陳慶來

[摘? 要] 文章通過折紙活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)A4紙中的長、寬之比，通過“折一折”“想一想”“說一說”“試一試”等活動(dòng)讓學(xué)生感悟等腰三角形性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用，在活動(dòng)中發(fā)展學(xué)生的實(shí)踐操作能力和數(shù)學(xué)思考能力，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，進(jìn)一步提升學(xué)生適應(yīng)現(xiàn)代生活的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 折紙;深度學(xué)習(xí);等腰三角形

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在教學(xué)建議中指出：數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)根據(jù)具體的教學(xué)內(nèi)容，使學(xué)生在獲得間接經(jīng)驗(yàn)的同時(shí)也能獲得直接經(jīng)驗(yàn). 折紙活動(dòng)是與學(xué)生生活和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)密切聯(lián)系的一種操作活動(dòng)，很多學(xué)生都有過折紙的生活經(jīng)驗(yàn). “用A4紙折等腰三角形”是學(xué)完蘇科版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級上冊第 2章“軸對稱圖形”后設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)實(shí)踐課，目的是以折紙活動(dòng)為載體，引導(dǎo)學(xué)生在折A4紙等活動(dòng)中通過實(shí)踐操作，自主發(fā)現(xiàn)A4紙長、寬之間蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，讓他們經(jīng)歷操作、觀察、思考等活動(dòng)，以促進(jìn)學(xué)生理解所學(xué)的與等腰三角形相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí);借助現(xiàn)代信息技術(shù)，深入思考折紙操作的緣由，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力和創(chuàng)新能力，以及適應(yīng)未來社會(huì)發(fā)展的終身學(xué)習(xí)力.

教學(xué)流程與設(shè)計(jì)意圖

1. 情境創(chuàng)設(shè)，激發(fā)興趣

小明的周末作業(yè)中有這樣一道題：請用A4紙制作手抄報(bào)一份. 你能說一說它為什么叫A4紙嗎？

設(shè)計(jì)意圖? 通過學(xué)生熟悉的A4紙的名稱引入課題，能讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系. 讓學(xué)生帶著問題去學(xué)習(xí)，更能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性，從而激發(fā)他們的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī).

2. 折紙操作，知識(shí)再現(xiàn)

【活動(dòng)1：目測A4紙長、寬之比，并測量A4紙的長和寬】

師（展示A4紙）：你們知道這種紙的長、寬之比嗎？請用直尺測量一下你手中A4紙的長和寬的長度. 如圖1，你能計(jì)算出的值嗎？

生1：AD=29.5 cm，AB=21 cm，所以≈1.405.

生2：AD=29.7 cm，AB=21 cm，所以≈1.414.

設(shè)計(jì)意圖? 目測的值，不同的人有不同的答案，為證明自己答案的正確性，學(xué)生積極主動(dòng)地通過“量一量”來證明自己的“眼光”是準(zhǔn)確的. 學(xué)生測量后發(fā)現(xiàn)的值非常接近，期望用另一種方法來驗(yàn)證自己的發(fā)現(xiàn)，從而對折紙活動(dòng)充滿期待.

師：A4紙的尺寸，國際上的標(biāo)準(zhǔn)是長297 mm、寬210 mm. 你們通過測量發(fā)現(xiàn)≈1.414，這是一個(gè)非常接近的數(shù)，下面我們通過折紙來探究.

【活動(dòng)2：用折紙?zhí)骄緼4紙長、寬之比】

步驟1：如圖2，過點(diǎn)B 折一個(gè)正方形，使點(diǎn)A落在邊BC上.

師：你能發(fā)現(xiàn)哪些線段相等，哪些角相等？有沒有特殊的三角形？

生3：AB=AF=EF=BE，△ABF和△BEF 都是等腰直角三角形.

生4：∠ABF=∠AFB=45°，∠A=∠BEF=90°等.

