童其林

有限與無(wú)限相比，有限顯得具體，無(wú)限顯得抽象，對(duì)有限的研究往往有法可循，并可以積累一定的經(jīng)驗(yàn).?而對(duì)無(wú)限個(gè)對(duì)象的研究，卻往往不知如何下手，顯得經(jīng)驗(yàn)不足，于是將對(duì)無(wú)限的研究轉(zhuǎn)化為對(duì)有限的研究，就成了解決無(wú)限問(wèn)題的必由之路.?反之當(dāng)積累了解決無(wú)限問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)之后，可以將有限的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成無(wú)限來(lái)解決，這種無(wú)限化有限，有限化無(wú)限的解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法就是有限與無(wú)限的思想.

數(shù)學(xué)中我們常碰到一類無(wú)窮的問(wèn)題，如果能找到無(wú)窮問(wèn)題的一般規(guī)律，便不難求解.?比如，下面的例1就是無(wú)限化有限解決問(wèn)題的：

例1.（龍巖市2020年高中畢業(yè)班3月教學(xué)質(zhì)量檢查，文科12題）已知數(shù)列{an}滿足an+1=2+?，則a1+a2020的最大值是（?????）

A.?4-2??????B.?8-??????C.?4+2??????D.?8+

解析：依題意an+1=2+?可化為（an+1-2）2+（an-2）2=4，令bn=（an-2）2，則bn+1+bn=4，∴?bn+2+bn+1=4，于是bn+2=bn，

∴?b1=（a1-2）2，b2020=b2=（a2-2）2=（a2020-2）2

∴?b1+b2020=b1+b2=4，即（a1-2）2+（a2020-2）2=4.

法一：a1=2+2cos?a2020?=2+2sin?？圯a1?+?a2020?=4+2?sin（?-?）≤4+

2?（當(dāng)且僅當(dāng)?=2k？仔+?（k∈N）時(shí)等號(hào)成立）.

法二：∵??≤?，

∴?a1?+?a2020?=（a1-2）+（a2020-2）+4≤2×?+4=4+2?（當(dāng)且僅當(dāng)a1?=a2020?=2+?時(shí)等號(hào)成立）.

法三：?（a1-2）2+（a2020-2）2=4，即（a1，?a2020）在圓（x-2）2+（y-2）2?=4上，

令z=x+y，即x+y-z=0，∴?d=?≤2，∴?|?z-4|≤2?，

∴?4-2?≤z≤4+2?，∴?zmax=4+2?.

點(diǎn)評(píng)：本來(lái)是一個(gè)無(wú)窮數(shù)列的問(wèn)題，通過(guò)周期轉(zhuǎn)化為（a1-2）2+（a2020-2）2=4，后面有限的處理便是常規(guī)問(wèn)題了，這是無(wú)限化有限的典型例子.

抓住變量的變化趨勢(shì)或臨界狀態(tài)或邊界點(diǎn)，可以把有限的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)無(wú)限的問(wèn)題來(lái)研究，從而比較快速、準(zhǔn)確地解題.比如，下面的例2就是有限化無(wú)限解決問(wèn)題的：

例2.?（人教A版必修四課本144頁(yè)B組第5題改編）函數(shù)f（x）=sin2022x+cos2022x?（x∈R）的值域是_________________.

解析：設(shè)f（?）=?sin?x??+cos?x??，x∈{n|n=2k，?k∈N+}利用三角變換，估計(jì)f（?）在x=2，4，6時(shí)的取值情況.

當(dāng)x=2時(shí)，容易得到f（?）=sin?2??+cos2??=1;

當(dāng)x=4時(shí)，f（?）=sin?4??+cos4??可以變形成什么？

f（?）=sin?4??+cos4??=（sin?2??+cos2??）2?-2sin?2??cos2???=?1-2sin?2???cos2??.

將2sin?2??cos2???化單一三角函數(shù)，因?yàn)閟in?cos?=??，所以1-2sin?2??cos2??=1-?.?又因?yàn)閟in?2?2?=?，所以1-?=?.?可得到f（?）=?.?此時(shí)?≤f（?）≤1;

當(dāng)x=6時(shí)，

f（?）=sin?6??+cos6??=（sin?2??+cos2??）（sin?4??+cos4??）?-（sin?2??cos4???+sin?4??cos2???）=?-sin?2???cos2??=?+?=?+?cos?4?，得到?≤f（?）≤1.

