蔣安娜 劉洋

摘要：數(shù)學(xué)教學(xué)可以基于知識(shí)關(guān)聯(lián)設(shè)計(jì)體現(xiàn)思維脈絡(luò)的問(wèn)題鏈，驅(qū)動(dòng)學(xué)生自主探究、有序思考，建立知識(shí)體系，學(xué)會(huì)思維方法。教學(xué)《分式》一課，基于分式與分?jǐn)?shù)及整式的關(guān)聯(lián)，設(shè)計(jì)體現(xiàn)類(lèi)比思想以及一類(lèi)代數(shù)對(duì)象研究基本路徑的問(wèn)題鏈。這樣的問(wèn)題鏈設(shè)計(jì)還體現(xiàn)了“關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，以更好地促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解”“立足感性經(jīng)驗(yàn)的積累，逐步建立抽象概念”的立意。

關(guān)鍵詞：《分式》;問(wèn)題鏈;知識(shí)關(guān)聯(lián);思維脈絡(luò);類(lèi)比

數(shù)學(xué)學(xué)科以邏輯嚴(yán)謹(jǐn)、結(jié)構(gòu)清晰等特點(diǎn)著稱(chēng)，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)對(duì)象之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)反映了數(shù)學(xué)學(xué)科的基本思維方法——從喻平教授提出的CPFS結(jié)構(gòu)理論的角度看，就是網(wǎng)絡(luò)中知識(shí)點(diǎn)之間的“連線集”是一個(gè)“方法系統(tǒng)”。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)可以基于知識(shí)關(guān)聯(lián)設(shè)計(jì)體現(xiàn)思維脈絡(luò)的問(wèn)題鏈（序列），驅(qū)動(dòng)學(xué)生自主探究、有序思考，建立知識(shí)體系，學(xué)會(huì)思維方法。教學(xué)浙教版初中數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)《分式》一課時(shí)，筆者便嘗試運(yùn)用了這一思路。

一、教學(xué)內(nèi)容分析

從算術(shù)到代數(shù)，從數(shù)及其運(yùn)算到式及其運(yùn)算，研究對(duì)象更具有一般性了，但其本質(zhì)并沒(méi)有變，因此，兩者之間有很多相同和相似之處。就像分?jǐn)?shù)是整數(shù)基礎(chǔ)上數(shù)系的一次擴(kuò)充，因不夠分（除不盡）而產(chǎn)生一樣，分式是整式基礎(chǔ)上代數(shù)式的一次擴(kuò)充，也因無(wú)法整除而產(chǎn)生?！邦?lèi)比思維是指，在A、B兩個(gè)或兩類(lèi)對(duì)象之間存在某種相同或相似的屬性或特征，由已知的A及其相關(guān)的屬性推出未知的B需要研究的問(wèn)題以及可能具有的屬性?！币虼耍覀兛梢曰诜质脚c分?jǐn)?shù)及整式的關(guān)聯(lián)，設(shè)計(jì)體現(xiàn)類(lèi)比思想以及一類(lèi)代數(shù)對(duì)象研究基本路徑的問(wèn)題鏈，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)。

二、問(wèn)題鏈設(shè)計(jì)

問(wèn)題1過(guò)去我們學(xué)過(guò)整式概念以及整式運(yùn)算等知識(shí)，你能寫(xiě)出一些整式，然后用整式運(yùn)算編一些題嗎？同桌之間把編好的題交換著做，比一比誰(shuí)對(duì)得多。

這是一個(gè)起點(diǎn)性問(wèn)題，目的在于利用已知的整式引出分式的形式，體現(xiàn)了對(duì)分?jǐn)?shù)產(chǎn)生過(guò)程的類(lèi)比。讓學(xué)生自己舉出整式的例子，編題給同桌做并與同桌比賽，能較好地激發(fā)他們的學(xué)習(xí)熱情，使他們快速地投入學(xué)習(xí)。這中間肯定會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)整式除不盡的情況，便會(huì)引起學(xué)生的認(rèn)知沖突，甚至有些學(xué)生還會(huì)抱怨同桌編了一道無(wú)法除盡的題，這就為引出分式的形式提供了契機(jī)。具體來(lái)說(shuō)，當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩個(gè)整式除不盡時(shí)，教師可以先將這樣的式子全都抄寫(xiě)在黑板上，如實(shí)際教學(xué)中給出了b÷a、7÷p、（2x-3）÷4x、x÷（2y-1）等式子，再引導(dǎo)學(xué)生回憶之前的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，這便自然地產(chǎn)生了問(wèn)題2（含問(wèn)題21和問(wèn)題22）。