設(shè)計(jì)意圖? 正確的折紙方法、等腰三角形的性質(zhì)與判定是本節(jié)課的知識(shí)生長點(diǎn). “步驟1”能讓更多學(xué)生熟悉折紙操作，能引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)正確的折疊方法. 特別地，折痕和對應(yīng)點(diǎn)要用筆描出，做到折過有痕，積累活動(dòng)實(shí)踐操作經(jīng)驗(yàn). 同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言描述所發(fā)現(xiàn)的特殊邊、角之間的關(guān)系，提升學(xué)生的觀察推理能力，從而為后續(xù)折疊特殊的等腰三角形搭好“腳手架”.

步驟2：在圖2的基礎(chǔ)上沿∠FBC的平分線BG折疊△BCG，如圖3，你們有何發(fā)現(xiàn)？

生5：折疊后，我發(fā)現(xiàn)BF和BC重合. 如圖4，可以得出BF=BC.

師：你們現(xiàn)在能求出的值了嗎？

生6：=. 因?yàn)椤鰽BF為等腰直角三角形，所以=. 又BF=BC，所以=.

師：將所折的紙展開，連接CF，設(shè)BG與EF交于點(diǎn)H，如圖5，你能找出哪些等腰三角形？

生7：△ABF、△BEF和△DFG都是等腰直角三角形.

生8：△BFC是等腰三角形，頂角為45°，一個(gè)底角為67.5°.

生9：△FGC和△FGH都是等腰三角形.

設(shè)計(jì)意圖? 學(xué)生通過折疊的方法發(fā)現(xiàn)A4紙的長、寬之比為 ∶ 1之后，教師引導(dǎo)他們繼續(xù)從邊、角出發(fā)，尋找等腰三角形. 上述教學(xué)過程通過發(fā)現(xiàn)等腰三角形并說明理由的活動(dòng)，進(jìn)一步豐富了學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

步驟3：我們把紙張展平，折疊，使AB與DC重合（如圖6，其中EF為折痕）. 觀察折疊后的圖形，你有何發(fā)現(xiàn)？

生10：我發(fā)現(xiàn)長方形ABEF和長方形DCEF重合，它們的面積都等于A4紙面積的一半.

師：與四邊形ABEF一樣大的紙張我們稱為A5紙. 你能求出圖7中的值嗎？

生11：因?yàn)锳B ∶ AD=1 ∶ ，所以AB=AD. 又AF=AD，所以AF∶AB=1 ∶ .

師：你能找出A4紙和A5紙之間的聯(lián)系和不同嗎？

生12：A4紙與A5紙的寬與長之比都為1 ∶ ，但A5紙的面積是A4紙的一半.

師：同學(xué)們學(xué)習(xí)中經(jīng)常用到的試卷、輔導(dǎo)書等所用紙張的標(biāo)準(zhǔn)是由國際標(biāo)準(zhǔn)化組織的ISO216定義的，主要有A0，A1，A2，A3，A4，A5等種類，每種紙張的長、寬的比值均為，它們還具備的特點(diǎn)是大一級的長是小一級紙的寬度的2倍，兩張小一級的紙張并排起來能拼成一張大一級的紙，比如兩張A5紙能拼成一張A4紙.

設(shè)計(jì)意圖? 了解打印紙的分類標(biāo)準(zhǔn)，并能利用長寬之間、面積之間的數(shù)量關(guān)系解決圖形問題;滲透從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.

【活動(dòng)3：小組合作，用手中的A4紙拼成A3，A2，A1，A0大小的紙】

師：我看到有的同學(xué)用A4紙拼A3紙的時(shí)候，拼成了如圖8的圖形. 大家認(rèn)為拼成的圖形是A3紙嗎？

生13：雖然它的面積是A4紙的2倍，但是這種圖形的長和寬之比為2 ∶ 1，所以它不是A3紙，與AD邊重合的那種才是A3紙.

