(jīng)歷圓的組合圖形的形成過程，掌握計算圓的組合圖形的周長和面積的基本思路和方法，滲透轉化、分類、優(yōu)化等數(shù)學思想方法，培養(yǎng)學生的直覺思維、求異思維、創(chuàng)新思維等，實現(xiàn)對教材的有效開發(fā)。

（三）理論踐行

范希爾理論將學生的幾何思維水平分為三個層次：一是直觀水平，要求學生能整體地認識幾何對象;二是描述水平，要求學生能按照圖形的組成部分和組成部分之間的聯(lián)系來分析圖形;三是理論水平，要求學生能利用演繹推理證明幾何關系，發(fā)展邏輯推理能力[2]。與之相一致，《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》也明確提出，在數(shù)學課程中，應當注重發(fā)展學生的數(shù)感、空間觀念、幾何直觀、推理能力等[3]。

按照范希爾的觀點，學生幾何思維水平的提升是經(jīng)由教學，而不是隨年齡增加或心理成熟自然而然提升的;不同幾何思維水平之間的過渡是不平緩的，而是要經(jīng)歷一個“思維危機”過程[4]。如何讓學生平穩(wěn)渡過“思維危機”，促進思維水平的順利提升？筆者認為，對“圓的組合圖形”的研究學習是一次比較有益的理論實踐，利用變式教學，能夠很好地實現(xiàn)描述水平向理論水平的平穩(wěn)過渡，而在此基礎上發(fā)展起來的邏輯推理能力，能夠為下一階段的平面幾何知識學習做鋪墊。

二、教學實踐

（一）課件展示，揭示主題

教師用課件展示一個正方形和一個圓，動態(tài)演示組合成“外方內圓”的過程，并指出本節(jié)課的課題：探究“外方內圓”這類組合圖形的周長和面積。

（二）直觀操作，體驗本質

1.初步感知組合圖形周長和面積的本質區(qū)別

教師出示問題：邊長為4cm的正方形內如何畫一個最大的圓？并計算出圓的周長與面積。

學生在課前準備好的正方形紙上試畫并計算出具體數(shù)值，發(fā)現(xiàn)圓的周長和面積的數(shù)值都是12.56，但單位不同。

師：除了單位不一樣，你還能從圖中找出它們的不同嗎？

生（用手比畫）：周長是圓一周的長度，面積指圓的大小。

【設計意圖】通過這個教學環(huán)節(jié)，將教材例題與習題有關“外方內圓”的知識點進行有效整合，追本溯源，還原“外方內圓”的形成過程。同時，將圓的直徑設為4cm，并要求學生從圖形中辨認出圓的周長和面積，以防學生僅識記單位形式上的不同，而忽略本質上的區(qū)別。

2.涂出圓與正方形之間的圖形，并描出其周長

師：同學們，通過描線，你們發(fā)現(xiàn)涂色部分（如圖2）的周長由幾部分組成？

生1：由一部分組成，也就是正方形的周長。

生2：應該由兩部分組成，即正方形的周長和圓的周長。

生3：不對，我覺得應該是四部分組成。

看到大家有些疑惑，教師示意生3繼續(xù)回答。

生3：我認為是由4個“小角”組成，所以涂色部分的周長應該是4個“小角”的周長之和。

此時，學生出現(xiàn)兩種意見：一種是支持生2的觀點，另一種是贊同生3的看法。

師：對于圖中的“小角”，我們不妨稱之為曲邊三角形。大家想一想，這4個曲邊三角形的周長是不是等于正方形的周長和圓的周長之和？

學生表示同意。

師：因為這4個曲邊三角形是連接在一起的，所以我們也可以把涂色部分的周長看作正方形的周長和圓的周長兩部分組成。

【設計意圖】通過涂一涂，描一描，使學生意識到涂色區(qū)域的大小就是涂色部分的面積，描線的長度就是涂色部分的周長，讓學生進一步辨析組合圖形周長與面積的本質區(qū)別。特別是討論涂色部分的周長時，教師引導學生將其視作正方形的周長與圓的周長組合而成，培養(yǎng)學生的辨析能力，促進思維生長，同時也滲透化零為整的數(shù)學思想。

3.多組圖形類比，掌握組合圖形周長和面積的計算方法

（1）周長的計算方法——化零為整

教師出示下列一組圖形（圖3至圖5），正方形的邊長均為4cm，學生在答題紙上描出每個陰影部分的周長，計算并比較其大小。

師：通過前面的描線，我們知道圖3的陰影部分的周長=正方形的周長+圓的周長。

師：圖4的陰影部分的周長是多少？圖5呢？

師：同學們，請想一想，哪一種方法計算更簡便呢？

大多數(shù)學生都覺得生2的做法比較簡便。

【設計意圖】教師引導學生觀察圖形的特點，運用化零為整思想，將其轉化為求圓的周長，這樣的教學思路不僅體現(xiàn)整體性思維，而且體現(xiàn)化歸的數(shù)學思想方法，讓學生感受數(shù)學的奇妙，體會優(yōu)化的解題策略。

（2）面積的計算方法——割補法（平移或旋轉）

4.拓展延伸，探究圓與長方形組合圖形的面積

教師引導學生思考：將正方形變成長為13cm，寬為4cm的長方形，如何畫出最大的圓？最多能畫幾個？學生之間互相討論交流，在課前準備好的長方形內試畫。最后，學生匯報操作結果：最多能畫3個最大的圓（如圖6）。教師通過課件演示畫圓的方法和個數(shù)，使學生明白長方形的寬決定圓的大小，長方形的長決定圓的個數(shù)。同時，引導學生得出：余下部分的面積=長方形的面積-3個圓的面積，讓學生體驗圓與長方形組合圖形的面積形成過程。