問(wèn)題2在過(guò)去的學(xué)習(xí)中是否也碰到過(guò)除不盡的情況？是怎么處理的？

問(wèn)題21在數(shù)的除法的學(xué)習(xí)中是否也出現(xiàn)過(guò)除不盡的情況？能舉例說(shuō)一說(shuō)嗎？

問(wèn)題22為了解決這種除不盡的問(wèn)題，是如何處理的？

問(wèn)題2的主要目的在于激活學(xué)生已有的分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，從而為通過(guò)類(lèi)比引入分式概念提供思路與方法。問(wèn)題21和問(wèn)題22是問(wèn)題2的輔助問(wèn)題（子問(wèn)題），提供了一些分步的、具體的提示。具體地，學(xué)生在小學(xué)學(xué)習(xí)自然數(shù)的除法時(shí)，面臨過(guò)兩個(gè)自然數(shù)除不盡的情況，其中一種處理方法就是引入分?jǐn)?shù)概念。這最終導(dǎo)致了數(shù)系的進(jìn)一步擴(kuò)充。而進(jìn)一步的事實(shí)是，為了追求運(yùn)算的完備性，數(shù)學(xué)中經(jīng)常會(huì)拓展數(shù)系。學(xué)生通過(guò)回憶上述學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，能自然地聯(lián)想到，面對(duì)整式除不盡的情況，也可以進(jìn)一步拓展“代數(shù)式”的概念。

問(wèn)題3根據(jù)問(wèn)題2激活的經(jīng)驗(yàn)，你會(huì)如何處理問(wèn)題1解決過(guò)程中出現(xiàn)的除不盡的情況？能試一試嗎？

問(wèn)題3試圖讓學(xué)生將通過(guò)引入新數(shù)解決自然數(shù)除不盡問(wèn)題的方法遷移到整式除不盡的情況中，并仿造分?jǐn)?shù)的表示方法表示整式除不盡的結(jié)果，如ba、7p、2x-34x、x2y-1等。在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生琢磨“自然數(shù)除不盡后引入分?jǐn)?shù)”這句話，說(shuō)出“整式除不盡后引入分式”，使得“分式”這一數(shù)學(xué)“名字”自然產(chǎn)生。

問(wèn)題4結(jié)合黑板上的例子，這些被我們稱(chēng)為“分式”的代數(shù)式有什么共同的特點(diǎn)？

問(wèn)題4的目的是引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合例子，進(jìn)一步歸納“分式”的本質(zhì)屬性，從而由對(duì)“名字+例子”的理解進(jìn)一步上升到對(duì)內(nèi)涵的把握。

問(wèn)題5下列代數(shù)式中，哪些是整式，哪些是分式？觀察這些式子，你認(rèn)為分式和整式最主要的區(qū)別是什么？32、b-32a+1、m（n+p）7、45b+c、m7、x2-xy+y22x-1、3π。

問(wèn)題5的目的既是對(duì)分式概念的鞏固與應(yīng)用，也是通過(guò)比較、辨別使得分式概念與整式概念得到更精細(xì)的區(qū)分。這對(duì)學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)的形成是極為必要的。

問(wèn)題6 既然分式與分?jǐn)?shù)有著一定的相似性，那么，分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)主要包括了哪些內(nèi)容？你覺(jué)得分式的學(xué)習(xí)應(yīng)該包括哪些內(nèi)容呢？

問(wèn)題6的目的在于為分式學(xué)習(xí)建立一個(gè)基本框架，一方面使后續(xù)的學(xué)習(xí)目標(biāo)更為明確，另一方面也是為后面的學(xué)習(xí)提供思維方法的啟發(fā)。面對(duì)這一問(wèn)題，學(xué)生會(huì)提出如分?jǐn)?shù)中分母的限制、分?jǐn)?shù)大小的比較、分?jǐn)?shù)的運(yùn)算等內(nèi)容，并認(rèn)為這些方面也是分式學(xué)習(xí)的內(nèi)容。當(dāng)然，有些內(nèi)容并不需要在本節(jié)課研究，由此可以提出問(wèn)題7—問(wèn)題9，引導(dǎo)學(xué)生研究。

問(wèn)題7分式中分母上的字母有怎樣的限制？請(qǐng)結(jié)合之前的例子說(shuō)一說(shuō)。

問(wèn)題8分式1-x4x-8、3x-9x-2什么時(shí)候有意義？什么時(shí)候等于0？

問(wèn)題9若當(dāng)x=2時(shí)，分式x-ax+b沒(méi)有意義，你能獲得什么結(jié)論？

問(wèn)題7—問(wèn)題9通過(guò)與分?jǐn)?shù)概念的比較，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)分式概念中伴隨著用字母表示數(shù)而來(lái)的新問(wèn)題，從而自然引出分式有無(wú)意義、分式什么時(shí)候值為零的相關(guān)知識(shí)，給學(xué)生提供了縱向深化的視角，讓學(xué)生提升對(duì)分式概念的理解。而問(wèn)題8和問(wèn)題9也注意有機(jī)地植入對(duì)學(xué)生理解分式概念的評(píng)價(jià)，體現(xiàn)問(wèn)題鏈教學(xué)“評(píng)價(jià)的伴隨性”特點(diǎn)。