設(shè)計(jì)意圖? 加深學(xué)生對打印紙類型的理解，目的是讓學(xué)生利用紙張的分類標(biāo)準(zhǔn)和所學(xué)知識(shí)正確識(shí)別紙張所屬類別.

3. 總結(jié)歸納，學(xué)以致用

師：請用如圖9的A4紙的一半折頂角為45°的等腰三角形.

生14：因?yàn)榈妊苯侨切蔚膬蓚€(gè)底角均為45°，所以如圖10，分別取線段AD，MN的中點(diǎn)E，F(xiàn)，以EG為折痕折疊DE，使點(diǎn)D落在MN上的點(diǎn)D′處，則DE=D′E=AM=EF. 于是∠ED′F=45°. 由AD∥MN，可得∠DEG=∠EGD′，由折疊可得∠DEG=∠D′EG，所以∠D′EG=∠D′GE. 所以D′E=D′G. 所以△D′EG是頂角為45°的等腰三角形.

生15：如圖11，將AM沿AG折疊，使點(diǎn)M落在AD上的點(diǎn)M′處，則∠GAM′=45°. 再將AG沿EG折疊，使點(diǎn)A落在GN上的點(diǎn)A′處，則△EA′G是頂角為45°的等腰三角形.

生16：我們小組參考之前A4紙的折疊，如圖12，把紙張沿兩邊中點(diǎn)構(gòu)成的線段EF折疊，得到兩張A6紙. 然后將AM沿MJ折疊，使點(diǎn)A落在MF上的點(diǎn)A′處，連接FJ，則△MJF是頂角為45°的等腰三角形.

生17：我們小組還有一個(gè)方法，如圖13，先將AM折疊到A′M的位置，再將MJ折疊至與MF重合，展開后便可以得到折痕MO和MP，且MO=MP，∠OMP=45°. 所以△MOP是頂角為45°的等腰三角形.

設(shè)計(jì)意圖? 引導(dǎo)學(xué)生小組合作，利用所學(xué)知識(shí)從不同的角度分析問題、解決問題，經(jīng)歷折疊、畫圖、證明等解決幾何問題的一般方法，體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自我效能感，培養(yǎng)學(xué)生的合作意識(shí)，提高學(xué)生的創(chuàng)新能力.

4. 課堂小結(jié)

師：這節(jié)課你有什么收獲？你還有哪些沒有解決的問題？

生18：我知道了A型打印紙的分類標(biāo)準(zhǔn)，我感覺數(shù)學(xué)與生活聯(lián)系得很密切，我很想知道A型打印紙最大的有多大.

生19：我學(xué)到了用折紙、畫圖等研究等腰三角形的方法. 我從同學(xué)們交流的過程中學(xué)到了很多不同的折疊方法，我認(rèn)為折紙不僅有趣，還是打開幾何問題的一把鑰匙.

生20：今天我們主要是利用折紙活動(dòng)學(xué)習(xí)等腰三角形的相關(guān)性質(zhì)，后繼是不是要學(xué)習(xí)等邊三角形？

師：本節(jié)課同學(xué)們的表現(xiàn)非常積極. 大家通過折紙操作、合作交流、自主思考等方式解決了與A4紙折疊有關(guān)的問題和等腰三角形的相關(guān)問題，課后我們要根據(jù)所學(xué)知識(shí)嘗試用A4紙的一半折等邊三角形.

設(shè)計(jì)意圖? 通過回顧、反思本節(jié)課所學(xué)的知識(shí)，能讓學(xué)生總結(jié)和歸納所學(xué)的間接經(jīng)驗(yàn)與直接經(jīng)驗(yàn)，完善知識(shí)體系，感悟數(shù)學(xué)思想，進(jìn)一步提升學(xué)生分析問題、解決問題的能力.