因?yàn)楫?dāng)x=2即k=1時(shí)，f（?）=1可以寫(xiě)成（?）0≤f（?）≤1;當(dāng)x=?4即k=2時(shí)，（?）1≤?f（?）≤1，當(dāng)x=?6即k=3時(shí)，（?）2?≤f（?）≤1所以當(dāng)x=8即k=4時(shí)，（?）3?≤f（?）≤1.?因此，當(dāng)x=2k，k∈N??時(shí)，（?）k-1≤f（?）≤1.

令x=2022，此時(shí)k=1011，k-1=1010，便可得f（?）的值域?yàn)閇?，?1].

在高考中，一些問(wèn)題是需要通過(guò)有限與無(wú)限思想解決問(wèn)題的，而一些問(wèn)題可以借助有限與無(wú)限思想簡(jiǎn)化運(yùn)算，快速求解的，還有就是幫助我們準(zhǔn)確畫(huà)圖，從而得到正確答案的.無(wú)論哪種情形，學(xué)會(huì)用有限與無(wú)限思想解決問(wèn)題都是數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)素養(yǎng)高的體現(xiàn).?下面我們?cè)偻ㄟ^(guò)例題談?wù)勊跀?shù)學(xué)各分支中的應(yīng)用.

一、有限與無(wú)限的思想在函數(shù)中的應(yīng)用

例3.（2020屆福州市高中畢業(yè)班第三次質(zhì)量檢查，理科5）函數(shù)f（x）=ex-x2-2x的圖像大致為（?????）

解法一：因?yàn)閒′（x）=ex-2x-2，f″（x）=ex-2，令f″（x）=ex-2=0，得x=ln?2，當(dāng)xln?2時(shí)，f″（x）>0，f′（x）為增函數(shù)，而f′（ln?2）=2-2ln?2-2=-2ln?2<0，所以原函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，故淘汰選項(xiàng)C和D.?將x=1代入原函數(shù)，求得f（1）=e-1-2<0，淘汰選項(xiàng)A，故選B.

解法二：f（1）=e-2-1<0，淘汰選項(xiàng)A，D;當(dāng)x→-∞時(shí)，f（x）=?ex-x（x+2）→-∞，淘汰選項(xiàng)C.?故選B.

例4.（2018年長(zhǎng)沙一中月考題）若f（x）=ln（kex-x+1）的值域?yàn)镽，則k的取值范圍是（?????）

A.?（-∞，?e-1]?????B.?（-∞，?e-2]?????C.?[e，?+∞）?????D.?（-2，?+∞）

解析：令u（x）=kex-x+1，

（1）當(dāng)k=0時(shí)，u（x）=-x+1為R上的減函數(shù)，u（x）的值域包含（0，?+∞）;

（2）當(dāng)k>0時(shí)，u′（x）=kex-1，易知u（x）在（ln?，+∞）單調(diào)遞增，在（-∞，ln?）上單調(diào)遞減.?此時(shí)，u（x）min?=u（ln?）=2-ln?，所以2-ln?≤0，解得0

（3）當(dāng)k<0時(shí)，u′（x）=kex-1<0，u（x）為R上的減函數(shù)，又x→+∞時(shí)，u（x）→-∞，x→-∞時(shí)，u（x）→+∞，故u（x）?必存在唯一零點(diǎn)x0，使得u（x0）=0，即u（x）?的值域包含（0，+∞）.

綜上，可得k≤e-2，即k∈（-∞，?e-2]?，選B.

點(diǎn)評(píng)：f（x）=ln（kex-x+1）的值域?yàn)镽，則u=kex-x+1的值域要取遍（0，+∞）的所有值.

例5.（2019年高考全國(guó)Ⅱ卷，理科20）已知函數(shù)f（x）=?ln?x-?.

（1）討論f（x）的單調(diào)性，并證明f（x）有且僅有兩個(gè)零點(diǎn);

（2）設(shè)x0是f（x）的一個(gè)零點(diǎn)，證明曲線y=ln?x?在點(diǎn)A（x0，ln?x0）處的切線也是曲線y=ex的切線.

解析：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，1）∪（1，+∞），

f（x）=?ln?x-?？圯f′（x）=?，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，?1）∪（1，+∞），所以f′（x）>0，因此函數(shù)f（x）在（0，1）和（1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù);

當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，x→0，y→-∞，而f（?）=ln?-?=?>0，顯然當(dāng)x∈（0，1），函數(shù)f（x）有零點(diǎn)，而函數(shù)f（x）在x∈（0，1）上單調(diào)遞增，故當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，函數(shù)f（x）有唯一的零點(diǎn);

當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f（e）=lne-?=?<0，f（e2）=lne2-?=?>0.

