李文娟

摘要 ：數(shù)值最大問(wèn)題不僅是高中數(shù)學(xué)教育的重點(diǎn)，也是大學(xué)入學(xué)考試中出現(xiàn)頻率較高的重要考試點(diǎn)之一，但在其實(shí)際授課中，面臨著授課時(shí)間少、類型多、知識(shí)難、方法繁雜等問(wèn)題。許多高中生對(duì)最有價(jià)值的問(wèn)題類型缺乏全面認(rèn)識(shí)，無(wú)法靈活地使用該方法解決問(wèn)題。本文通過(guò)高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題中最值問(wèn)題的解題步驟、與圓有關(guān)最值問(wèn)題、與二次函數(shù)有關(guān)最值問(wèn)題、不等式中最值問(wèn)題、與幾何模型有關(guān)最值問(wèn)題、與概率統(tǒng)計(jì)有關(guān)最值問(wèn)題等方面進(jìn)行探析高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題中的最值問(wèn)題。

關(guān)鍵詞 ：高中數(shù)學(xué);應(yīng)用題;最值問(wèn)題

中圖分類號(hào)：G633.6;G434? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2021）16-069

研究表明，在實(shí)際的教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生對(duì)高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題中的最值解析興趣缺乏、得分點(diǎn)掌握不明、應(yīng)用題解法存在誤區(qū);此時(shí)，教師應(yīng)在課堂教學(xué)中予以重點(diǎn)指導(dǎo)，注重啟發(fā)與探究雙管齊下，發(fā)揮教師課堂導(dǎo)學(xué)者的功能，以學(xué)生為主體，傳授知識(shí)的同時(shí)也要讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)文化，將思想滲透到教學(xué)中去，發(fā)散思維，研究多種解題思路，有效地提升學(xué)習(xí)成績(jī)。本文將從高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題中最值問(wèn)題的解題步驟、與圓有關(guān)最值問(wèn)題、與二次函數(shù)有關(guān)最值問(wèn)題、不等式中最值問(wèn)題、與幾何模型有關(guān)最值問(wèn)題、與概率統(tǒng)計(jì)有關(guān)最值問(wèn)題等方面來(lái)探析高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題中的最值問(wèn)題。

一、高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題中最值問(wèn)題的解題步驟

1.審題

審題是高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題中最值問(wèn)題解題步驟的第一步。審題是解決最值問(wèn)題的開(kāi)端也是必要的關(guān)鍵點(diǎn)。高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題的題目大多都很復(fù)雜，文字內(nèi)容較多，高中學(xué)生在解題時(shí)一定要認(rèn)真審題，不要讀錯(cuò)題目的含義，要明確題目中的已知條件、已知結(jié)論以及所有數(shù)字之間的聯(lián)系。教師在平時(shí)可以通過(guò)一些方法來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的審題能力，例如“引導(dǎo)高中學(xué)生多進(jìn)行課外閱讀，提高學(xué)生的閱讀能力和對(duì)文字信息的敏感程度”“在平時(shí)的高中數(shù)學(xué)的教學(xué)中，帶領(lǐng)學(xué)生熟悉了解數(shù)學(xué)模型，如一次函數(shù)模型、指數(shù)函數(shù)模型以及三角函數(shù)模型等”等，通過(guò)這些方法都能夠提高學(xué)生的審題能力，讓學(xué)生在做題時(shí)能夠更加輕松和快捷。

2.構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

構(gòu)建數(shù)學(xué)模型是高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題中最值問(wèn)題解題步驟的第二步。構(gòu)建數(shù)學(xué)模型可以更直觀地將數(shù)學(xué)問(wèn)題中的文字題目轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，讓學(xué)生能夠看到更加明顯和直觀。對(duì)數(shù)學(xué)模型的正確構(gòu)建與否很大程度地影響了解決數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題的順利程度和成功與否，對(duì)中數(shù)學(xué)應(yīng)用題中的最值問(wèn)題來(lái)說(shuō)是至關(guān)重要的。數(shù)學(xué)模型包含有概念、公式、符號(hào)以及方法等，是一種可以很好的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。在解決高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題中最值問(wèn)題時(shí)，可以先找到所有數(shù)字之間的聯(lián)系，觀察這些聯(lián)系和哪一個(gè)數(shù)學(xué)模型貼合，從而準(zhǔn)確地進(jìn)行數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建。

