黃世貴 劉賢虎

摘 要 “分段計(jì)費(fèi)”一課教學(xué)設(shè)計(jì)通過問題串引導(dǎo)學(xué)生自主探究、協(xié)同學(xué)習(xí)，以知識結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)思想方法為主線，教學(xué)結(jié)構(gòu)變“教師講授為主”為“教、學(xué)、做”合一與多元交互。學(xué)生在結(jié)構(gòu)化的探究中形成結(jié)構(gòu)化思維，從淺層學(xué)習(xí)走向深度學(xué)習(xí)，在學(xué)習(xí)中學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。

關(guān)鍵詞 分段計(jì)費(fèi) 問題串 結(jié)構(gòu)化 淺層深度

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》）中指出：“教師要引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、主動(dòng)探索、全體交流，使學(xué)生理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能，體會(huì)和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，獲得基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?！盵1]如何培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，可以先將每節(jié)課的核心問題與學(xué)習(xí)任務(wù)整合，分解成邏輯關(guān)聯(lián)、層層深入的問題串，一次性呈現(xiàn)，讓學(xué)生獨(dú)立思考，主動(dòng)探究，相互協(xié)同，交流反饋，進(jìn)而得出結(jié)論，形成較為深刻的認(rèn)識，實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)。下面以人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級上冊“分段計(jì)費(fèi)”為例，談?wù)劸唧w做法。

一、基于深度學(xué)習(xí)的教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)

1.讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、分析等數(shù)學(xué)活動(dòng)，自主探究分段計(jì)費(fèi)問題的數(shù)量關(guān)系，能運(yùn)用分段計(jì)算的方法正確解答這類實(shí)際問題，進(jìn)一步提升解決問題的能力。

2.在分段計(jì)費(fèi)問題的解決過程中，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考的意識，能從不同的角度分析和解決問題。

3.學(xué)生體會(huì)解決問題的一般方法，積累解決問題的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，初步感悟函數(shù)的思想。

教學(xué)重點(diǎn)：運(yùn)用分段計(jì)算的方法正確解決分段計(jì)費(fèi)的實(shí)際問題。

教學(xué)難點(diǎn)：探究分段計(jì)費(fèi)問題的數(shù)量關(guān)系，積累解決這類問題的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

二、教學(xué)過程

（一）問題引發(fā)，感知計(jì)費(fèi)規(guī)則

問題1：同學(xué)們，你們跟爸爸媽媽坐過出租車嗎？知道打車的費(fèi)用是如何計(jì)算的嗎？

預(yù)設(shè)：①根據(jù)打車的里程和乘車時(shí)長綜合計(jì)算出來的，路程越長，時(shí)間越久，所需要的費(fèi)用就越多。

②我還知道打出租車有起步價(jià)，比如3公里以內(nèi)11元;超過的部分再另外計(jì)費(fèi)。

問題2：我國某個(gè)城市的出租車計(jì)費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)：3千米以內(nèi)7元;超過3千米的部分，每千米加收1.5元（不足1千米，按1千米計(jì)算）。李叔叔有一次打出租車，下車時(shí)付了7元，那出租車的里程表顯示的千米數(shù)可能是多少呢？

問題3：如果里程表顯示行駛了4千米，李叔叔還是付7元嗎？

預(yù)設(shè)：不是7元，而是付8.5元，因?yàn)楦鶕?jù)計(jì)費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，前面的3千米收費(fèi)7元，后面的1千米屬于超過3千米的部分，要另外加收1.5元，所以是7加1.5等于8.5元。

問題4：原來要將4千米分成了3千米和1千米兩個(gè)部分，根據(jù)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)分段計(jì)費(fèi)再相加算出車費(fèi)。可見打車時(shí)計(jì)費(fèi)不是完全按千米數(shù)×單價(jià)來計(jì)算的，需要分段。那出租車到底是怎樣計(jì)費(fèi)的呢？這節(jié)課我們就一起來研究生活中的分段計(jì)費(fèi)問題。

設(shè)計(jì)意圖：教師從打車的生活情境入手，結(jié)合學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，初步感知分段收費(fèi)。接著以李叔叔付7元里程表可能顯示的千米數(shù)設(shè)疑，引發(fā)學(xué)生進(jìn)行猜測、分析。在整理信息、理解信息中，學(xué)生逐步明確打車計(jì)費(fèi)不是按照千米數(shù)×單價(jià)來計(jì)算，需要分段，而且每一段的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)不一樣，這為后面的深入研究打下基礎(chǔ)。

