張志華

[摘? 要] “幾何學(xué)是研究空間關(guān)系的數(shù)學(xué)分支”，在古代，這門數(shù)學(xué)分支叫“形學(xué)”，顧名思義，它的主要研究對象是圖形. 對于初中數(shù)學(xué)而言，幾何是該學(xué)科的重要組成部分，它研究的主要對象是平面圖形. 縱觀近幾年的中考試卷可以發(fā)現(xiàn)，幾何問題的相對難度逐年增加，難度的背后是模型思想越來越受到重視.

[關(guān)鍵詞] 項(xiàng)目化;幾何;初中數(shù)學(xué);策略

筆者試想，如果用“拼搭”進(jìn)行幾何模型的項(xiàng)目化教學(xué)，是否可以在一定程度上降低幾何學(xué)習(xí)的難度，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣. 對此，筆者在課堂教學(xué)中進(jìn)行了多次嘗試與改進(jìn)，一段時(shí)間的實(shí)踐之后有所收獲，下文以蘇科版七年級下冊《多邊形的內(nèi)角和外角和》第一課時(shí)的教學(xué)片段為例，就如何用“拼搭”實(shí)施幾何模型的項(xiàng)目化教學(xué)談?wù)勛约旱目捶ǎ嬲龑⒀芯康慕虒W(xué)問題目標(biāo)化、策略化、持續(xù)化、實(shí)效化，以此達(dá)到真正的項(xiàng)目推進(jìn)！

基本圖形：引入教學(xué)

低起點(diǎn)、重生成是幾何教學(xué)的基本理論依據(jù)，更是幾何模型項(xiàng)目化教學(xué)所需的遵循的原則. “拼搭”是以簡單的元素按照一定的規(guī)則拼接成完整形狀模型的過程，因此幾何模型教學(xué)也需以最基本的幾何模型來展開，這樣既有益于學(xué)生的接受，又能增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好本節(jié)課內(nèi)容的信心.

師（導(dǎo)入）：同學(xué)們，黑板上（圖1）是個(gè)什么圖形？

生（齊）：三角形.

師（追問）：你們對這個(gè)三角形熟悉嗎？請談?wù)勀銓λ睦斫?

生1：它有三個(gè)角和三條邊.

生2：三角形分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形.

生3：三角形的三個(gè)內(nèi)角和是180°.

師：你有什么方法驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論嗎？

生4：用量角器量.

生5：將三角形紙片的兩個(gè)角撕下來和第三個(gè)角拼在一起，可以拼成一個(gè)平角.

生6：也可以不撕紙片，將三個(gè)角通過折疊拼到一起合并成一個(gè)平角.

教師呈現(xiàn)三角形紙片讓生5和生6進(jìn)行演示.

師：度量、拼合、折疊正是我們小學(xué)階段所學(xué)過的驗(yàn)證三角形內(nèi)角和的方法，但是這三種方法的驗(yàn)證對象都是某一個(gè)三角形，存在局限性和操作誤差. 為了使這個(gè)結(jié)論更具說服力，我們需要如何對待這個(gè)結(jié)論呢？

生（齊聲回答）：證明.

設(shè)計(jì)意圖? 三角形是初中數(shù)學(xué)的基本圖形之一，很多重要模型都是由三角形變化而來的，因此以最簡單的圖形引入教學(xué)，讓學(xué)生具備了三角形模型觀念，為本節(jié)課的教學(xué)奠定基礎(chǔ)，也為后續(xù)模型項(xiàng)目化教學(xué)的展開做好鋪墊，是核心素養(yǎng)進(jìn)階積淀的關(guān)鍵策略之一.

簡單拼搭：共同探究

“拼搭”的過程就是幾何模型形成的過程，這個(gè)過程一定要讓學(xué)生自己去經(jīng)歷，只有參與其中，才能領(lǐng)悟到圖形的變化及模型的生成過程. 幾何的教學(xué)有時(shí)較為抽象，以小組為載體共同探究可以讓充分發(fā)揮小集體的優(yōu)勢，讓學(xué)生彼此之間進(jìn)行相互影響、相互補(bǔ)充，這種優(yōu)勢在幾何教學(xué)中有著積極的作用.

