陸建

摘? 要：在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，實(shí)施多元表征教學(xué)，有利于學(xué)生完善CPFS結(jié)構(gòu)，優(yōu)化概念認(rèn)知，促進(jìn)概念的理解融通. 橢圓概念的表征形式有模型表征、操作表征、方程表征、軌跡表征等. 運(yùn)用多元表征教學(xué)時(shí)要注意兩點(diǎn)：增加結(jié)點(diǎn)，豐富連線;合理取舍，把握時(shí)機(jī).

關(guān)鍵詞：多元表征;CPFS結(jié)構(gòu);橢圓

南京師范大學(xué)喻平教授提出了CPFS結(jié)構(gòu)理論，其中個(gè)體CPFS結(jié)構(gòu)是指學(xué)生頭腦中的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中特有的認(rèn)知結(jié)構(gòu). 它由下列四個(gè)概念組成：概念域（Concept field），指學(xué)生在學(xué)習(xí)一個(gè)概念時(shí)頭腦中形成了一組等價(jià)定義;概念系（Concept system），指學(xué)生在學(xué)習(xí)新概念時(shí)頭腦中形成了一組相關(guān)概念及相互之間的關(guān)系;命題域（Proposition field），指學(xué)生在學(xué)習(xí)命題后頭腦中形成了一組命題;命題系（Proposition system），指學(xué)生頭腦中貯存了一組命題，以及相互存在的推理關(guān)系.“CPFS”即概念、命題、域、系四個(gè)單詞的首字母縮寫. 相關(guān)研究指出，CPFS結(jié)構(gòu)對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解、學(xué)習(xí)、遷移、探究問題、解決問題等能力都會(huì)產(chǎn)生直接的正面影響. 因此，CPFS結(jié)構(gòu)理論對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)具有很好的指導(dǎo)意義，它要求教師努力完善學(xué)生的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，幫助他們形成完備的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

多元表征是指對(duì)一個(gè)信息加工對(duì)象，通過心原碼的建構(gòu)過程，對(duì)信息進(jìn)行編碼并形成多種轉(zhuǎn)譯，從而形成對(duì)信息的多元化表征形式. 學(xué)生能用不同的形式表征數(shù)學(xué)概念，實(shí)現(xiàn)多元表征的融合轉(zhuǎn)化，形成相對(duì)完善、精致的概念網(wǎng)絡(luò)是對(duì)數(shù)學(xué)概念理解融通的標(biāo)志. 有研究表明，個(gè)體形成的CPFS結(jié)構(gòu)與問題表征有密切聯(lián)系，具備優(yōu)良CPFS結(jié)構(gòu)的學(xué)生更能合理、正確地表征問題，進(jìn)而有效地解決問題. 可見，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，完善學(xué)生CPFS結(jié)構(gòu)，有利于實(shí)施多元表征教學(xué)，優(yōu)化概念認(rèn)知，促進(jìn)概念的理解融通. 下面以“橢圓”概念教學(xué)為例，談?wù)勥@方面的思考，敬請(qǐng)批評(píng)指正.

一、“橢圓”概念的多元表征

1. 模型表征：追尋原始形態(tài)，感受幾何魅力

數(shù)學(xué)概念是從大量數(shù)學(xué)現(xiàn)象甚至現(xiàn)實(shí)事物中比較、概括、抽象得到的，大多數(shù)概念都有一段厚重的歷史，往往是經(jīng)過數(shù)學(xué)家艱辛探索、反復(fù)求證、逐步完善得到的. 而在現(xiàn)實(shí)教學(xué)中，教師常常忽略概念的形成過程，直接教授學(xué)生現(xiàn)成的結(jié)論，學(xué)生無法體會(huì)到概念背后發(fā)現(xiàn)的曲折、探索的艱辛、思維的跌宕. 正如荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾所說，沒有一種數(shù)學(xué)思想是以它們被發(fā)現(xiàn)時(shí)的樣子公開發(fā)表出來，一個(gè)問題被解決后，相應(yīng)地發(fā)展為一種形式化技巧，結(jié)果把求解丟一邊，使得火熱的發(fā)現(xiàn)變成了冰冷的美麗. 數(shù)學(xué)概念教學(xué)應(yīng)追尋概念產(chǎn)生背后的思考，挖掘數(shù)學(xué)家當(dāng)年的思維軌跡，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)家當(dāng)初的困惑，重走數(shù)學(xué)概念發(fā)現(xiàn)之路，激起學(xué)生的認(rèn)知沖突和探索興趣，使數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生自然而然、水到渠成. 筆者從以下幾個(gè)問題切入，引導(dǎo)學(xué)生理解橢圓的概念.