3.求解

求解是高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題中的最值問(wèn)題解題步驟的第三步。在進(jìn)行了對(duì)數(shù)學(xué)模型的成功構(gòu)建之后，需要對(duì)問(wèn)題進(jìn)行求解，從而順利地解決這個(gè)應(yīng)用問(wèn)題。在進(jìn)行求解時(shí)，要重視理解數(shù)學(xué)模型中的各個(gè)數(shù)字的具體含義，從而選擇最合適實(shí)用的解題過(guò)程。教師在平時(shí)的教學(xué)中要重視培養(yǎng)高中學(xué)生的變化和轉(zhuǎn)換代數(shù)式的能力，做到更靈活地運(yùn)用自身的變形推理，更加成功地解決高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題中的最值問(wèn)題。

4.還原

還原是高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題中的最值問(wèn)題解題步驟的第四步。通過(guò)審題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、求解之后會(huì)得到一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論，通過(guò)對(duì)這個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論進(jìn)行還原，可以得到解決現(xiàn)實(shí)生活中實(shí)際問(wèn)題的方法和結(jié)論，真正地達(dá)到運(yùn)用高中數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決生活問(wèn)題的目的，提高高中數(shù)學(xué)的生活化，將高中數(shù)學(xué)知識(shí)融入生活。

二、與圓有關(guān)最值問(wèn)題的探析

在教授與圓有關(guān)的最值問(wèn)題時(shí)，教師往往面臨知識(shí)困難，方法復(fù)雜，種類多，等問(wèn)題。首先，教師應(yīng)制定符合學(xué)習(xí)的指導(dǎo)案例，培養(yǎng)學(xué)生的主動(dòng)學(xué)習(xí)意識(shí)。學(xué)生可以提前復(fù)習(xí)既往知識(shí)。通過(guò)為問(wèn)題設(shè)置各種方式，可以引導(dǎo)學(xué)生自主探索相關(guān)問(wèn)題的概念、解法等。然后，教師應(yīng)正確設(shè)置教學(xué)時(shí)數(shù)分布和對(duì)接所對(duì)應(yīng)的定向案例。教師對(duì)這些方法進(jìn)行分析總結(jié)，逐步進(jìn)行設(shè)計(jì)和組織教學(xué)，這樣更有利于學(xué)生的理解。例如，人教版高中必修中《與圓有關(guān)的最值問(wèn)題》教學(xué)中，形如μ=（y-b）/（x-a）型的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化過(guò)定點(diǎn)（a，b）的動(dòng)直線斜率的最值問(wèn)題求解。典型例題如下：

已知實(shí)數(shù)x、y滿足方程x2+y2-4x+1=0，求y/x的最大值。在這種最值題型之后中，教師首先應(yīng)提出啟發(fā)性問(wèn)題提問(wèn)，“原方程可以轉(zhuǎn)化為我們熟悉的哪種形式？”在教師的啟發(fā)之下，學(xué)生會(huì)進(jìn)入已有知識(shí)的思索，在思索過(guò)程中建立自己的知識(shí)建構(gòu)。

學(xué)生1：“原方程可化為（x-2）2+y2=3，y/x也就是我們?cè)?jīng)學(xué)過(guò)的圓上的動(dòng)直線的斜率，因此，y/x就是求（2，0）為圓心， 3 為半徑的圓的斜率問(wèn)題。”這樣的啟發(fā)性問(wèn)題之下，原題就從抽象的方程式轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的圓的斜率的問(wèn)題。

