朱建

抽象函數(shù)是指沒有明確給出具體解析式的函數(shù).抽象函數(shù)問題能有效地考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的應(yīng)用及遷移能力，對(duì)培養(yǎng)和提高學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)造性思維等能力有很好的促進(jìn)作用.抽象函數(shù)定義域問題有一定難度，大多數(shù)學(xué)生解答起來總感到很棘手，即使學(xué)會(huì)了，過幾天又會(huì)混淆.那么，有什么辦法可以讓學(xué)生深刻地理解、掌握這部分知識(shí)呢？首先，抽象函數(shù)也是函數(shù)，必須符合函數(shù)的定義：設(shè)集合A，B是非空數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù).記作：y=f（x），x∈A.其中，x叫自變量，x的取值范圍A叫函數(shù)的定義域，與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫函數(shù)的值域.定義域、對(duì)應(yīng)法則、值域?yàn)楹瘮?shù)的三要素.

根據(jù)定義，對(duì)于函數(shù)三要素之間的關(guān)系，可以這樣理解：運(yùn)算法則f就是一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，在這種對(duì)應(yīng)關(guān)系下能把集合A中的元素x對(duì)應(yīng)到集合B中的元素y，其作用如同現(xiàn)實(shí)生活中制作某種零件的模具.當(dāng)我們把鐵、銅等液態(tài)金屬倒入模具，冷卻后就可以得到零件.液態(tài)金屬如同函數(shù)的定義域，模具就是對(duì)應(yīng)法則，成品就是值域.要模具起作用，原材料必須是液態(tài)的某種金屬，我們暫且稱其為對(duì)象.對(duì)象必須滿足一定的條件，超出模具的作用范圍，模具將不起作用或無法制作成品.聯(lián)系函數(shù)定義，我們可以得到這樣一個(gè)結(jié)論：

函數(shù)的定義域都是指x的取值范圍，f的對(duì)象可以變，對(duì)象范圍不會(huì)變.

這就是解決抽象函數(shù)定義域的秘訣，稍加記憶和理解我們就可以快速地解決抽象函數(shù)定義域的問題.下面筆者就結(jié)合具體實(shí)例介紹一下抽象函數(shù)定義域問題的類型和求法.

一、已知y=f（x）的定義域?yàn)閇a，b]，求y=f[g（x）]的定義域

我們可以這樣理解：在函數(shù)y=f（x）中，定義域?yàn)閇a，b]，即a≤x≤b.

f的對(duì)象是x，對(duì)象的范圍是a≤x≤b.

（f的對(duì)象可以變，對(duì)象范圍不會(huì)變）

∴在y=f[g（x）]中對(duì)象由x變?yōu)榱薵（x），但是對(duì)象的范圍不會(huì)變，還是a≤g（x）≤b.

（函數(shù)的定義域都是指x的取值范圍）

所以解得x的取值范圍為y=f[g（x）]的定義域.

例1 設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)閇0，1]，求函數(shù)y=f（2x+1）的定義域.

解：∵y=f（x）的定義域?yàn)閇0，1]，

∴0≤x≤1（函數(shù)的定義域都是指x的取值范圍）.

∴在y=f（2x+1）中，0≤2x+1≤1（函數(shù)的對(duì)象可以變，對(duì)象范圍不會(huì)變）.

∴-≤x≤0（函數(shù)的定義域都是指x的取值范圍）.

∴y=f（2x+1）的定義域?yàn)閇-，0]

二、已知y=f[g（x）]的定義域，求y=f（x）的定義域

我們可以這樣理解：在函數(shù)y=f[g（x）]中，定義域?yàn)閇a，b]，由于函數(shù)的定義域都是指x的取值范圍即a≤x≤b.f的對(duì)象是g（x），函數(shù)的對(duì)象可以變，對(duì)象范圍不會(huì)變.我們要找到不變量過渡到y(tǒng)=f（x），故需要由x的范圍，通過運(yùn)算得到g（x）的范圍[m，n].在y=f（x）中對(duì)象由g（x）變?yōu)榱藊，但是對(duì)象的范圍不會(huì)變，還是m≤x≤n.然而，函數(shù)的定義域都是指x的取值范圍，故[m，n]的取值范圍即為y=f（x）的定義域.

例2 設(shè)函數(shù)y=f（lgx）的定義域?yàn)閇10，100]，則求函數(shù)y=f（x）的定義域.

解：∵y=f（lgx）的定義域?yàn)閇10，100]，

∴10≤x≤100（函數(shù)的定義域都是指x的取值范圍）.

1≤lgx≤2（f的對(duì)象是lgx）.

∴在y=f（x）中，1≤x≤2（f的對(duì)象可以變，對(duì)象范圍不會(huì)變）.

∴y=f（2x+1）的定義域?yàn)閇1，2]（函數(shù)的定義域都是指x的取值范圍）.

三、已知y=f[g（x）]的定義域，求y=f[h（x）]的定義域

此類問題的解法：先由y=[g（x）]定義域求得g（x）的范圍，再由g（x）的范圍得到h（x）的范圍，進(jìn)而得到y(tǒng)=f[h（x）]的定義域.

例3 函數(shù)y=f（2x+1）定義域是[0，1]，則求y=f（2x）的定義域.

解：∵y=f（2x+1）的定義域是[0，1]，

∴0≤x≤1（函數(shù)的定義域都是指x的取值范圍）.

1≤2x+1≤3（f的對(duì)象是2x+1）.

∴在y=f（2x）中，1≤2x≤3（f的對(duì)象可以變，對(duì)象范圍不會(huì)變）.

即：0≤x≤log23.

∴y=f（2x）的定義域是[0，log23]（函數(shù)的定義域都是指x的取值范圍）.

抽象函數(shù)定義域問題往往困擾著學(xué)生，然而當(dāng)學(xué)生真正理解了“函數(shù)的定義域都是指x的取值范圍，f的對(duì)象可以變，對(duì)象范圍不會(huì)變”這個(gè)結(jié)論后，所有這類問題就都迎刃而解了，真正的解題關(guān)鍵還是加深對(duì)函數(shù)概念、性質(zhì)的理解.

◇責(zé)任編輯 邱 艷◇