因?yàn)閒（e）·f（e2）<0?，所以函數(shù)f（x）在（e，e2）必有一零點(diǎn)，而函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是單調(diào)遞增，故當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，函數(shù)f（x）有唯一的零點(diǎn).

綜上所述，函數(shù)f（x）的定義域（0，1）∪（1，+∞）內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn).

（2）因?yàn)閤0是f（x）的一個(gè)零點(diǎn)，所以f（x0）=ln?x0-?=0？圯ln?x0=?y=ln?x？圯y′=?，所以曲線y=ln?x在A（x0，ln?x0）處的切線l的斜率k=?，故曲線y=ln?x在A（x0，ln?x0）處的切線l的方程為：y-ln?x0=?（x-x0）而ln?x0=?，所以l的方程為y=?+?，它在縱軸的截距為?.

設(shè)曲線y=ex的切點(diǎn)為B（x1，e?），過(guò)切點(diǎn)為B（x1，e?）切線l′，y=ex？圯y′=ex，所以在B（x1，e?）處的切線l′的斜率為e?，因此切線l′的方程為y=e?x+e?（1-x1）.

當(dāng)切線l′的斜率k1=e?等于直線l的斜率k=?時(shí)，即e?=?？圯x1=-ln?x0?.

切線l′在縱軸的截距為b1=e?（1-x1）=e-ln??（1+ln?x0）=?（1+ln?x0），而ln?x0?=?，所以b1=?（1+?）=?，直線l，l′的斜率相等，在縱軸上的截距也相等，因此直線l，l′重合，故曲線y=ln?x在A（x0，ln?x0）處的切線也是曲線y=ex的切線.

點(diǎn)評(píng)：（1）對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)，結(jié)合定義域，判斷函數(shù)的單調(diào)性;（2）先求出曲線y=ln?x在A（x0，ln?x0）處的切線l，然后求出當(dāng)曲線y=ex切線的斜率與l斜率相等時(shí)，證明曲線y=ex切線l′在縱軸上的截距與l在縱軸的截距相等即可.

二、有限與無(wú)限的思想在數(shù)列中的應(yīng)用

例6.（2020年高考北京卷，第8題）在等差數(shù)列{an}中，a1=-9，a5=-1.?記Tn=a1a2…an（n=1，2，…），則數(shù)列{Tn}（???）

A.?有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) B.?有最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)

C.?無(wú)最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) D.?無(wú)最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)

解析：由題意可知，等差數(shù)列的公差d=?=?=2，

則其通項(xiàng)公式為：an=a1+（n-1）d=-9+（n-1）×2=2n-11，

注意到a1

由?=ai>1（i≥7，i∈N）可知數(shù)列{Tn}不存在最小項(xiàng).

由于a1=-9，a2?=-7，a3?=-5，a4?=-3，a5?=-1，a6?=1，故數(shù)列{Tn}中的正項(xiàng)只有有限項(xiàng)：T2?=63，T4?=63×15=945.?故數(shù)列{Tn}中存在最大項(xiàng)，且最大項(xiàng)為T4?.?故選B.

點(diǎn)評(píng)：考慮問(wèn)題既要有限項(xiàng)的情況，也要考慮無(wú)限項(xiàng)的情況，便不易出錯(cuò).

例7.?無(wú)窮數(shù)列{an}由k個(gè)不同的數(shù)組成，Sn為{an}的前n項(xiàng)和.?若對(duì)任意n∈N?，Sn∈{2，3}，則k的最大值為_(kāi)_______.

解析：當(dāng)n=1時(shí)，a1=2或a1=3;當(dāng)n≥2時(shí)，若Sn=2，則Sn-1=2，于是an=0;若Sn=3，則Sn-1=3，于是an=0.?從而存在k∈N?，當(dāng)n≥k時(shí)，ak=0.?其中數(shù)列{an}：2，1，-1，0，0，0，…，或數(shù)列{an}：3，-1，1，0，0，0，…，滿足條件，所以kmax=4.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查考生的邏輯推理能力等.?從研究Sn與an的關(guān)系入手，推斷數(shù)列的構(gòu)成特點(diǎn)，解題時(shí)應(yīng)特別注意“數(shù)列{an}由k個(gè)不同的數(shù)組成”的不同和“k的最大值”.