問(wèn)題10這節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？是如何得到這些內(nèi)容的？你覺(jué)得我們還將學(xué)習(xí)分式的什么知識(shí)？

問(wèn)題10除了引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課的核心內(nèi)容之外，還重視對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象探究過(guò)程以及方法的回顧，試圖為學(xué)生建立探索問(wèn)題的框架與脈絡(luò)。具體地，希望學(xué)生類(lèi)比整式學(xué)習(xí)所涉及的方面，為分式的學(xué)習(xí)建立一個(gè)整體性的框架與脈絡(luò)，理解分式的學(xué)習(xí)要包括分式的概念、分式的性質(zhì)、分式的運(yùn)算等內(nèi)容。

三、進(jìn)一步的立意

上述基于知識(shí)關(guān)聯(lián)、體現(xiàn)思維脈絡(luò)的問(wèn)題鏈設(shè)計(jì)還體現(xiàn)出以下兩點(diǎn)立意：

一是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，問(wèn)題鏈的設(shè)計(jì)要關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，以更好地促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解。強(qiáng)調(diào)聯(lián)系學(xué)生的生活現(xiàn)實(shí)（相當(dāng)于弗賴(lài)登塔爾所說(shuō)的“橫向數(shù)學(xué)化”），是我國(guó)當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)改革的一個(gè)重點(diǎn)。但是，數(shù)學(xué)教學(xué)除了聯(lián)系學(xué)生的生活現(xiàn)實(shí)之外，還要聯(lián)系學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)（相當(dāng)于弗賴(lài)登塔爾所說(shuō)的“縱向數(shù)學(xué)化”）。雖然聯(lián)系學(xué)生的生活現(xiàn)實(shí)，有效地加強(qiáng)了數(shù)學(xué)的具體性和直觀性以及學(xué)習(xí)的體驗(yàn)性和趣味性，但是隨著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深入，知識(shí)的密集性和關(guān)聯(lián)性不斷加強(qiáng)，不斷積累的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)能給學(xué)生的“前概念”“前經(jīng)驗(yàn)”提供更大的發(fā)揮空間。因此，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要特別注意選擇從學(xué)生已有的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)出發(fā)，通過(guò)滲透類(lèi)比、歸納、演繹等數(shù)學(xué)思維方法，設(shè)計(jì)飽含“數(shù)學(xué)味”的問(wèn)題鏈。比如，雖然分式與整式一樣，也是表示現(xiàn)實(shí)情境中數(shù)量關(guān)系的常見(jiàn)數(shù)學(xué)模型，但是為了突出數(shù)學(xué)的知識(shí)結(jié)構(gòu)、思想方法，上述問(wèn)題鏈設(shè)計(jì)選擇從整式、分?jǐn)?shù)、除法運(yùn)算等學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)出發(fā)。

二是受初中學(xué)生認(rèn)知水平的限制，數(shù)學(xué)問(wèn)題鏈的設(shè)計(jì)要立足感性經(jīng)驗(yàn)的積累，逐步建立抽象概念。變式是數(shù)學(xué)問(wèn)題鏈設(shè)計(jì)的一種重要方式，即通過(guò)變換數(shù)學(xué)對(duì)象的非本質(zhì)特征來(lái)突出數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)特征。上述問(wèn)題鏈設(shè)計(jì)始終貫徹這一思想。比如，問(wèn)題1—問(wèn)題4的研究，讓學(xué)生先通過(guò)整式運(yùn)算的舉例得到分式的一些例子，再結(jié)合這些例子提煉出分式的內(nèi)涵。再如，問(wèn)題7—問(wèn)題9的研究，讓學(xué)生借助所舉的具體例子分析，深化對(duì)分式概念的理解，慢慢建立起感性經(jīng)驗(yàn)與抽象概念之間的聯(lián)系。

總之，數(shù)學(xué)問(wèn)題鏈就像一條紐帶，將數(shù)學(xué)知識(shí)體系中的關(guān)鍵要素和思想方法有序地連接起來(lái)，充分地體現(xiàn)出來(lái)。在具體設(shè)計(jì)時(shí)，需要注意數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)的分析與數(shù)學(xué)思維的滲透，并根據(jù)不同的教學(xué)功能呈現(xiàn)多樣的問(wèn)題鏈，從而促進(jìn)學(xué)生自然、深入地探究學(xué)習(xí)。

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