師：圖3和圖4是剛才同學(xué)們所想出的拼合方法，這兩種方法有什么共同點(diǎn)呢？

生1：它們都將三角形的兩個(gè)角進(jìn)行移動(dòng)后和第三個(gè)角進(jìn)行拼接，最終拼成一個(gè)平角.

師：你觀察得真仔細(xì)，那么證明的過程是無法拼接的，我們有什么方法進(jìn)行移角呢？

生2：可以畫圖，畫出相等的角.

師：這或許是一個(gè)好方法，但是怎么去畫呢？你能從這個(gè)過程中推導(dǎo)出證明的方法嗎？

問題：如何證明三角形的內(nèi)角和為180°？

（完成方式：學(xué)生獨(dú)立思考后小組討論，小組代表全班交流展示）

展示片段：

組一：如圖5，過點(diǎn)C作直線l∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”將∠A轉(zhuǎn)化為∠1，將∠B轉(zhuǎn)化為∠2，由∠1+∠ACB+∠2=180°可以證出∠A+∠ACB+∠B=180°.

組二：如圖6，延長AB，過點(diǎn)B作BM∥AC，將∠C轉(zhuǎn)化為∠1，將∠A轉(zhuǎn)化為∠2也可以證明.

組三：如圖7，在AB上取一點(diǎn)D，分別作AC，BC的平行線DF，DE，將∠A轉(zhuǎn)化為∠2、∠B轉(zhuǎn)化為∠1、將∠C轉(zhuǎn)化為∠EDF.

？搖？搖？搖

師：同學(xué)們果然都是充滿智慧的，想到了過三角形的一個(gè)頂點(diǎn)作一邊的平行線、過三角形邊上的一點(diǎn)作兩邊的平行線，這些方法最終都可以實(shí)現(xiàn)角的轉(zhuǎn)化. 試想，可否作三邊的平行線呢？

學(xué)生再次進(jìn)行小組合作探究，教師深入學(xué)生引導(dǎo).

組四：如圖8，在三角形的內(nèi)部任取一點(diǎn)作三邊的平行線，可以將∠A轉(zhuǎn)化為∠3、∠B轉(zhuǎn)化為∠1、將∠C轉(zhuǎn)化為∠2.

師（追問）：如果這個(gè)點(diǎn)在三角形的外部行不行呢？

生3：在三角形外部也可以，只要不在三角形的邊上都可以，如圖9，在三角形的外部取一點(diǎn)也可以用同樣的方法進(jìn)行證明.

師：大家的思維真是活躍，這么多方法最終的目的其實(shí)是一樣的，就是將三角形的角進(jìn)行移動(dòng)，將三個(gè)角轉(zhuǎn)化為平角. 那么平角是否是證明 180°的唯一方法呢？

學(xué)生遲疑……

師：如果我將圖5中的直線截去一半，變成射線，如圖10，你還能實(shí)現(xiàn)180°的證明嗎？

生4：根據(jù)“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”就可以了.

師（追問）：你的反應(yīng)真快，在圖5中“剪短”輔助線的長度就可以得到另外一種證明方法，那么對于圖6你有沒有什么想法呢？

生4：將輔助線BD去掉，也可以利用同旁內(nèi)角得到證明（圖11）.

設(shè)計(jì)意圖? 三角形內(nèi)角和的證明是本節(jié)課的重點(diǎn)也是難點(diǎn)，從拼接的過程中推導(dǎo)出利用平行線進(jìn)行移角是由具體到抽象的過程，但實(shí)則都是對三角形的角進(jìn)行“拼搭”. 在該部分內(nèi)容的推進(jìn)過程中先讓學(xué)生進(jìn)行紙片的拼接，再讓學(xué)生嘗試著畫線，以畫平行線作為切入點(diǎn)，逐漸變化、層層深入，引導(dǎo)其逐步“拼”出各種圖形，在幾何直觀的基礎(chǔ)上讓學(xué)生歸納出各種解法，引領(lǐng)學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)，促進(jìn)核心素養(yǎng)的提升.？搖？搖？搖？搖？搖

進(jìn)階拼搭：一圖多變

“拼搭”圖形的過程就是將圖形不斷進(jìn)行變化的過程，將兩種或以上簡單幾何模型進(jìn)行拼搭，融合成新模型是高一層次的拼搭，即幾何變式. 一圖多變是幾何變式常見的表現(xiàn)形式，從拼搭的角度解讀幾何變式，可以讓問題變得更生動(dòng)，利于學(xué)生的接受.

