王雅婧 王琳

【摘 要】本文討論了兩類反常積分的多種求解方法，旨在幫助學生熟悉、掌握計算積分中用到的換元積分法和分部積分法，從而提高學生的解題能力。

【關鍵詞】反常積分;一題多解;換元積分法;分部積分法

【中圖分類號】G642? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2021）22-0001-03

一元函數(shù)積分學是高等數(shù)學[1]和數(shù)學分析[2]課程中的重要組成部分。反常積分是一元函數(shù)積分的一種類型，反常積分包含無窮積分和瑕積分。無窮積分是積分區(qū)間無限的反常積分;瑕積分是被積函數(shù)帶有瑕點的反常積分，是無界函數(shù)的反常積分。對于反常積分，可借助牛頓-萊布尼茨公式求解，也可以通過換元積分法和分部積分法求解。本文先簡單地介紹反常積分的概念，接著分別從無窮積分和瑕積分的題目入手，給出多種不同的解法，從而拓展學生的解題思路，希望能給予學生一定的

啟發(fā)。

1? ?反常積分的概念

反常積分的概念可以通過定積分的概念深入理解。定積分存在有兩個必要條件：一是積分區(qū)間有限，二是被積函數(shù)有界。若破壞了積分區(qū)間的有限性，即積分區(qū)間是無限區(qū)間，就引出了無窮限的反常積分，簡稱無窮積分;若破壞了被積函數(shù)的有界性，即被積函數(shù)在積分區(qū)間的某點無界，就引出了無界函數(shù)的反常積分，簡稱瑕積分。下面給出兩類反常積分的具體定義。

無窮積分的定義：設函數(shù) f（x）在區(qū)間[a，+∞）上連續(xù)，任取t>a，若極限存在，則稱此極限為函數(shù) f（x）在無窮區(qū)間[a，+∞）上的反常積分，記作，

此時稱反常積分收斂;否則，稱為發(fā)散。

瑕積分的定義：設函數(shù) f（x）在區(qū)間[a，b）上連續(xù)，

點b為 f（x）的瑕點（即 f（x）在點b的任一鄰域內(nèi)無界），任取t

2? ?無窮積分舉例

例1：計算積分。

分析：此積分為無窮積分，下面筆者用不同的方法來計算此積分。

方法一：湊微分法

。

由此看出，此積分是收斂的，并且積分的值為。

湊微分法是換元積分法的一種，是計算積分最基本也是應用最廣泛的方法。此方法的關鍵在于如何適當?shù)貙⒈环e表達式湊成易得出原函數(shù)的形式的微分，以更簡便地計算。所以，想要熟練地掌握湊微分法，必須掌握不同函數(shù)的微分公式。

方法二：根式代換

令=t，則dx=2tdt，且當x=1時，t=1;x→+∞時，t→+∞。

。

面對被積函數(shù)含有一次根式的積分，直接對一次根式進行變量代換是非常有效的方法。通過變量代換后得到的積分，直接用積分公式即可得到結(jié)果。

方法三：三角函數(shù)代換

令x=tan2 t，則dx=2tan tsec2tdt，且當x=1時，

t=;x→+∞時t=。

。

根據(jù)被積函數(shù)的形式對要計算的積分進行適當?shù)娜呛瘮?shù)代換，把無窮積分轉(zhuǎn)換成了定積分，并且大大地簡化了積分的計算過程。

方法四：倒代換

令x=，則，且當x=1時，t=1;x→+∞時，x→0+。

。

被積函數(shù)分母的最高次冪高于分子的最高次冪時，倒代換也是非常有用的計算方法。對此積分進行倒代換后，把原來的無窮積分轉(zhuǎn)換成了被積函數(shù)完全相同的瑕積分。雖沒有簡化積分的計算，但這說明位于曲線 y=之下，x軸之上以及x ≥1的圖形的面積位于曲線 y=之下，x軸之上，x=0以及x=1之間的圖形的面積是相等的。

