葛宏偉
摘 要:立體幾何是高中數(shù)學試題中非常重要的一個考查方面.它對學生的數(shù)學基礎(chǔ)知識、空間想象能力以及運算能力提出了很高的要求.學生在解題過程中需要發(fā)揮想象能力和探究能力,通過分析的方式把握知識規(guī)律,理清知識間的關(guān)系,明確考查本質(zhì),快速答題.
關(guān)鍵詞:高中數(shù)學;立體幾何;解題方法
中圖分類號:G632文獻標識碼:A文章編號:1008-0333(2021)10-0038-02
立體幾何知識需要學生從多角度考慮,對學生各方面的能力提出了很高的要求.教師在教學中要對學生進行“授之以漁”的教育,從方法上引導學生,促進學生積極思考.教師要引導學生在夯實基本功的基礎(chǔ)上探究解題方法,總結(jié)解題規(guī)律,深化認識.只有學生具有了較好的基礎(chǔ)知識和敏銳的洞察力,通過認真揣摩和分析的方式才能夠明確各個數(shù)量之間的關(guān)系,構(gòu)建出空間圖形.通過想象和探究的方式來確定立體空間觀念,構(gòu)建出空間模型,探究解題思路.一、射影法
在立體幾何中線面角和二面角都是非常重要的概念,對于學生解決立體幾何問題非常關(guān)鍵.例如如圖,P-ABCD是四棱錐,△PAD是等腰直角三角形,AD是它的斜邊,其中BC∥AD,CD⊥AD,PC=AD=2DC=2CB,E為PD的中點.
(1)證明:CE∥平面PAB;
(2)求直線CE與平面PBC所成角的正弦值.
在分析問題是,學生首先要明確題目中的已知信息,通過認真閱讀的方式明確題目中給出的條件,分析它們彼此之間的關(guān)系,形成對試題的簡單理解.思考中,學生可以設F為PA中點,連接EF,F(xiàn)B,證明CE∥平面PAB.在求解第二問時,教師可以指導學生采用射影的方式來思考和探究,通過射影來探究各種數(shù)量關(guān)系,通過邏輯思考的方式來尋找解題思路.解題中,學生可以分別取BC,AD的中點M,N.為了方便解題,學生在思考中可以連接PN交EF于點Q,連接MQ.推理中學生會發(fā)現(xiàn)Q為EF的中點.在接下來的思考和探究中,學生會看到平行四邊形BCEF中中MQ∥CE,又因為△PAD是等腰直角三角形,可以得到PN⊥AD.由DC⊥AD,BC∥AD,BC=12AD,在認識到AD⊥平面PBN后,學生可以得到平面PBC⊥平面PBN.再一次做輔助線,過點Q作PB的垂線,H為垂足,連接MH.根據(jù)射影知識可以看到MH是MQ在平面PBC上的射影,所以∠QMH是直線CE與平面PBC所成的角.
設CD=1.在△PCD中可以計算出CE=2,在Rt△PBC中,由BC=1,PC=2得PB=3.根據(jù)直角三角形的相關(guān)知識可以計算出MQ=2,所以sin∠QMH=28.
二、最值法
最值法是解決立體幾何的一種常見方法,通常用于解決最大值與最小值方面的問題.例如如圖所示的三視圖,正視圖中的三角形邊長為2,側(cè)視圖的半圓半徑為1,求內(nèi)接三棱錐的體積的最大值是().
A.36B.33
C.433
D.3π3
通過對題目中的信息的閱讀,學生會看到這是求最值的問題.當看到求最值問題時,學生會從三視圖中的已知信息看到,這是半個圓錐,在進一步的思考和探究中,學生會從已知信息中了解圓錐的母線長,底面半徑,并且可以結(jié)合這些信息計算出圓錐的高為3.在探究三棱錐的最大體積時,學生會考慮到三棱錐的底面是斜邊為半圓直徑,高為半圓半徑的等腰直角三角形,高為半圓錐的高時,這個時候三棱錐的體積最大.通過體積公式可以計算出V=16×2×1×3=33,所以最大體積為33.
三、輔助線法
通過恰當應用輔助線可以把看似毫無關(guān)系的空間數(shù)量聯(lián)系起來,在輔助線的幫助下快速推理,準確遷移,實現(xiàn)對試題的解答.例如如圖,點N為正方形ABCD的中心,△ECD為正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是線段ED的中點,則().
A.BM=EN,且直線BM,EN是相交直線
B.BM≠EN,且直線BM,EN是相交直線
C.BM=EN,且直線BM,EN是異面直線
D.BM≠EN,且直線BM,EN是異面直線
思考中,學生會做出輔助線,呈現(xiàn)如圖2所示的圖形.通過推理和邏輯分析,可以證明∴EF⊥平面ABCD.
∴EF⊥FN.不妨設AB=2,則FN=1,EF=3,
∴EN=FN2+EF2=2.
∵EM=MD,DG=GF,∴MG∥EF且MG=12EF,
∴MG⊥平面ABCD,∴MG⊥BG.∵MG=12EF=32,BG=
CG2+BC2=(32)2+22=52.
之后可以計算出BM的值為7,進而證明BM,EN是△DBE的中線.有了這些科學認識和推理過程,學生會認識到在幾何體中BM,EN必相交,所以B正確.
四、空間向量法
空間向量法是解決立體幾何的一種常見方法.例如如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長相等,E,F(xiàn),G分別為AB,AA1,A1C1的中點,則B1F與平面GEF所成角的正弦值是多少?探究問題過程中,學生可以通過向量法來思考.這是高中立體幾何試題常用的一種解題策略,通過對試題的分析,學生會建立直角坐標系,在坐標系中進行數(shù)據(jù)的聯(lián)系,把握各個變量的關(guān)系,形成科學性認識.在解題時,如圖所示建立坐標系.通過對各個變量的值進行分析可以得出B1(0,3,2),F(xiàn)(1,0,1),E(12,32,0),G(0,0,2),B1F=(1,-3,-1),EF=(12,-32,1),GF=(1,0,-1).
為了解答問題,可以設平面的法向量為n=(x,y,z),則EF·n=0,GF·n=0,
即12x-32y+z=0,x-z=0,
取x=1,則z=1,y=3,
運用所學過的數(shù)學知識進行計算和解答,學生會計算出n=(1,3,1),結(jié)合三角函數(shù)知識,學生進行推理和計算會得到B1F與平面GEF所成角的正弦值為
35.學生把題目中已知的數(shù)據(jù)放到坐標系中,通過坐標來建立聯(lián)系,大大提高了解題效率,有利于學生形成解題思路.
總之,“授之以魚”不如“授之以漁”,學生掌握了不同的解題方法和解題策略,會形成對知識的清楚認識.學生主動探究會習得解題方法和策略,帶著對知識的理性理解來思考和分析.教師科學地指導學生,鼓勵學生在大腦中建構(gòu)圖形的立體框架和結(jié)構(gòu),把握各個數(shù)量關(guān)系,會促進學生更好地理解知識,提高解題能力.
參考文獻:
[1]李季.探討高中數(shù)學立體幾何解題技巧[J].數(shù)學學習與研究,2018(21):131.
[2]馬吉良.淺談高中數(shù)學中的立體幾何解題技巧[J].考試周刊,2018(43):81.
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