三、與二次函數(shù)有關(guān)最值問(wèn)題的探析

21世紀(jì)正處在互聯(lián)網(wǎng)迅速發(fā)展的信息時(shí)代，網(wǎng)絡(luò)在線平臺(tái)和多媒體技術(shù)的新型教育模式被運(yùn)用到中學(xué)數(shù)學(xué)課堂之上，個(gè)性化的學(xué)習(xí)環(huán)境為學(xué)生提供自主學(xué)習(xí)和小組學(xué)習(xí)的時(shí)間和機(jī)會(huì)，適時(shí)因材施教，引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，課堂表現(xiàn)非常好。例如，人教版高一數(shù)學(xué)中《二次函數(shù)的基本性質(zhì)》最值問(wèn)題的教學(xué)中，二次函數(shù)是高中學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)，重難點(diǎn)是：了解并會(huì)處理二次函數(shù)含參數(shù)的最值問(wèn)題。因此，教師可采取分組討論結(jié)合信息化設(shè)備進(jìn)行數(shù)形結(jié)合的演示來(lái)闡釋解題思路。例如，一已知函數(shù)y=-x2-2x+3且x∈[0，2]，求函數(shù)的最值？教師可先令學(xué)生分組討論，然后由數(shù)學(xué)課代表組織觀看網(wǎng)絡(luò)教學(xué)視頻，分小組討論，先進(jìn)行小組內(nèi)討論，進(jìn)而進(jìn)行組間談?wù)?，由課代表并將重難點(diǎn)反饋給教師，教師根據(jù)問(wèn)題在課堂上予以解決。并以小組為單位畫出函數(shù)的坐標(biāo)圖，然后在多媒體上展示正確的圖示。解析如下：y=-x2-2x+3=-（x-1）2+4，因?yàn)閤∈[0，2]，繪圖如圖一所示：則ymax=f（0）=3，ymin=f（2）=-5。在求最值時(shí)，也可以看所給區(qū)間與對(duì)稱軸的距離遠(yuǎn)近。開(kāi)口向上的二次函數(shù)，離對(duì)稱軸越近，函數(shù)值越小;開(kāi)口向下的二次函數(shù)，離對(duì)稱軸越近，函數(shù)值越大。

在課堂上配置預(yù)習(xí)方案，分小組完成預(yù)習(xí)內(nèi)容，通過(guò)討論解決了大部分的計(jì)算問(wèn)題，在課堂上通過(guò)學(xué)生展示教師發(fā)現(xiàn)預(yù)習(xí)中存在的問(wèn)題，在課堂上及時(shí)糾正，學(xué)生理解本節(jié)課堂的重點(diǎn)難點(diǎn)也變得容易多了。

四、不等式中最值問(wèn)題的探析

有關(guān)于證明不等式的對(duì)稱型或者輪換型不等式的最值問(wèn)題，常見(jiàn)于選擇填空中，在實(shí)際的教學(xué)之中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)此類問(wèn)題的第一反應(yīng)是直接套用已有解題經(jīng)驗(yàn)，這是解題中的一大誤區(qū)，這樣的誤區(qū)要及時(shí)地在課堂之中進(jìn)行解決，要讓學(xué)生養(yǎng)成認(rèn)真審題，而不是在解題中“投機(jī)取巧”。例如，在使用不等式的問(wèn)題“如果實(shí)數(shù)x和y滿足x2+y2+xy=1時(shí)找到x+y的最大值”中，獲得最大值的條件是內(nèi)部元素相等。在不對(duì)稱不等式中，出現(xiàn)了ma=nb的情況，其中a，b是不等式的元素，m，n是系數(shù)，尤其是在對(duì)稱旋轉(zhuǎn)不等式中，值相等的條件是兩個(gè)元素相同，但不是絕對(duì)的。特別是在有限的條件下，當(dāng)?shù)仁揭粋?cè)的常數(shù)與不等式的最大值不同時(shí)，可能無(wú)法獲得最大值。在上一個(gè)問(wèn)題中，其中的x和y可以旋轉(zhuǎn)，并且可以通過(guò)設(shè)置x=y以獲得x+y的最大值來(lái)獲得x+y的最大值。