方法四的計算過程比其他方法要復雜一些，不過在計算過程中，能夠進一步加深對無窮積分和瑕積分的幾何意義的理解。

3? ?瑕積分舉例

例2：計算積分。

分析：被積函數(shù)在區(qū)間[0，2）上連續(xù)，但。點x=2是 f（x）的瑕點，此積分為瑕積分。接下來筆者用不同的方法來計算此積分。

方法一：分母代換

令x=2?u，則dx=?du，且當x=0時，u=2;x→2時，u→0。

=π。

由此看出，此積分是收斂的，并且積分的值為π。

此方法的巧妙之處在于作變量代換后，再把兩式加起來除以2得到一個較簡單的根式函數(shù)的積分，通過配方可直接利用積分公式計算。

方法二：分母根式代換

令，則dx=?2tdt，且當x=0時，;x→2時，t=0。

=π。

對部分根式作變量代換是換元法中常用的方法。通過這次變量代換后，直接把瑕積分轉(zhuǎn)換成了熟悉的定積分，根據(jù)積分公式可得結(jié)果。另外，對于這種含有二次根式的定積分，可用三角代換來進行計算。

對于積分

令t=sin u，則dt=cos udu，當t=0時，u=0;t=時u=。

。

方法三：分子根式代換

令=t，則dx=2tdt當x=0時，t=0;x→2時，t=。

=π。

方法三用的方法與方法二類似，都是部分根式代換。需關注變量代換后得到的被積函數(shù)的特點，通過對分子加一項減一項，從而得出兩個容易計算的積分。這種對分子加項減項來達到簡化計算的方法也是計算積分時常用的方法。

方法四：三角函數(shù)代換

令x=2sin2 t，則dx=4sin tcos tdt，且當x=0時，t=0;x→2時，t=。

=π。

通過三角函數(shù)代換來計算此積分，能夠在很大程度上簡化積分的計算過程。此外，通過變量代換得到的關于三角函數(shù)的定積分，除了用三角函數(shù)的降冪以及湊微分法來計算，也可用定積分公式直接得到結(jié)果。

方法五：整體根式代換

令，則dx=，且當x=0時，t=0;x→2時t→+∞。

=2π?π=π。

其中，令=π。

對于含有一次函數(shù)的整體根式，作變量代換進行計算是求此類積分非常有效的方法。作變量代換后將此積分轉(zhuǎn)換為被積函數(shù)有有理函數(shù)的無窮積分，從而利用求有理函數(shù)的積分理論進行計算。相對而言，此方法計算過程要復雜一些，需作兩次變量代換。

方法六：換元法與分部積分法相結(jié)合

令，則x=，當x=0時，t=0;x→2時t→+∞。

==π。

此方法是在作與方法五相同的變量代換后，將所求積分化成udv的形式，直接利用分部積分法來計算。在此過程中同樣用到了對分子加一項減一項的方式，從而簡化了微分dv的形式，這樣能使接下來的計算更簡便。對于有的積分而言，多種方法結(jié)合使用也會有良好的

效果。

總之，求反常積分的關鍵與定積分相同，要利用換元積分法和分部積分法來進行計算。與定積分不同的是，在換元函數(shù)單調(diào)的假定下，如果換元后依然是反常積分，在代入上下限時需要求極限。若極限存在，則反常積分收斂，并稱此極限是反常積分的值。在求積分時，可能有多種解法，有的題多種方法結(jié)合使用會便于計算。因此，要想熟練地掌握不同的方法，必須多加練習，拓展解題思路，掌握解題技巧，從而達到良好的學習效果。

【參考文獻】

[1]同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學（上冊）[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析（上冊）[M].北京：高等教育出版社，2010.

【作者簡介】

王雅婧（1986～），女，山西忻州人，碩士，講師。研究方向：應用數(shù)學。