師：三角形的內(nèi)角和180°得以證明以后就可以作為定理在幾何問題中直接使用，同時(shí)也可以作為一個(gè)三角形模型，即看到三角形就聯(lián)想到180°.

解決問題：

例：如圖12，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分線，求∠ADB的度數(shù).

變式1：如圖13，在△ABC中，已知∠B=75°，∠C=65°， AD是的∠BAC的平分線，DE∥AC，求∠ADE的度數(shù).

變式2：如圖14，BD，CD分別平分∠ABC，∠ACB.

（1）若∠ACB=50°，∠ABC=60°，請你求出∠D的度數(shù).

（2）當(dāng)∠A=70°時(shí)，請你求出∠D的度數(shù).

（3）當(dāng)∠A=α?xí)r，請你探索∠A和∠D的數(shù)量關(guān)系.

（完成方式：學(xué)生獨(dú)立思考，學(xué)生代表全班交流展示）

？搖由于篇幅原因，學(xué)生展示環(huán)節(jié)省略，以下為題后總結(jié)部分的展示片段.

？搖師：上述的問題中，我們主要是圍繞著哪個(gè)模型展開探究的？

？搖生（齊）：三角形模型.

師（追問）：沒錯(cuò)，三個(gè)問題都是以三角形模型作為圖形的框架，那么圖12 是在三角形上拼搭了什么模型呢？

生1：三角形加上角平分線模型.

師：對了，三角形加上角平分線構(gòu)成了圖12的模型，可見圖13是在圖12的基礎(chǔ)上又拼搭上了一條線段，是什么模型呢？

生2：平行線模型.

師：非常準(zhǔn)確，三角形+角平分線+平行線構(gòu)成了圖13的模型. 從這個(gè)模型中你看到一個(gè)特殊的三角形了嗎？

生3：△ADE是等腰三角形.

師：你觀察得很細(xì)致，角平分線+平行線可以構(gòu)成等腰三角形模型.

師：圖14是什么模型？

生（齊）：雙角角平分線模型.

設(shè)計(jì)意圖? 利用三角形的內(nèi)角和定理解決幾何問題是本節(jié)課的另一個(gè)教學(xué)重點(diǎn). 這部分首先從最簡單的三角形展開，添加一個(gè)角的角平分線作為例題，低起點(diǎn)、易于接受，在此基礎(chǔ)上再添加一條平行線自然生成變式1，再添加另一個(gè)角的角平分線則生成變式2. 三個(gè)問題環(huán)環(huán)相扣、聯(lián)系緊密，一條線段的拼搭就可以生成一個(gè)新的幾何模型，可見圖形雖簡單但容量卻豐富，有利于學(xué)生思維的發(fā)展及幾何模型項(xiàng)目化思想的形成，是基于常態(tài)教學(xué)促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)進(jìn)階生長的關(guān)鍵.

幾何問題千變?nèi)f化，幾何圖形變幻無窮，圖形可以精簡也可以復(fù)雜. 從“拼搭”的眼光來看，復(fù)雜的圖形都是由簡單圖形變化而來的，幾何問題的解答實(shí)則就是對復(fù)雜圖形中簡單幾何模型的解讀. 如此看來，學(xué)會“拼搭”就是學(xué)會了模型，看懂“拼搭”的過程就是讀懂了圖形，幾何問題由此迎刃而解. 換個(gè)角度看幾何，快樂“拼搭”，可以讓幾何學(xué)習(xí)更簡單.