問題1：用一個(gè)既不與圓錐的軸平行、垂直，又不與母線平行的平面截圓錐面，所得到的截線具有什么幾何特征呢？

若用一個(gè)垂直于圓錐的軸的平面去截圓錐面，所得截線是一個(gè)圓，此時(shí)若在截面的上方、下方各放一個(gè)球，兩球與圓錐面及截面均相切，則兩個(gè)球與截面的切點(diǎn)均與截面圓心重合，截線上任一點(diǎn)到切點(diǎn)的距離為定值（截面圓的半徑）. 由此聯(lián)想到問題1，如圖1所示，若改變截面的位置，使截面既不與圓錐的軸平行、垂直，又不與母線平行，那么截線上的點(diǎn)滿足什么幾何性質(zhì)呢？設(shè)點(diǎn)[M]為截線上任一點(diǎn)，由于此時(shí)切點(diǎn)由1個(gè)變?yōu)?個(gè)（點(diǎn)[F1]和點(diǎn)[F2]），類比前面的思考，自然想到需探究[MF1]與[MF2]的關(guān)系，抑或它們具有什么不變的性質(zhì).

1822年，比利時(shí)數(shù)學(xué)家旦德林構(gòu)建了雙球模型，該方法利用純幾何知識(shí)，構(gòu)建了橢圓的概念，構(gòu)思精巧、論證嚴(yán)謹(jǐn)，滲透了數(shù)學(xué)之美，充分彰顯了幾何知識(shí)的魅力. 教師充分利用模型表征，追尋數(shù)學(xué)家探究的歷史軌跡，描繪橢圓概念發(fā)現(xiàn)的原始形態(tài)，在數(shù)學(xué)家的“廢紙簍”里找回火熱的思考，發(fā)展了學(xué)生的直觀想象和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，滲透了數(shù)學(xué)文化教育.

2. 操作表征：積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，彰顯概念內(nèi)涵

建構(gòu)主義認(rèn)為，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)并非一個(gè)被動(dòng)的接受過程，而是一個(gè)建立在學(xué)生已有知識(shí)結(jié)構(gòu)和經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上的主動(dòng)建構(gòu)過程. 按照這種觀點(diǎn)，最好的學(xué)習(xí)方法就是“做數(shù)學(xué)”. 正如弗賴登塔爾所說，數(shù)學(xué)是人的一種活動(dòng)，如同游泳一樣，要在游泳中學(xué)會(huì)游泳. 我們必須在“做數(shù)學(xué)”中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué). 沒有經(jīng)過比較分析、抽象概括、演繹歸納等深刻思維活動(dòng)得到的概念是空洞的、標(biāo)簽式的，是沒有靈魂的符號(hào). 因此，在概念教學(xué)中，教師要以活動(dòng)為載體，讓學(xué)生在“做數(shù)學(xué)”中，經(jīng)歷深度的思維，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，從而把握數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵.

問題2：給你一根定長的細(xì)繩，兩枚圖釘，一支鉛筆，能畫出橢圓嗎？

將細(xì)繩的兩端分別利用圖釘固定在點(diǎn)[F1，F(xiàn)2]，用鉛筆尖將繩子拉緊，使筆尖在畫板上慢慢移動(dòng)，觀察筆尖的移動(dòng)（即動(dòng)點(diǎn)的變化），其數(shù)學(xué)特征是筆尖的每一個(gè)位置到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和不變，都等于細(xì)繩的長度，顯然畫出的圖形是一個(gè)橢圓.

問題3：準(zhǔn)備一張圓形紙片，在圓內(nèi)任取不同于圓心O的點(diǎn)[F]，將紙片折起，使圓周過點(diǎn)[F]，如圖2所示. 然后將紙片展開，就得到一條折痕[l]. 這樣繼續(xù)折下去，得到若干折痕，觀察這些折痕圍成的圖形的輪廓，它們形成了什么曲線？

學(xué)生形成了橢圓的概念后，并不代表學(xué)生真正理解了概念，還需要從不同的角度進(jìn)行抽象概括，以固化概念本質(zhì)屬性，深化學(xué)生對(duì)概念的理解. 教師通過“畫”“折”這兩個(gè)活動(dòng)，形成操作表征，讓學(xué)生在“做數(shù)學(xué)”中感悟橢圓的定義，雖然我們?cè)诓僮鬟^程中花了很多時(shí)間，但學(xué)生積累了更多活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，豐富了認(rèn)知結(jié)構(gòu)，概念域也逐步趨于完善，發(fā)展了直觀想象、邏輯推理素養(yǎng).