【設計意圖】教師利用變式教學，改變條件，將正方形變?yōu)殚L方形，探究如何畫出最大的圓，最多能畫幾個，余下部分的面積是多少等一系列問題，為學生提供嘗試發(fā)展的階梯。由于前期的鋪墊，學生很容易將正方形內畫最大圓的方法類推到長方形內，并且發(fā)現(xiàn)畫出的圓的多少由長方形的長決定。在求余下部分的面積時，學生類比聯(lián)想到正方形內涂色部分的面積，再次理解二者的本質相同之處，使問題得以順利解決。這一教學環(huán)節(jié)的設計，讓學生的思維拾級而上，既增強了學生的學習信心，又提升了學生的遷移能力。

（三）提升練習，優(yōu)化解題策略

練習1 不必計算，直接比較圖7、圖8陰影部分的周長和面積的大小。（單位：cm）

題目雖然不用計算，但教師仍給出數(shù)據(jù)的目的是讓學生認真讀取圖中的數(shù)學信息，讀懂陰影部分都是由三段分別相等的半圓弧組合而成。繼而得出：兩個圖形周長相等、面積不相等，圖8的陰影部分的面積更大。

【設計意圖】通過練習1，讓學生對圖7和圖8進行類比，有意識地培養(yǎng)學生在解決組合圖形問題時養(yǎng)成先觀察再判斷的習慣，進一步提升學生的幾何直觀水平、描述水平和理論水平。

練習2 如圖9所示，已知長方形的面積等于圓的面積，圓的半徑是10cm。求：（1）陰影部分的面積;（2）陰影部分的周長。

【設計意圖】通過練習2，讓學生學會認真讀題、讀圖，并懂得選擇最優(yōu)化的解題策略——等積代換和化零為整，練習2充分體現(xiàn)算法的多樣化和優(yōu)化，有利于學生思維品質的提升。

（四）梳理溝通，構建知識網(wǎng)絡

在最后環(huán)節(jié)，教師引導和幫助學生回顧學習過程、梳理知識，并對知識進行內化建構（如圖10）。通過這樣的整合活動，使學生將所學知識內化成自己的觀點和思想，懂得將圖形對象和關系的研究進化到一個新的思維領域，從而獲得新的思維水平。

三、教后感悟

（一）整合教材，促進知識理解

心理學的研究表明，學習材料只有組織成系統(tǒng)，才會被學生迅速、準確而牢固地掌握并遷移，而這個系統(tǒng)應該是有序的、有層次的[5]。課堂上，教師將教材中零散的例題和習題進行整合，并且把例題中只解決組合圖形的陰影部分面積拓展為既研究周長問題，又研究面積問題。這樣的統(tǒng)整更能加深學生對概念的理解，通過類比、歸納，促進學生對知識的理解。

（二）深度引導，優(yōu)化解題策略

在研究正方形內如何畫最大的圓時，教師引導學生動手畫一畫、涂一涂等活動，讓學生初步感知組合圖形的周長與面積的本質區(qū)別。在探究圓與正方形組合圖形的面積與周長的求法時，教師放手讓學生自己解決，盡管有的學生算法煩瑣，但是他們經(jīng)歷了解決問題的過程，鍛煉了解決問題的能力，并且部分學生由此想到化零為整的數(shù)學思想。同時，教師引導學生運用旋轉、平移等方法，滲透了圖形運動、類比轉化、優(yōu)化算法的數(shù)學思想，促進了學生的思維發(fā)展，優(yōu)化了解題策略。

在教學拓展延伸階段，將正方形變?yōu)殚L方形，拓展了學生的學習空間，培養(yǎng)了學生思維的靈活性。

（三）變式練習，提升思維水平

在練習1中，設計成兩個圖形的組成元素相同，組成形式不同，而且要求不計算直接比較大小，培養(yǎng)學生的直觀水平、描述水平。在練習2中，教師要求學生運用等積代換和化零為整的思想方法，讓學生學會優(yōu)化解題策略，發(fā)展學生的邏輯推理能力。變式教學，讓問題實現(xiàn)了有機串聯(lián)，有利于加深學生對問題本質的理解，有利于學生建構完整、合理的知識網(wǎng)絡，同時使得思維過程具有合適的梯度，過渡平緩，最終促進學生思維水平的順利提升。

數(shù)學的本質在于思考的充分自由[6]。本節(jié)課借助圓、正方形、長方形這三個最基本的圖形，巧妙組合，以點串線，讓學生經(jīng)歷了知識的發(fā)生和發(fā)展過程。在觀察、操作、獨立思考中，學生掌握了計算圓的組合圖形周長和面積的基本方法，在觀察、比較、交流討論中，學生能夠靈活選擇解決方案，優(yōu)化解題策略，拓展了幾何思維空間。因此，在數(shù)學教學中，教師應教會學生如何思考，提升學生的幾何思維水平。

參考文獻：

[1]沈君.基于數(shù)學理解的游戲教學探析：以“長方形和正方形”一課為例[J].中小學課堂教學研究，2021（2）：34-36.

[2]鮑建生，周超.數(shù)學學習的心理基礎與過程[M].上海：上海教育出版社，2009.

[3]中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[4]鮑建生，黃榮金，易凌峰，等.變式教學研究[J].數(shù)學教學，2003（1）：11-12.

[5]陳永明名師工作室.數(shù)學習題教學研究[M].上海：上海教育出版社，2010.

[6]米山國藏.數(shù)學的精神思想與方法[M].毛正中，吳素華，譯.成都：四川教育出版社，1986.

（責任編輯：羅小熒）