唐菊香
摘 要:本文主要以高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題思路多元化的方法分析為重點(diǎn)進(jìn)行闡述,結(jié)合當(dāng)下高中學(xué)生數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)現(xiàn)狀為依據(jù),首先分析高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題思路多元化概述,其次從函數(shù)解題思路多元化,形成發(fā)散思維、函數(shù)解題思路多元化,形成逆向思維、函數(shù)解題思路多元化,形成創(chuàng)新思維幾個方面深入說明并探討高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題思路多元化的有效方法,進(jìn)而凸顯多元化解題方法的重要性,提高高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)整體質(zhì)量,旨意在為相關(guān)研究提供參考資料.
關(guān)鍵詞:高中數(shù)學(xué);函數(shù)問題;解題思路;多元化
中圖分類號:G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A文章編號:1008-0333(2021)10-0044-02
新課改標(biāo)準(zhǔn)下,高中學(xué)生在學(xué)習(xí)期間逐步意識到函數(shù)解題的重要性,多元化解題思路成為影響學(xué)生學(xué)習(xí)效果的關(guān)鍵點(diǎn),關(guān)聯(lián)學(xué)生綜合能力的培養(yǎng).在多元化解題過程中,不只是可調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)主觀能動性,還可使得學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)得以發(fā)展,為學(xué)生全面成長奠定基礎(chǔ).如何帶領(lǐng)學(xué)生掌握函數(shù)解題多元化方法,拓展學(xué)生學(xué)習(xí)視野是至關(guān)重要的課題,為此筆者給出下列建議.
一、高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題思路多元化概述
在高中函數(shù)學(xué)習(xí)過程中,為了保障學(xué)生邏輯思路清晰化,學(xué)生要以客觀的視角出發(fā),在處理函數(shù)問題時,了解計(jì)算方法,可是不知道解決問題的真實(shí)含義.因此在訓(xùn)練解題思路過程中,要深層次探索解題問題的意義,多元化解題方法可實(shí)現(xiàn)這一個目標(biāo),調(diào)動學(xué)生創(chuàng)新思維,在問題解決期間掌握多元化處理問題的思路,提高學(xué)生解決問題效率,所以多元化解題方法的運(yùn)用是至關(guān)必要的.學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)之后,可初步了解函數(shù)代表變量y以及變量x之間的關(guān)系,高中階段涉及的函數(shù)知識比初中階段的函數(shù)知識更加繁瑣,重點(diǎn)是基于集合變量,計(jì)算對應(yīng)關(guān)系.解決問題時要分析函數(shù)相關(guān)概念,了解變量之間的關(guān)聯(lián),由此優(yōu)化現(xiàn)有的解題形式.在具體解決問題期間,沒有完全明確概念知識條件下就參與訓(xùn)練,取得的結(jié)果是不理想的,因此在日常學(xué)習(xí)與教學(xué)中,要全面掌握函數(shù)知識,以基礎(chǔ)知識為主探索解決問題的更多方法,加強(qiáng)學(xué)生對知識點(diǎn)理解與掌握,強(qiáng)化學(xué)生綜合能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)發(fā)展.
二、函數(shù)解題思路多元化,形成發(fā)散思維
在處理數(shù)學(xué)問題過程中,也就是分析數(shù)量問題,研究題目內(nèi)多個元素之間的關(guān)系與具體結(jié)構(gòu),挑選切合實(shí)際的處理問題方法.總體而言,學(xué)生參與訓(xùn)練為了獲取解決問題的思路,若局限在一個解決問題方式上,學(xué)生自身的思維會相對被動化,信息處理時間不足,對應(yīng)的思考空間也會相對封閉.可是因?yàn)槎喾N因素的影響,大多數(shù)情況下教材中的例子僅僅存在單一解決問題的方法,引出學(xué)生思維受到限制的結(jié)果,降低學(xué)生發(fā)散思維培養(yǎng)效果,降低知識網(wǎng)絡(luò)建立有效性.所以要適當(dāng)組織學(xué)生參與一題多解的學(xué)習(xí)活動,一方面保證學(xué)生對問題進(jìn)行優(yōu)化,另一方面延伸學(xué)生思維空間,找到思維發(fā)散的具體方向,保證學(xué)生更好的學(xué)習(xí)與思考.
例1 解決下列問題:若sin(π4-x)=513,且x∈[0,π4],計(jì)算cos2xcos(π4+x).
解法1 由于x∈[0,π4],所以(π4-x)∈[0,π4],那么cos(π4-x)=1213;sin(π4+x)=cos(π4-x)=1213,
cos(π4+x)=sin(π4-x)=513,即cos2x=cos[(π4+x)-(π4-x)]=120169,所以cos2xcos(π4+x)=2413.
解法2 由于cos2x=cos[π2-2(π4-x)]=sin[2(π4-x)]=2sin(π4-x)cos(π4-x).而cos(π4+x)=sin(π4-x)=513,因此cos2xcos(π4+x)=2cos(π4-x)=2413.
解法3 對cos2xcos(π4+x)進(jìn)行變形,cos2xcos(π4+x)=cos2x-sin2x22(cosx-sinx)=2(sinx+cosx)=2cos(π4-x)=2413.
例2 計(jì)算f(x)=x+1x(x>0)的值域.
