甘肅省天水市天水師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院(741001) 王聃聃 王艷麗 劉麗 李娟 王三福

“教與學(xué)”與“教與數(shù)學(xué)”對應(yīng)原理揭示了數(shù)學(xué)有效教學(xué)的基本規(guī)律,它對教師素質(zhì)和學(xué)習(xí)結(jié)果提出了明確的要求,對教學(xué)方式和學(xué)習(xí)方式給出了具體的指導(dǎo)[1,2].其在數(shù)學(xué)基本結(jié)論教學(xué)過程中的運用是展現(xiàn)數(shù)學(xué)基本結(jié)論的發(fā)現(xiàn)過程與方法,滲透歸納與演繹、分析與綜合等數(shù)學(xué)思想方法,并重視數(shù)學(xué)的基本活動經(jīng)驗,經(jīng)歷提出解決問題的過程,讓學(xué)生領(lǐng)悟科學(xué)研究的一般方法,提高認(rèn)識能力[3].它可以幫助教師將教材中抽象的數(shù)學(xué)原理變成易于學(xué)生掌握的數(shù)學(xué)知識,形成“教會學(xué)生思考”的教學(xué)設(shè)計.

1 勾股定理等基本結(jié)論類教學(xué)設(shè)計現(xiàn)狀

教師在進(jìn)行數(shù)學(xué)基本結(jié)論類教學(xué)設(shè)計往往過度依托于教材,忽略數(shù)學(xué)史在發(fā)現(xiàn)、驗證、應(yīng)用基本結(jié)論中的重要作用.本文從“數(shù)學(xué)史”的角度切入,分析勾股定理相關(guān)教學(xué)設(shè)計的“數(shù)學(xué)史”呈現(xiàn)情況,將“教與學(xué)”與“教與數(shù)學(xué)”對應(yīng)原理融入數(shù)學(xué)史開展教學(xué)設(shè)計.

有關(guān)勾股定理的數(shù)學(xué)史在三個教材版本中的呈現(xiàn)情況如下:從章節(jié)安排上看,三個版本的教材都是在全等三角形等內(nèi)容之后,“勾股定理”章節(jié)中的第一節(jié),后面是“勾股定理的逆定理”等,但是所呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)史卻明顯不同.“人教版”選擇了畢達(dá)哥拉斯地磚導(dǎo)入,通過趙爽弦圖證明;“蘇教版”利用希臘紀(jì)念郵票引入,通過趙爽弦圖證明;“北師大版”選擇通過探索得到結(jié)論,設(shè)立“漫畫勾股世界”探索證明方法.三個版本教材都設(shè)立例題與習(xí)題來實現(xiàn)其應(yīng)用,都試圖告訴讀者勾股定理的發(fā)生發(fā)展過程.

然而教師們在實踐中想要將這種思想通過教學(xué)設(shè)計實現(xiàn)時,就發(fā)生了變化,經(jīng)常會出現(xiàn)將勾股定理豐富的史料僅作為故事課前導(dǎo)入,或在課中稍加涉及,又或在課后當(dāng)閱讀材料呈現(xiàn)給學(xué)生,這樣處理有可能忽視了“數(shù)學(xué)史”在勾股定理發(fā)現(xiàn)時所產(chǎn)生的思想與方法,也因少了學(xué)生的互動參與,錯過了讓學(xué)生“發(fā)現(xiàn)勾股定理”的數(shù)學(xué)體驗,最終可能偏離“做數(shù)學(xué)”的目標(biāo).