例8.?已知數(shù)列{an}，an=?，前n項(xiàng)和為Sn，關(guān)于an及Sn的敘述正確的是（???）

A.?an與Sn?都有最大值????????B.?an與Sn?都沒(méi)有最大值

C.?an與Sn?都有最小值????????D.?an與Sn?都沒(méi)有最小值

解析：畫(huà)出an=?的圖像（如圖1），

點(diǎn)（n，an）為函數(shù)y=?圖像上的一群孤立點(diǎn)，（?，0）為對(duì)稱中心，S5最小，a5最小，a6最大.?答案C.

點(diǎn)評(píng)：y=?圖像是關(guān)于（?，0）對(duì)稱的曲線，本身沒(méi)有最值，但當(dāng)自變量x的取值為正整數(shù)時(shí)，孤立點(diǎn)（n，an）仍在曲線y=?圖像上，此時(shí)無(wú)限的點(diǎn)中，就有了最高和最低了，即可判斷an?有最小值，an有最大值.

三、有限與無(wú)限思想在立體幾何中的應(yīng)用

例9.（2019年高考浙江卷，第8題）設(shè)三棱錐V-ABC的底面是正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)均相等，P是棱VA上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)），記直線PB與直線AC所成角為?，直線PB與平面ABC所成角為？茁，二面角P-AC-B的平面角為？酌，則（???）

A.?？茁<？酌，?<？酌???B.?？茁<?，？茁<？酌???C.?？茁<?，？酌<????D.??<？茁，？酌<？茁

解法1：如圖2，設(shè)G為AC中點(diǎn)，V在底面ABC的投影為O，則P在底面投影D在線段AO上，過(guò)D作DE垂直AE，易得PE∥VG，過(guò)P?作PF∥AC交VG于F，過(guò)D作DH∥AC，交BG于H，則?=∠BPF，？茁=∠PBD，？酌=∠PED，則cos??=?=?=?<?=cos?？茁，即?>?？茁，tan？酌=?>?=tan?？茁，即？酌>？茁，綜上所述，答案為B.

解法2：（特殊位置）取V-ABC為正四面體，P為VA中點(diǎn)，易得cos??=?？圯sin??=?，sin?？茁=?，sin?？酌=?，故選B.

解法3：如圖2，讓P→A，此時(shí)直線PB與直線AC所成角為?=90°，直線PB與平面ABC所成角為？茁=∠VBG，為銳角，所以?>?？茁;又二面角P-AC-B的平面角為？酌=∠VGB，且VB>VG，因?yàn)橥蝗切蜼BG中大邊對(duì)大角，所以？酌?>?？茁.

點(diǎn)評(píng)：常規(guī)解法下易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是不能正確作圖得出各種角，而能想到利用“特殊位置法”是一種簡(jiǎn)便解法，本題中更快捷的方法是有限與無(wú)限的思想方法——避免了繁瑣的運(yùn)算.

例10.?如圖3，已知△ABC，D是AB的中點(diǎn)，沿直線CD將△ACD折成△A′CD，所成二面角A′-CD-B的平面角為?，則（???）

A.?A′DB≤

B.?A′DB≥

C.?A′CB≤

D.?A′CB≥

解析：這是一個(gè)動(dòng)態(tài)問(wèn)題，在變化中蘊(yùn)含不變的東西.?當(dāng)△ACD翻折180°時(shí)，若AC=BC，則A′DB=?=0，∠A′CB=?=0;當(dāng)AC≠BC時(shí)，A′DB>0，∠A′CB>0.??=0.?此時(shí)，A和C錯(cuò).

當(dāng)△ACD翻折0°時(shí)，?=180°，A′DB=180°，∠A′CB<180°.?此時(shí)，D錯(cuò).

只有B在兩種情況下均成立，所以選B.

點(diǎn)評(píng)：二面角的取值范圍是[0°，180°]，即問(wèn)題包含翻折180°和無(wú)翻折的情形，利用這個(gè)特殊情形可快速求解.

四、有限與無(wú)限思想在平面向量中的應(yīng)用

例11.?已知平面上的直線l的方向向量?=（-?，?），點(diǎn)（0，0）和A（1，-2）在l上的射影分別為O′和A′，若?=??則λ為（?????）

A.??B.?-?C.?2D.?-2

分析：直線l的斜率一定，但直線是變化的，又從選項(xiàng)來(lái)看，?必為定值.?可見(jiàn)直線l的變化不會(huì)影響?的值.?因此我們可取l為y=-?x來(lái)求解?的值.