（二）問題探究，嘗試計(jì)費(fèi)方法

師：你們是想老師帶著大家一步一步的去研究這個(gè)問題，還是自己和同伴一起研究？我們該如何研究這個(gè)問題呢？

預(yù)設(shè)：①和同伴一起研究。我可以舉例子，比方說甲乘客坐了多少千米，要求需要付多少錢;乙乘客坐了多少千米，要求需要付多少錢等等。

②我們在解決了這一類問題之后再總結(jié)規(guī)律，看看這一類問題該怎么解決。

師：數(shù)學(xué)的許多規(guī)律、法則、方法等，都是通過例子來說明的。這里就有一個(gè)例子，請看學(xué)習(xí)單：

問題1.楊叔叔坐了6.3千米，他應(yīng)付多少錢？（想一想，算一算）

問題2.請你嘗試完成出租車價(jià)格表，除了用表格的形式表示收費(fèi)情況，你能用其它的方式表示出分段收費(fèi)嗎？ （填一填，畫一畫，說一說）

問題3.怎樣解決分段計(jì)費(fèi)的實(shí)際問題？（想一想，寫一寫，說一說）

師：下面請同學(xué)們先獨(dú)立思考，我們先解決第一個(gè)問題。如果遇到困難，可以向周圍的同學(xué)小聲請教;完成得比較快的同學(xué)，也可以主動(dòng)地幫助有困難的同學(xué)。

設(shè)計(jì)意圖：這一環(huán)節(jié)一次性呈現(xiàn)本節(jié)課主要研究的3個(gè)問題，從具體的數(shù)據(jù)計(jì)算，到制作價(jià)格表、畫線段圖等，再到分段計(jì)費(fèi)方法的總結(jié)概括，逐層深入，整體呈現(xiàn)。學(xué)生前面對分段有了一定的認(rèn)識，為完成這3個(gè)問題的探究打下良好的基礎(chǔ)。部分學(xué)生雖然對解決第3個(gè)問題有困難，但是積累了一定的思考，在啟發(fā)下，思維就會(huì)生長發(fā)芽。

（三）互動(dòng)建模，理解分段計(jì)費(fèi)

師：誰來說一說自己對第一個(gè)問題的想法？

預(yù)設(shè)：①前面的3千米是按7元來計(jì)費(fèi)的，所以我是這樣計(jì)算的，6.3減去3等于3.3千米，3.3千米要按4千米計(jì)費(fèi)，應(yīng)該是1.5乘4再加7等于13元。

②先把6.3千米看作7千米，將每千米按1.5元來計(jì)費(fèi)。那就是1.5乘7等于10.5元，前面的3千米只用了4.5元，根據(jù)計(jì)費(fèi)規(guī)則，前面的3千米是按7元來計(jì)費(fèi)的，這樣就少付了2.5元，所以最后的收費(fèi)應(yīng)該是10.5元加上少收的2.5元等于13元。

師：如果行駛里程是8.7千米，應(yīng)該怎樣進(jìn)行計(jì)算？為什么6.3千米、8.7千米都是用7元加上后面里程的費(fèi)用？

預(yù)設(shè)：因?yàn)榘凑帐召M(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，前面3千米一定是7元，這個(gè)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是固定的。只是后面里程不同，費(fèi)用也不相同。都是要把這兩部分相加。

學(xué)生接下來完成第二、三個(gè)問題。

師：下面一起來分享一下對第二個(gè)問題的想法。

預(yù)設(shè)：出示表格（表1）。前面的3千米都是計(jì)費(fèi)7元，到4千米時(shí)是8.5元，5千米時(shí)是10元，6千米時(shí)是11.5元，以此類推。

師：大家都非常善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，我們除了可以用列表法來表示出租車的計(jì)費(fèi)情況，還有別的方式嗎？

預(yù)設(shè)：我是用畫線段圖的方式來表示的，首先用一條長的線段表示出行的里程數(shù)，再將這條線段平均分成十份，每份表示1千米，然后從0至3千米都是7元，以后的每千米都寫上1.5元。（如圖1）

師：誰看懂了他的想法？下面的圖2和圖3哪一種統(tǒng)計(jì)圖表示更準(zhǔn)確？

預(yù)設(shè)：圖3表示更準(zhǔn)確，因?yàn)槊恳欢蔚馁M(fèi)用是一樣，不是一種直線上升的過程，應(yīng)該是一種階梯狀。

師：對于第三個(gè)問題，誰又有什么想法呢？

預(yù)設(shè)：①我覺得解決分段計(jì)費(fèi)這樣的實(shí)際問題，首先要理解它的計(jì)費(fèi)規(guī)則，然后要明確每一段是怎樣計(jì)費(fèi)的，最后再把兩段的費(fèi)用相加。

②我覺得最重要的是如何分段，要根據(jù)計(jì)費(fèi)規(guī)則來分段，比如問題1中的6.3千米看作7千米以后，要把7千米分成3千米和4千米的兩段，而不能分成2千米和5千米。