五、與幾何模型有關(guān)最值問(wèn)題的探析

與幾何模型有關(guān)的最值問(wèn)題一般都是光的折射、橋梁設(shè)計(jì)以及人造衛(wèi)星等，這種類型的問(wèn)題一般都是通過(guò)先建立直角坐標(biāo)系，再解決實(shí)際問(wèn)題的程序來(lái)解決，既需要利用關(guān)于面積、體積以及空間問(wèn)題等的數(shù)學(xué)知識(shí)，也需要利用關(guān)于三角函數(shù)的知識(shí)結(jié)合起來(lái)進(jìn)行解決。

例如，人造衛(wèi)星A與地球地面的電視信號(hào)B的傳播方式是直線形式，其中電視信號(hào)能夠達(dá)到的地球區(qū)域被叫做衛(wèi)星覆蓋區(qū)域。衛(wèi)星A距離地球表面約36 000千米，地球的半徑為6400千米，在衛(wèi)星覆蓋區(qū)域之中取任意兩個(gè)點(diǎn)，求這兩個(gè)點(diǎn)之間的球面最大距離為多少？想要解決這個(gè)關(guān)于幾何模型的最值問(wèn)題，就需要先建立直角坐標(biāo)系，再使用關(guān)于面積、體積以及空間問(wèn)題等的數(shù)學(xué)知識(shí)和三角函數(shù)的知識(shí)結(jié)合起來(lái)解決問(wèn)題。

六、與概率統(tǒng)計(jì)有關(guān)最值問(wèn)題的探析

解決與概率統(tǒng)計(jì)有關(guān)的最值問(wèn)題時(shí)需要學(xué)生擁有關(guān)于隨機(jī)變量、概率、抽樣以及頻率分布的知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題，在進(jìn)行解題時(shí)，要認(rèn)真理解題目中給出的已知條件，結(jié)合自己掌握的幾何知識(shí)，選擇合理的解題方式。概率統(tǒng)計(jì)類的最值問(wèn)題，既具有十分復(fù)雜的特質(zhì)，也具有比較廣泛的覆蓋程度，但是其解題方式和普通應(yīng)用題的解題方式比較類似，在解題時(shí)要十分地認(rèn)真的審題和思考，避免出現(xiàn)錯(cuò)誤和紕漏。

例如，某農(nóng)戶對(duì)一塊田地的N個(gè)坑進(jìn)行播種，每一個(gè)坑播種三個(gè)種子，每個(gè)種子的發(fā)芽概率都為二分之一，并且每一個(gè)種子是否發(fā)芽都是相互獨(dú)立的。對(duì)每一個(gè)坑來(lái)說(shuō)，如果至少會(huì)有兩個(gè)種子發(fā)芽，則不需要進(jìn)行補(bǔ)充播種;反之，則需要進(jìn)行補(bǔ)充播種。試問(wèn)，當(dāng)播種多少時(shí)，有三個(gè)坑需要補(bǔ)充播種的概率才為最大？當(dāng)解決這個(gè)問(wèn)題時(shí)，要認(rèn)真審題，理解題目中給出的已知條件，找到數(shù)字之間的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)找到最合適的解題方法，從而能夠順利地解決這個(gè)問(wèn)題。

綜上所述，本文對(duì)高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題中最值問(wèn)題的解題步驟、與圓有關(guān)的最值、與二次函數(shù)有關(guān)的最值、不等式中的最值、與幾何模型有關(guān)的最值、與概率統(tǒng)計(jì)有關(guān)的最值等問(wèn)題進(jìn)行了探析，得出了一些有效的觀念。在高中最值問(wèn)題的教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)加強(qiáng)素質(zhì)教育理念，以全面發(fā)展教育為導(dǎo)向，為了更好地實(shí)施優(yōu)化課堂結(jié)構(gòu)的方案，應(yīng)把突出數(shù)學(xué)主線作為發(fā)展的前提，重視數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)知識(shí)的遷移。高中數(shù)學(xué)中的最值問(wèn)題通常都是以綜合題型出現(xiàn)的，這就對(duì)學(xué)生的解題能力提出了更高要求，也為教師的教學(xué)指明方向。在最值問(wèn)題的教學(xué)上要從教學(xué)的整體出發(fā)，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)解題全局觀，培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)思維和總結(jié)歸納能力。

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（作者單位：甘肅省天水市甘谷第一中學(xué)，甘肅 天水 741200）