解析：設(shè)l為y=-?x，A′（x，?y），則

（-?）=-1，y=-?x，得A′（?，-?）.

∴?=??，即（?，-?）=?（-?，?），?=-2.

例12.?已知G是△ABC的重心，PQ是過(guò)G的直線與AC，BC截得的線段，設(shè)?=?，?=?，若?=m??，?=n?，則?+?=_______.

解析1：本題的基本解法是利用向量共線.

如圖4，連CG并延長(zhǎng)交AB于M，??則?=??=?（?+?）.

又?=?-?=?（?+?）-m??，?=?-?=n??-=?（?+?）.

∵?P，G，Q三點(diǎn)共線，∴?=??，可得?-m=-??，?=（n-?）?？圯3mn=m+n？圯?+?=3.

解析2：由于本題是填空題，所以可以讓PQ繞G轉(zhuǎn)動(dòng)，使其到達(dá)臨界狀態(tài)，比如當(dāng)P點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，Q應(yīng)為BC中點(diǎn)，于是m=1，n=?，則?+?=3，非常快速解決了問(wèn)題.

五、有限與無(wú)限思想在三角函數(shù)和解三角形中的應(yīng)用

例13.?對(duì)任意?∈（0，?）都有（???）

A.?sin（sin?）cos?>cos（cos?）

C.?sin（cos?）

通解：當(dāng)?∈（0，?），我們知道有結(jié)論：0cos?.

又當(dāng)?∈（0，?）時(shí)，0

優(yōu)解：?當(dāng)??→0時(shí)，sin（sin?）?→0，cos??→1，cos（cos?）?→cos1，故排除A，B.

當(dāng)θ→?時(shí)，cos（sin?）?→cos1，cos??→0，故排除C，因此選D.

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)?∈（0，?）時(shí)，sin?<

例14.?在平面四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，則AB的取值范圍是_________________.

解析：因?yàn)樗倪呅蜛BCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，從而由∠B=∠C=75°，且BC=2，可以得到以BC為底邊的等腰三角形的形狀和大小已經(jīng)確定，為此延長(zhǎng)BA，CD可以交于E，這樣可以得到等腰三角形EBC（如圖5）.

因?yàn)椤螦=75°，這樣四邊形ABCD的形狀已經(jīng)的確定，要使四邊形ABCD存在，從圖中把A點(diǎn)看成直線BE上的動(dòng)點(diǎn)，讓直線AD平移，只要能保證與直線BE，與線段CE有交點(diǎn)就可以，這樣就得到A點(diǎn)的兩個(gè)臨界位置為E和F.

容易得到：cos?75°=?，所以BE=?=?+?，cos?75°=?，

所以BF=4cos?75°=?-?，這樣就得到?-?

所以AB的取值范圍是（?-?，?+?）.

六、有限與無(wú)限思想在解析幾何中的應(yīng)用

例15.?已知橢圓C：?+?=1（a>b>0）的離心率為?，且過(guò)點(diǎn)A（2，1）.

（1）求C的方程;

（2）點(diǎn)M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足.?證明：存在定點(diǎn)Q，使得DQ為定值.

本題的第1問(wèn)不難，難的是第2問(wèn).?點(diǎn)M，N在C上，說(shuō)明M，N有無(wú)限個(gè)點(diǎn)，同樣適合“AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足”的點(diǎn)D也有無(wú)限個(gè)，但這無(wú)限條直線MN中，經(jīng)過(guò)一個(gè)有限的定點(diǎn)E（?，-?）（如圖6，7），這就為解決問(wèn)題提供了綠色通道.?就是說(shuō)直線MN恒過(guò)定點(diǎn)E（?，-?），得到AE的中點(diǎn)Q也是定點(diǎn)，利用平面幾何的性質(zhì)（直角三角形斜邊的中線長(zhǎng)等于斜邊長(zhǎng)的一半），得DQ=?AE為定值，問(wèn)題便解決了.?這里有限與無(wú)限的思想為我們架通了未知與已知的橋梁.

總之，有限與無(wú)限的思想方法既蘊(yùn)含在教材中，也滲透在人類文化的寶庫(kù)中，是高考命題的重要方向之一，有限與無(wú)限的思想方法是數(shù)學(xué)必不可少的一種重要方法.?其實(shí)，有限與無(wú)限的思想更重要的是一種意識(shí)，是在蜂擁而至的信息面前，捕捉有用信息的那種意識(shí).

責(zé)任編輯 徐國(guó)堅(jiān)