2 教學(xué)設(shè)計理論基礎(chǔ)

數(shù)學(xué)教育既需遵循一般教育過程的規(guī)律,又需體現(xiàn)數(shù)學(xué)教育的特殊性[2,5],這種雙重性使得數(shù)學(xué)教育是一類特殊的研究對象.從而數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計需按照“教與學(xué)”和“教與數(shù)學(xué)”對應(yīng)二重原理來進(jìn)行.“教與學(xué)對應(yīng)”指根據(jù)學(xué)生的“學(xué)”來定教師的“教”,即依據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況、學(xué)習(xí)現(xiàn)狀及教學(xué)內(nèi)容來確定教學(xué)目標(biāo)、重難點、教學(xué)方法和過程等[2].“教與數(shù)學(xué)對應(yīng)”原理認(rèn)為有效的數(shù)學(xué)課堂教學(xué),應(yīng)當(dāng)以數(shù)學(xué)內(nèi)容、本質(zhì)、特征為基礎(chǔ),結(jié)合教與學(xué)的一般規(guī)律,以中小學(xué)數(shù)學(xué)核心知識內(nèi)容和主要思想方法為載體來設(shè)計和組織教學(xué)[1,2].

“勾股定理”等數(shù)學(xué)基本結(jié)論的教學(xué)設(shè)計也應(yīng)遵循此二重原理,這樣才能更好地幫助學(xué)生去探索勾股定理等數(shù)學(xué)基本結(jié)論發(fā)生發(fā)展過程,才能有助于學(xué)生更好地理解其本質(zhì),提高學(xué)生運用其解決數(shù)學(xué)以及實際生活問題的能力.首先,勾股定理來源于生活、是通過數(shù)形結(jié)合的思想方法,逐步抽象歸納出來的.事實上,無論是畢達(dá)哥拉斯地磚,還是勾三股四弦五,都是人們對某些直角三角形性質(zhì)的認(rèn)識,后經(jīng)過畢達(dá)哥拉斯等數(shù)學(xué)家歸納總結(jié)出該定理.其次,數(shù)學(xué)史上一些著名的勾股定理證明方法,從不同角度對其表現(xiàn)形式進(jìn)行加工處理,可以為學(xué)生展示該定理的發(fā)生發(fā)展過程,有利于鍛煉學(xué)生的邏輯、抽象思維等數(shù)學(xué)能力.“巴河姆故事”等可為學(xué)生提供定理解決問題的方式方法.同時,勾股定理是直角三角形的一個特殊性質(zhì),它是幾何代數(shù)化的啟蒙,是聯(lián)系三角形與三角函數(shù)等內(nèi)容的一個重要知識節(jié)點,體現(xiàn)了歸納、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想.所以利用數(shù)學(xué)史圍繞“勾股定理的發(fā)現(xiàn)、驗證、明確、應(yīng)用”來展開教學(xué),讓學(xué)生理解“勾股定理”問題的起源、發(fā)展和應(yīng)用,既有利于學(xué)生對勾股定理本質(zhì)及應(yīng)用的把握,又可以起到對建構(gòu)三角函數(shù)等新知識的導(dǎo)航作用.

3 教學(xué)設(shè)計框架

由“教與學(xué)”和“教與數(shù)學(xué)”對應(yīng)原理進(jìn)行勾股定理的教學(xué)設(shè)計,要遵從學(xué)生的已有知識及認(rèn)知規(guī)律、應(yīng)完成教學(xué)任務(wù)進(jìn)行整合.

3.1 基于學(xué)生學(xué)生的學(xué)情及認(rèn)知規(guī)律,體現(xiàn)“教與學(xué)對應(yīng)”

首先,學(xué)生現(xiàn)有與后續(xù)將具有的與勾股定理相關(guān)的數(shù)學(xué)知識如表1.

表1 與“勾股定理”相關(guān)的教學(xué)內(nèi)容

從表1 中可以看到學(xué)生已有三角形相關(guān)的數(shù)學(xué)知識,在學(xué)習(xí)上述內(nèi)容的過程中,學(xué)生有直角三角形認(rèn)知經(jīng)歷,從三角形定義到其幾何性質(zhì)探索的學(xué)習(xí)經(jīng)歷,一次函數(shù)、二次函數(shù)圖像等數(shù)形結(jié)合思想的體驗等,這些都有利于學(xué)生學(xué)習(xí)“勾股定理”.