3. 方程表征：構(gòu)建數(shù)量關(guān)系，揭示本質(zhì)特征

解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)方法研究幾何問題，坐標(biāo)系的建立，使得點(diǎn)可以用坐標(biāo)表示，曲線可以用方程刻畫，進(jìn)而使得通過代數(shù)方法研究曲線成為可能. 建立橢圓的概念后，僅從形的方面我們尚不能全面地認(rèn)識(shí)、理解它，還需要從數(shù)的方面探索橢圓的代數(shù)表示，使得數(shù)與形完美結(jié)合，從而使形的研究能夠插上數(shù)的翅膀. 正如法國數(shù)學(xué)家拉格朗日所指出的，代數(shù)同幾何分道揚(yáng)鑣，它們的進(jìn)展就緩慢，它們的應(yīng)用就狹窄，但是當(dāng)兩門科學(xué)結(jié)成伴侶時(shí)，它們就能相互吸收新鮮的活力，從那以后，就以快速的步伐走向完善.于是接下來要探究的自然是：圍繞橢圓的幾何條件，挖掘橢圓上動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)滿足的數(shù)量規(guī)律，建立橢圓的方程，進(jìn)而發(fā)揮代數(shù)的力量，借助方程研究橢圓的幾何性質(zhì).

問題4： 如何建立橢圓的方程？（推導(dǎo)過程略.）

這里，我們用數(shù)量關(guān)系與符號(hào)語言準(zhǔn)確、簡潔地表征了橢圓的概念和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，建立了橢圓的幾何特征與數(shù)量關(guān)系之間的有機(jī)聯(lián)系. 橢圓的概念從幾何特征上反映了橢圓的本質(zhì)屬性，而橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程則從數(shù)量關(guān)系上抽象出橢圓的本質(zhì)規(guī)律. 運(yùn)用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以幫助學(xué)生從不同視角理解橢圓的概念，完善其概念域，解釋和驗(yàn)證不同情境中橢圓不同呈現(xiàn)形式的同一性.

問題5與問題6都是從橢圓的方程表征入手，進(jìn)行等價(jià)變形，從距離與斜率出發(fā)，由數(shù)到形認(rèn)識(shí)橢圓的幾何特征. 通過橢圓的方程表征建立統(tǒng)一結(jié)構(gòu)，打通多種幾何刻畫之間的相互聯(lián)系，把橢圓的相關(guān)性質(zhì)予以統(tǒng)一，既抽象了橢圓的本質(zhì)屬性，又豐富了橢圓的CPFS結(jié)構(gòu).

4. 軌跡表征：注重知識(shí)關(guān)聯(lián)，完善概念體系

世界是聯(lián)系的，聯(lián)系是有規(guī)律的，站在聯(lián)系的角度認(rèn)識(shí)事物，有利于把握事物的本質(zhì)與規(guī)律. 由于數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)系緊密、邏輯嚴(yán)謹(jǐn)、結(jié)構(gòu)緊湊，因此數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要突出知識(shí)之間的相互關(guān)聯(lián)，在聯(lián)系中理解知識(shí)的整體性和邏輯性，從而認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)，形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu). 學(xué)習(xí)、理解橢圓的概念，要基于聯(lián)系的視角，立足圓錐曲線整章學(xué)習(xí)，做到“瞻前顧后”，絕不能單打獨(dú)斗、孤立片面. 接下來，要進(jìn)一步探索橢圓的多種表征方式，以豐富概念域，完善概念系.

此處，我們?nèi)匀皇菑倪\(yùn)動(dòng)變化的角度探究橢圓與雙曲線的聯(lián)系，展現(xiàn)了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美與和諧美. 其實(shí)，橢圓可以由雙曲線生成，雙曲線也可以由橢圓類似地生成，它們是互為“伴隨曲線”的. 全新的視角、多元的表征，帶給學(xué)生一個(gè)“不一樣”的、超凡脫俗的橢圓，至此對(duì)橢圓的理解透徹深刻，完善的CPFS結(jié)構(gòu)悄然生成.