解法1 對x+1x進(jìn)行拆解,即f(x)=x+1x=(x)2+(1x)2≥2x·1x=2,得到f(x)=x+1x(x>0)的值域是[2,+∞];
解法2 對x+1x進(jìn)行配方,在一定條件下對未知數(shù)進(jìn)行消除,得到最小值.
f(x)=x+1x=(x-1x)2+2,在x=1x時,f(x)最小值是2,所以f(x)=x+1x(x>0)的值域是[2,+∞].
由此,處理數(shù)學(xué)函數(shù)問題的方法是靈活且多樣的,技巧性比較強(qiáng),問題的分析成為處理問題的關(guān)鍵點(diǎn),熟練運(yùn)用解決問題方法是要點(diǎn),聯(lián)想計(jì)算問題答案是必要的手段,科學(xué)旋轉(zhuǎn)與公式變形都是促使學(xué)生思維發(fā)散運(yùn)作的媒介.所以要組織學(xué)生善于使用發(fā)散思維,找到思維定勢的突破點(diǎn),增強(qiáng)學(xué)生研究問題能力,長時間訓(xùn)練之后勢必會促使學(xué)生思維更為開放.
三、函數(shù)解題思路多元化,形成逆向思維
結(jié)合個體的思維方式差異,思維過程涉及的方向性包含正向思維以及逆向思維,兩者互相矛盾與沖突,可都是比較重要的思想.然而現(xiàn)階段高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容缺少逆向思維的滲透,在一定程度上影響學(xué)生逆向思維形成,要想通過正向思維對問題進(jìn)行處理會產(chǎn)生困難,所以要探索另外處理問題方式,明確逆向思維的使用思路,使得學(xué)生在有限時間內(nèi)通過逆向思維簡化問題.
例3 若Sn代表等比數(shù)列前n項(xiàng)和,已知S3、S9以及S6之間成等差數(shù)列,證明:b2、b8與b5也是等差數(shù)列.
(1)通過公式Sn=b1(1-qn)1-q,由于S3、S9以及S6之間成等差數(shù)列,因此S3+S6=2S9,(q≠1),所以b1(1-q3)1-q+b1(1-q6)1-q=2×b1(1-q9)1-q,即q3+q6=2q9(q≠1),繼而1+q3=2q6.有b2+b5=b1q+b1q4=2b1q7=2b8,那么b2、b8與b5是等差數(shù)列;
(2)借助公式S2n=Sn(1+qn),S3n=Sn(1+qn+q2n),所以S6=S3
+b4+b5+b6=S3(1+q3)、S9=S3(1+q3+q6),由于S3+S6=2S9,有S3+S3(1+q3)=2S3(1+q3+q6),那么q3=-12,即b2+b5=2b8,那么b2、b8與b5是等差數(shù).
基于此,對函數(shù)問題進(jìn)行多元化思考,改變以往的解決問題順序,引進(jìn)逆向思維模式,更加透徹的分析問題和解決問題,樹立學(xué)生學(xué)習(xí)信心,調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)積極性,在學(xué)生得到良好學(xué)習(xí)體驗(yàn)同時強(qiáng)化學(xué)生逆向思維發(fā)展.
四、函數(shù)解題思路多元化,形成創(chuàng)新思維
一題多解,即解題思路多元化,能夠改變一組命題的結(jié)論,關(guān)聯(lián)著解決問題的方法,師生對命題與命題的形式加以分析,增強(qiáng)解決問題的綜合水平,活躍學(xué)生大腦思維,不斷調(diào)動學(xué)生創(chuàng)新力,在解題思路多元化操作之下,幫助學(xué)生形成創(chuàng)新思維.
例4 計(jì)算不等式:3<|2x-3|<5.
解法1 對不等式進(jìn)行變形:3<|2x-3|<5可替換3<|2x-3|并且|2x-3|<5,所以3<x<4或者-1<x<0,即答案是{x|3<x<4或-1<x<0};
解法2 按照絕對值基本定義,分類進(jìn)行討論:
(1)在2x-3≥0時,3<|2x-3|<5等價為3<2x-3<5,即3<x<4.
(2)在2x-3<0時,3<|2x-3|<5等價為-1<x<0,因此答案是{x|3<x<4或-1<x<0};
解法3 通過等價命題法,3<|2x-3|<5替換成3<2x-3<5或者-5<2x-3<-3,得到{x|3<x<4或-1<x<0};
解法4 結(jié)合絕對值集合定義,把3<|2x-3|<5轉(zhuǎn)變?yōu)?2<|x-32|<52.所以幾何意義是點(diǎn)x與32的距離是32與52之間,那么答案是{x|3<x<4或-1<x<0}.
基于此,適當(dāng)引進(jìn)思維創(chuàng)新方法, 從多個角度上思考和處理問題,體現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的靈活多變性,啟迪學(xué)生思維,使得學(xué)生思維得以創(chuàng)新與發(fā)展,強(qiáng)化高中學(xué)生學(xué)習(xí)效率.
綜上所述,高中數(shù)學(xué)教材中,函數(shù)知識是比較重要的,存在邏輯性與多變性,師生應(yīng)該立足于函數(shù)問題的本質(zhì),從函數(shù)概念出發(fā),充分挖掘解決函數(shù)問題的多元化方法與思路,在發(fā)散思維、逆向思維與創(chuàng)新思維培養(yǎng)之下,不斷提高學(xué)生解決問題的速度,豐富學(xué)生數(shù)學(xué)知識面,加深學(xué)生對知識點(diǎn)印象和感知,由此確保高中數(shù)學(xué)課程高效率進(jìn)行.
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