其次,根據(jù)預(yù)設(shè)內(nèi)容,可以圍繞觀察、實驗發(fā)現(xiàn)勾股定理,數(shù)形結(jié)合方法來驗證,運用結(jié)論解決問題的教學(xué)模式進(jìn)行教學(xué)設(shè)計,讓學(xué)生以“再創(chuàng)造”方式發(fā)現(xiàn)勾股定理,來培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)探索數(shù)學(xué)規(guī)律的能力.

3.2 根據(jù)數(shù)學(xué)史料設(shè)計核心問題,體現(xiàn)“教與數(shù)學(xué)對應(yīng)”

數(shù)學(xué)教學(xué)需滿足“教與數(shù)學(xué)對應(yīng)”原理,對“勾股定理”的教學(xué)而言,就需要根據(jù)數(shù)學(xué)史進(jìn)行情境創(chuàng)設(shè)揭示其發(fā)生發(fā)展過程,既有利于學(xué)生在情境中獲取其直觀表象,又與實際問題相聯(lián)系.為此,首先通過數(shù)學(xué)史的文獻(xiàn)的閱讀,挖掘其蘊含的數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)問題,后根據(jù)教學(xué)目標(biāo),梳理出核心數(shù)學(xué)問題,如表2所示.

表2 “勾股定理”教學(xué)設(shè)計預(yù)設(shè)核心問題

確立“如何發(fā)現(xiàn)”,“為什么成立”,“有何用處”是“勾股定理”教學(xué)的核心問題后,教師需結(jié)合教學(xué)現(xiàn)狀,利用教材及數(shù)學(xué)史等創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境,圍繞這三個問題開展課堂教學(xué),引導(dǎo)學(xué)生不斷深入思考如何解決這三個問題,逐步展示定理的發(fā)現(xiàn)發(fā)生過程,教師通過解決問題的教學(xué)活動,教會學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)基本結(jié)論的科學(xué)研究方法.

4 教學(xué)設(shè)計實踐

根據(jù)預(yù)設(shè)的教學(xué)設(shè)計,依托某校八年級學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ),教師A 選取數(shù)學(xué)史的相關(guān)內(nèi)容,完成“勾股定理”的教學(xué)設(shè)計,并對“核心問題”不斷修訂,并通過教學(xué)實踐檢驗逐步完善.

4.1 教師的教學(xué)設(shè)計初稿

教師A 圍繞“勾股定理的發(fā)現(xiàn)、驗證、應(yīng)用”教學(xué)設(shè)計初稿配圖如圖1,并設(shè)計如下教學(xué)片段:

圖1

【片段1】利用“畢達(dá)哥拉斯地磚”[6],讓學(xué)生直觀感受,并利用圖一、圖二,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“勾股定理”.

【片段2】展示趙爽弦圖(圖三),指出其為第24 屆國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo).引導(dǎo)學(xué)生利用趙爽弦圖證明勾股定理,并體會趙爽的證明方法,并注意滲透數(shù)形結(jié)合思想,讓學(xué)生體會我國古代數(shù)學(xué)的成就.

【片段3】劉徽,歐幾里得等均采用不同的方法來證明勾股定理,現(xiàn)有400 多種不同證法,引導(dǎo)學(xué)生課外探究勾股定理的證明方法,體會數(shù)形結(jié)合思想.

【片段4】通過解答“巴河姆的故事”等數(shù)學(xué)問題說明勾股定理的應(yīng)用.

做出如上設(shè)計是教師A 利用其預(yù)設(shè)的核心問題來展開.

從以上分析可看出,利用勾股定理的發(fā)現(xiàn)發(fā)展過程來進(jìn)行教學(xué),清晰的表明了人類對幾何的認(rèn)識逐步代數(shù)化的過程.但是以下問題值得深入分析.

O:勾股定理揭示了什么?

A:描述了三邊關(guān)系,揭示了直角三角形的本質(zhì)特征,指出了直角邊與斜邊所處的地位不同.

O:怎樣理解勾股定理?