二、兩點(diǎn)思考

1. 增加結(jié)點(diǎn)，豐富連線

CPFS結(jié)構(gòu)理論啟示我們，數(shù)學(xué)概念教學(xué)的重要目標(biāo)是形成和完善學(xué)生的概念域、概念系及相關(guān)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò). 在CPFS結(jié)構(gòu)中，數(shù)學(xué)概念等知識(shí)點(diǎn)處于結(jié)點(diǎn)的位置，而結(jié)點(diǎn)之間的連線常包含著重要的數(shù)學(xué)思想方法，由此形成的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)是知識(shí)與方法的復(fù)合體. 結(jié)點(diǎn)和連線越多，任意兩個(gè)結(jié)點(diǎn)之間的通路也就越多，網(wǎng)絡(luò)也就越有效、越強(qiáng)大. 因此，形成和完善概念域和概念系的基本途徑是增加概念結(jié)點(diǎn)的數(shù)量，豐富概念之間的方法連線.

橢圓概念的多元表征，提供了認(rèn)識(shí)橢圓的不同視角，使得圍繞橢圓的知識(shí)結(jié)點(diǎn)充足有效，而多種表征形式之間的相互溝通、融合、轉(zhuǎn)化，使結(jié)點(diǎn)之間的聯(lián)系更加緊密. 在表征轉(zhuǎn)換過程中，運(yùn)用了定義法、直接法、轉(zhuǎn)移法、參數(shù)法、交軌法等求動(dòng)點(diǎn)軌跡的基本方法，滲透了運(yùn)動(dòng)變化、選參消參、對(duì)立統(tǒng)一等數(shù)學(xué)思想，極大地豐富了知識(shí)結(jié)點(diǎn)之間的連線，有利于形成多元聯(lián)系、結(jié)構(gòu)緊密的CPFS結(jié)構(gòu)，有利于發(fā)展學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng).

2. 合理取舍，把握時(shí)機(jī)

盡管橢圓的概念有多種表征，但并非越多越好，由于學(xué)生在一節(jié)課中所能接受的內(nèi)容是有限的，故不可能把所有的表征形式全教給學(xué)生，事實(shí)上，過多的表征信息可能會(huì)造成學(xué)生理解上的困難和混亂，反而得不償失. 因此，教師要根據(jù)教情和學(xué)情，合理選擇表征形式，同時(shí)要把握好各種表征形式出現(xiàn)的時(shí)機(jī). 模型表征是滲透數(shù)學(xué)文化、優(yōu)化直觀想象素養(yǎng)的好素材，但圖形復(fù)雜且過于抽象，因此教學(xué)中要做好鋪墊，使探究自然、過渡順暢、避免突兀. 同時(shí)，要發(fā)揮多媒體的作用，盡量減輕學(xué)生認(rèn)知上的負(fù)擔(dān). 對(duì)于操作表征，“畫橢圓”可以借助幾何畫板軟件來完成，“折紙片”可以讓學(xué)生課后實(shí)踐操作，體驗(yàn)感悟. 三種形式的方程表征是教學(xué)的重點(diǎn)，要認(rèn)真探究，要突出代數(shù)式的變形，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，引導(dǎo)學(xué)生挖掘代數(shù)式的幾何背景，深刻體會(huì)方程是曲線的“代數(shù)表示”. 對(duì)于軌跡表征，要結(jié)合具體的例題、習(xí)題，循環(huán)往復(fù)、螺旋上升，在不同的學(xué)習(xí)階段分散講解，讓學(xué)生在問題解決中體會(huì)橢圓的本質(zhì)屬性. 在高三復(fù)習(xí)階段，可以圍繞橢圓概念的表征，專門設(shè)計(jì)微專題復(fù)習(xí)，力求見微知著，幫助學(xué)生系統(tǒng)地總結(jié)歸納，使學(xué)生對(duì)橢圓的認(rèn)知由分散、不完整的印象上升到集中、完整的理解，形成更加牢固的、關(guān)于概念對(duì)象和結(jié)構(gòu)的陳述性知識(shí)，再通過橢圓概念在解決相關(guān)問題中的反復(fù)應(yīng)用，鞏固程序性知識(shí)，最后逐步完善概念域和概念系，形成結(jié)構(gòu)優(yōu)良，易于提取、遷移的CPFS結(jié)構(gòu).

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