小結(jié)：在理解計(jì)費(fèi)規(guī)則的基礎(chǔ)上正確分段，后面一段要用“進(jìn)一法”保留整數(shù)來計(jì)算，這些是解決分段計(jì)費(fèi)問題的關(guān)鍵。

師：出租車為什么要分段計(jì)費(fèi)呢？

微課介紹：出租車收費(fèi)既有固定部分又含可變部分的方法，起步價(jià)是為了保證出租車司機(jī)的收益，接近大部分出租車的實(shí)際成本。按路程計(jì)算收費(fèi)，太短的路程對幾乎所有運(yùn)輸業(yè)來說成本都比較高。這種收費(fèi)結(jié)構(gòu)降低了出租車的里程費(fèi)，乘客無需為較長的行程支付高于實(shí)際成本的價(jià)格，對于較短行程，也能保證出租車運(yùn)行成本。

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生在匯報(bào)交流中思維不斷碰撞，逐步提升自己的理解和認(rèn)識。互動(dòng)建模分為三個(gè)層次，第一層次理解分段的含義，知道如何分段以及后面一段要先用進(jìn)一法取近似值，再乘單價(jià)。第二層次學(xué)會(huì)用表格來表示分段計(jì)費(fèi)的規(guī)律。第三層次嘗試用線段圖來表示、理解和解釋分段收費(fèi)。在多元表征的同時(shí)，學(xué)生找到不同表征之間的聯(lián)系，感受行駛里程與車費(fèi)的變化規(guī)律，初步體會(huì)函數(shù)思想，進(jìn)而概括出分段計(jì)費(fèi)的計(jì)算方法，促進(jìn)學(xué)生的理解和內(nèi)化。

（四）解決問題，應(yīng)用分段策略

問題1.編一編：某市自來水公司為鼓勵(lì)節(jié)約用水，采取按月分段計(jì)費(fèi)的方法收取水費(fèi)。12噸以內(nèi)的每噸2.5元;超過12噸的部分，每噸3.8元。

請你根據(jù)以上信息，補(bǔ)充一個(gè)條件后，提出一個(gè)數(shù)學(xué)問題并解答。

問題2.選一選：五（1）班35名師生照相合影。每人一張照片，一共需付（? ?）錢？ （一共需要35張照片。需要加印30張。）

（1）27.5+2.5 × 35

（2）30 × 2.5+27.5

（3）27.5+（35+5） × 2.5

問題3.比一比：王阿姨要把2.5千克的物品從東莞市寄往廣州市（同屬廣東省），她選擇哪家快遞費(fèi)用比較便宜？

①號快遞：省內(nèi)1千克以內(nèi)10元，每超過1千克加收2元;省外1千克以內(nèi)15元，每超出1千克加5元。（不足1千克按1千克計(jì)算）。

②號快遞：省內(nèi)1千克以內(nèi)9元，每超過1千克加收3元;省外1千克以內(nèi)12元，每超出1千克加8元。（不足1千克按1千克計(jì)算）。

師：在生活中，除了水費(fèi)、電費(fèi)、沖洗照片和快遞采用分段計(jì)費(fèi)以外，還有郵局寄信函，打固定電話、停車場收費(fèi)等等，很多時(shí)候也是采用分段計(jì)費(fèi)的，那它們又是如何計(jì)費(fèi)的呢？這個(gè)問題就留給同學(xué)們課后去調(diào)查解決，希望大家都有一雙敏銳的眼睛，用數(shù)學(xué)的眼光去觀察，用數(shù)學(xué)的思維去分析生活中的數(shù)學(xué)現(xiàn)象，做一個(gè)熱愛生活、善于運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的好孩子！

設(shè)計(jì)意圖：解決問題環(huán)節(jié)安排了三道題，第一題學(xué)生編題有兩種可能，一是直接用單價(jià)×數(shù)量計(jì)算，二是需要分段計(jì)算，讓學(xué)生在對比中感受一般計(jì)費(fèi)和分段計(jì)費(fèi)的不同和聯(lián)系。第二題是不同情境下的分段計(jì)費(fèi)，對“含5張照片”學(xué)生容易理解錯(cuò)誤。第三題是綜合運(yùn)用分段收費(fèi)解決問題。這些問題都需要學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)模型，學(xué)以致用。教師不是停留在評判對錯(cuò)上，而是充分讓學(xué)生去分析、思辨、創(chuàng)造，進(jìn)一步深化對分段收費(fèi)的理解和運(yùn)用，發(fā)展學(xué)生的思維。