A:可以從文字描述、符號語言、圖形表述來加深對定理的理解.

Q:勾股定理有什么發(fā)展?

A:勾股定理除在幾何中應(yīng)用外,還引發(fā)了第一次數(shù)學(xué)危機,引出了費爾馬大定理等數(shù)學(xué)問題,推動了數(shù)學(xué)的發(fā)展.

O:勾股定理中最重要的數(shù)學(xué)思想是什么?

A:幾何代數(shù)化,數(shù)形結(jié)合.

結(jié)合這樣的分析,教師A 認(rèn)為在教學(xué)設(shè)計初稿中培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題,解決問題的能力不夠,滲透數(shù)形結(jié)合的思想太少,擔(dān)心學(xué)生不能正確領(lǐng)會所描述的數(shù)學(xué)規(guī)律,于是依據(jù)雙重原理,回到“發(fā)現(xiàn)發(fā)展勾股定理”的本質(zhì),增加圖形,修改教學(xué)設(shè)計.

圖2

4.2 教師的教學(xué)設(shè)計修改版

考慮勾股定理本質(zhì)上是揭示了直角三角形邊與邊之間的關(guān)系,借鑒數(shù)學(xué)史資料,教學(xué)設(shè)計應(yīng)該更加有利于學(xué)生“發(fā)現(xiàn)”、“驗證”、“理解”、“應(yīng)用”勾股定理.

【片段6】請學(xué)生說出勾股定理描述了直角三角形中什么關(guān)系?

【片段7】啟發(fā)探究,讓學(xué)生思考利用圖四來證明勾股定理,使學(xué)生進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合思想.

【片段8】利用文字、圖形、符號語言分別描述勾股定理,探究其本質(zhì)特征.

【片段9】向?qū)W生介紹第一次數(shù)學(xué)危機、費爾馬大定理等,體會勾股定理發(fā)展以及對數(shù)學(xué)發(fā)展的推動作用.

4.3 課堂的教學(xué)設(shè)計實踐

為了更好突出“勾股定理”的本質(zhì),教師A 再次明確勾股定理的教學(xué)目標(biāo):

(1)體驗勾股定理的探索發(fā)現(xiàn)過程.

(2)掌握利用圖形驗證勾股定理的方法,體會數(shù)形結(jié)合思想.

(3)領(lǐng)會勾股定理的內(nèi)容.

(4)體會勾股定理在實際生活、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)發(fā)展中的應(yīng)用.

為此確立了新的教學(xué)思路為:利用“畢達(dá)哥拉斯地磚”引導(dǎo)學(xué)生探索“發(fā)現(xiàn)”勾股定理,利用趙爽弦圖證明,再現(xiàn)趙爽的證明方法,引導(dǎo)學(xué)生探索其它證明方法,體驗數(shù)形結(jié)合的思想.利用文字語言、幾何圖形、符號語言從不同角度描述定理,加深對勾股定理的理解.向?qū)W生介紹與勾股定理相關(guān)的重要歷史事件,并利用定理解決數(shù)學(xué)問題,讓學(xué)生體會其作用并學(xué)會運用.采用“發(fā)現(xiàn)勾股定理”——“驗證勾股定理”——“明確勾股定理”-“應(yīng)用勾股定理”——“總結(jié)教學(xué)活動”等步驟來開展教學(xué)活動,通過教學(xué)實踐進(jìn)一步完善.

5 教學(xué)設(shè)計實踐反思

通過教學(xué)活動實踐后,教師學(xué)生評價反饋,這樣的教學(xué)設(shè)計利用數(shù)學(xué)史來設(shè)計數(shù)學(xué)問題并加以解決,能體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合、幾何代數(shù)結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,具有比較高的創(chuàng)新性,是不錯的教學(xué)設(shè)計嘗試.由于學(xué)生學(xué)習(xí)情況及學(xué)習(xí)水平不完全相同,某些教學(xué)設(shè)計還應(yīng)根據(jù)學(xué)生情況進(jìn)行修改完善.