教后感悟

本節(jié)課以折紙系列活動(dòng)為主線，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了“量一量”“折一折”“想一想”“說一說”“試一試”等活動(dòng)，這些活動(dòng)能讓學(xué)生親身經(jīng)歷知識(shí)產(chǎn)生的過程，體驗(yàn)問題解決方法的多樣性，能豐富學(xué)生的基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn). 基于折紙活動(dòng)對數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重要作用，在教學(xué)中我們應(yīng)做好以下幾點(diǎn).

1. 折紙活動(dòng)要找準(zhǔn)切入點(diǎn)

良好的開端是成功的一半. 一個(gè)好的切入點(diǎn)，能讓學(xué)生積極參與操作、思考. 對于折紙活動(dòng)的切入點(diǎn)，我們要根據(jù)教材內(nèi)容和學(xué)生已有的知識(shí)水平來合理構(gòu)建，如本課中的“活動(dòng)1”通過讓學(xué)生目測A4紙長、寬之比來切入，學(xué)生在“說一說”中發(fā)現(xiàn)自己的目測結(jié)果和別人的結(jié)果不同，于是自然地就用“量一量”來證明自己的結(jié)論是正確的. 當(dāng)計(jì)算后發(fā)現(xiàn)“量一量”的結(jié)果接近時(shí)，對“活動(dòng)2”的“折一折”活動(dòng)就充滿了期待，于是積極地參與折紙活動(dòng).

2. 折紙活動(dòng)要找準(zhǔn)著力點(diǎn)

數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo). 數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)包括實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)和思維的經(jīng)驗(yàn). 在折紙活動(dòng)中，我們不僅要注重指導(dǎo)學(xué)生的操作，更要注重學(xué)生的數(shù)學(xué)表征能力和數(shù)學(xué)思想方法的滲透. 我們既要讓學(xué)生通過“看一看”“折一折”等活動(dòng)直觀觀察折痕所形成的邊角關(guān)系，又要引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言描述操作原理，闡述自己的發(fā)現(xiàn)，并能用圖形、文字、符號等對知識(shí)進(jìn)行表征. 如本課“活動(dòng)2”中的等腰三角形的三邊之比為1 ∶ 1 ∶ 的原因，折疊后折痕和邊長所形成的三角形是等腰三角形的判斷依據(jù)等，均是這個(gè)活動(dòng)的著力點(diǎn). 學(xué)生能夠類比折疊A4紙構(gòu)建等腰三角形，能把A4紙的一半轉(zhuǎn)變?yōu)锳6紙，遷移應(yīng)用新學(xué)的知識(shí)技能解決問題，對于這些，教師應(yīng)給予學(xué)生積極的評價(jià)和肯定，應(yīng)增強(qiáng)學(xué)生的自我效能感，提升他們的探索創(chuàng)新能力，從而提升他們的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).

3. 折紙活動(dòng)要找準(zhǔn)借力點(diǎn)

數(shù)學(xué)折紙活動(dòng)能讓學(xué)生在操作過程中體驗(yàn)圖形的變化，體悟圖形變化過程中點(diǎn)、線、面之間的對應(yīng)關(guān)系. 在折紙活動(dòng)中，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)這樣的困境——他們會(huì)忘記圖形原來的位置和數(shù)量關(guān)系，為了更好地幫助學(xué)生整體認(rèn)識(shí)變化前后圖形之間的關(guān)系，我們可以借助幾何畫板將變化前后的圖形呈現(xiàn)給學(xué)生，利用多媒體設(shè)備對操作過程進(jìn)行錄制，以動(dòng)畫或者視頻的形式予以展示. 折紙活動(dòng)中合理借助現(xiàn)代化設(shè)備進(jìn)行輔助教學(xué)，不僅有利于學(xué)生理解所學(xué)知識(shí)，而且對學(xué)生熟練掌握數(shù)學(xué)軟件和信息技術(shù)的應(yīng)用有極大的幫助，能進(jìn)一步提升學(xué)生適應(yīng)未來生活的學(xué)習(xí)能力和解決問題的能力.