三、總結(jié)反思

本節(jié)課較好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)“問題教學(xué)”的教學(xué)理念，它從教的設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)向?qū)W的設(shè)計(jì)，以知識結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)思想方法為主線，教學(xué)結(jié)構(gòu)變“教師講授為主”為“教、學(xué)、做”合一與多元交互。課堂文化則主張“支持和激勵(lì)的學(xué)習(xí)氛圍、獨(dú)立和協(xié)同的學(xué)習(xí)機(jī)制、結(jié)構(gòu)化和板塊化的教學(xué)”[2]。其教學(xué)核心指向以下兩點(diǎn)：

（一）由淺層轉(zhuǎn)向深度

對知識的理解是深度學(xué)習(xí)的開始，在此基礎(chǔ)上，學(xué)生才會(huì)整合相關(guān)知識去運(yùn)用、評價(jià)。本節(jié)課通過問題引領(lǐng)，促進(jìn)學(xué)生由淺層感知轉(zhuǎn)向深度學(xué)習(xí)。首先，創(chuàng)設(shè)問題情境“付7元猜測可能坐的里程數(shù)”，從而引發(fā)本節(jié)課的本原性問題“出租車的計(jì)費(fèi)為什么不是千米數(shù)×單價(jià)”，在喚起學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)的同時(shí)，激發(fā)學(xué)生探究的欲望。當(dāng)學(xué)習(xí)內(nèi)容和兒童的經(jīng)驗(yàn)建立聯(lián)系時(shí)，便于促進(jìn)兒童的理解，嘗試復(fù)雜問題解決。其次，由本原性問題分解成三個(gè)問題并以問題串呈現(xiàn)，這些學(xué)習(xí)任務(wù)具有挑戰(zhàn)性，不能依靠記憶和模仿簡單問答，學(xué)生必須要選擇深度學(xué)習(xí)的方式來分析、解決。同時(shí)三個(gè)問題后面都有提示要點(diǎn)，指引學(xué)生如何走向問題解決。

問題串的整體呈現(xiàn)和解決讓學(xué)生對整節(jié)課的學(xué)習(xí)有了整體的認(rèn)識，并且在研究的過程中，學(xué)生逐步總結(jié)出分段計(jì)費(fèi)問題的解決思路與策略，形成結(jié)構(gòu)化思維，提升深度學(xué)習(xí)能力。

（二）從學(xué)會(huì)走向會(huì)學(xué)

讓學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，就要把學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，意味著教師要從課堂的中心往后退。好的課堂應(yīng)該是講著講著教師不見了，學(xué)生成為了學(xué)習(xí)的主人[3]。教師只是在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候進(jìn)行點(diǎn)撥、指引，一是將模糊不清的認(rèn)識進(jìn)行辨析，變?yōu)榍逦?二是將對話的話題指向知識的本質(zhì)，走向深刻。讓學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，就是教師不能只關(guān)注怎么教，而是要圍繞學(xué)生的學(xué)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，關(guān)注學(xué)生有沒有學(xué)會(huì)、學(xué)會(huì)了什么、怎么學(xué)會(huì)[4]。同時(shí)，課堂的對話也應(yīng)摒棄一問一答的局面，而應(yīng)讓“生生對話”成為主旋律，讓語流在課堂流淌起來，這樣學(xué)生才能在自主、探究、思辨、協(xié)作中學(xué)習(xí)如何學(xué)習(xí)。

讓學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，就要讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題。本節(jié)課研究的主要三個(gè)問題呈現(xiàn)進(jìn)階的關(guān)系，學(xué)生在這種板塊化的探究中逐步形成結(jié)構(gòu)化的思維。從具體到理性認(rèn)識，從個(gè)例到普遍規(guī)律，整個(gè)探究的過程就是人類認(rèn)識世界的歷程和學(xué)習(xí)發(fā)現(xiàn)的一般方法，學(xué)生經(jīng)常經(jīng)歷這樣的學(xué)習(xí)過程，在問題解決的同時(shí)，掌握有效的學(xué)習(xí)策略。

授人以魚不如授人以漁，借助復(fù)雜問題解決，學(xué)會(huì)深度學(xué)習(xí)，才是立足于未來社會(huì)的關(guān)鍵能力。

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1]教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012：3.

[2]梁淑穎.尋問題根源，覓解題佳徑：“分段計(jì)費(fèi)”錯(cuò)因分析與再思考[J].教師，2019（24）：69-70.

[3]劉賢虎.基于深度學(xué)習(xí)的問題教學(xué)略論：以小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)為例[J].中國教師，2019（11）：77-79.

[4]楊惠娟.滲透數(shù)學(xué)思想方法 發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)：以“小數(shù)的含義和讀寫”教學(xué)為例[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2017（6）：36-37.

[5]崔允漷.指向?qū)W科核心素養(yǎng)的教學(xué)即讓學(xué)科教育“回家”[J].基礎(chǔ)教育課程，2019（Z1）：5-9.

（責(zé)任編輯：楊紅波）