廣東省佛山市順德區(qū)沙滘初級中學(528315) 鐘小玲 黃金雄

數(shù)學的研究對象是抽象的,其學習過程也是一種抽象問題形象化、具體化的過程.特別是在呈現(xiàn)動點軌跡難題、函數(shù)的動態(tài)變化、圖形的變換、幾何模型時,如果能借助信息技術(shù)中的“可視化”技術(shù),將數(shù)學的抽象性問題、學生看不見的思維過程、不可言說的思想方法等清晰的呈現(xiàn)出來,不僅有利于啟發(fā)學生的思維、提高學生分析問題解決問題的能力,更有助于培育學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

GeoGebra 與幾何畫板是當代信息技術(shù)的集大成者,也是目前主流的動態(tài)數(shù)學軟件.它們功能強大、交互性強,能將抽象的數(shù)學知識變得生動直觀,易于理解.而且它們的版面簡潔,易于操作,是中學數(shù)學課堂常用的輔助教學手段.本文結(jié)合具體的案例,論述它們在中學數(shù)學教學可視化教學的獨特作用,為教師利用GeoGebra、幾何畫板輔助中學數(shù)學的可視化教學提供借鑒.

1 抽象問題形象化、具體化,突破動點軌跡難點

近年來,綜合了函數(shù),圖形變換,方程等知識的動點軌跡問題頗受命題者的青睞,是中考的熱點問題,也是難點問題.學生在解答此類問題時,常常不知所措,無從下手,究其原因是不能發(fā)現(xiàn)“動”之中的“靜”,抓不住問題的本質(zhì).而GeoGebra 與幾何畫板憑其強大的功能,化繁為簡,化動為靜,是解決此類問題的神助攻.

案例1:(2020 廣東省中考第17 題)有一架豎直靠在直角墻面的梯子正在下滑,一只貓緊緊盯住位于梯子正中間的老鼠,等待與老鼠距離最小時撲捉.把墻面、梯子、貓、老鼠都理想化為同一平面內(nèi)的線或點,模型如圖,∠ABC=90°,點M、N分別在射線BA、BC上,MN長度始終不變,MN=4,E為MN的中點,點D到BA、BC的距離分別為4 和2.在此滑動過程中,貓與老鼠的距離DE的最小值為____.

GeoGebra 動態(tài)演示

案例2:(2020 佛山市順德區(qū)中考模擬)如圖,拋物線y=-x2+2x+3 與x軸交于A、B兩點,頂點為D,對稱軸交x軸于點E,點P為對稱軸上一點.以BP為邊在BP的下方作等邊三角形ΔBPQ,當點P從點D運動到點E的過程中,求出點Q經(jīng)過的路徑的長度是多少?

原圖

幾何畫板追蹤點的運動軌跡

案例3:(2018 南通市中考)如圖,正方形ABCD中,O是BC邊的中點,點E是正方形內(nèi)一動點,OE=2,連接DE,將線段DE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得DF,連接AE、CF.求線段OF的最小值.

原圖

幾何畫板動畫演示圖

上述案例都是動點問題,大部分學生看到此類問題,第一反應就是迷茫,無從下手.上述圖形都會隨著點的運動發(fā)生改變,學生若在平時的學習中沒有學會抓住“主動點”,理清“從動點”,找出動點的軌跡,那必然不會解決此類問題.

而這種動態(tài)問題就是我們數(shù)學教學的重難點,如何將“動”化為“靜”,抓住本質(zhì),這時GeoGebra 與幾何畫板就是我們的教學神器,我們可以借助它們追蹤點的功能,將運動軌跡形象直觀的展示給學生看,同時引導學生發(fā)現(xiàn)此類題目的本質(zhì).而這也達到了我們教學可視化的目標之一,將學生看不見的思維過程、將不可言說的思想方法等清晰的呈現(xiàn)出來,從而提升學生分析問題解決問題的能力.

2 趣味盎然,簡明易懂,激發(fā)學生學習的內(nèi)驅(qū)力

腦科學研究表明,人類80%以上的信息是通過視覺獲得的,常言道“一圖勝千言”,因此抽象的知識可視化顯得尤為重要.數(shù)學歷來以其高度的抽象性、嚴密的邏輯性被人們所賞識,然而也恰恰是這點,令很多學生望而生畏.教師在教學中將抽象晦澀的數(shù)學知識生動形象的展示出來,讓學生感受到數(shù)學的簡單、對稱、無限、和諧的美,在數(shù)學學習中起著至關(guān)重要的作用,而借助GeoGebra 與幾何畫板不單能有效激發(fā)學生學習興趣,同時可以將一些抽象的定理通過動態(tài)圖形的演示,簡潔易懂,激發(fā)學生學習的內(nèi)驅(qū)力.

案例4:利用幾何畫板中的繪圖、深度迭代和參數(shù)功能,可以繪制出一棵五彩斑斕,動態(tài)生長的勾股樹.點擊“生長”、“顏色變幻”按鈕,樹就開始動態(tài)變化,十分美麗.

“面動成體”動畫演示

案例5:利用幾何畫板中的繪圖、點的追蹤、動畫等功能,可以將“面動成體”的過程形象生動的演示給學生看,加深學生對概念的理解.每每播放這個課件,學生總會發(fā)出興奮的驚呼聲.

案例6:利用GeoGebra 制作動態(tài)圖形,形象生動的演示勾股定理的證明.

圖1 至圖4,直角三角形都是可以移動的,點擊動畫,學生能形象直觀的觀察到勾股定理a2+b2=c2.圖5、圖6 是動態(tài)演示的示意圖,GeoGebra 以其強大的功能,讓勾股定理“活”了起來.

圖1

圖2

圖3

圖4

圖5

圖6 達芬奇證明的動態(tài)演示

法國數(shù)學家笛卡爾說:“沒有任何東西會比幾何圖形更能簡單直接的引入腦海,用圖形表達事物是很有幫助的.”上述案例不僅讓學生感受到了數(shù)學圖形的千姿百態(tài)的美,激發(fā)學生探索的欲望,更是將高深莫測的數(shù)學證明變得平易近人.當然我們不僅僅把數(shù)學的教學停留于視覺吸引這一淺層次的目標,我們還會關(guān)注更深層的目標,幫助學生把視覺感知到的外在物質(zhì)工具內(nèi)化為學生進行學習、研究問題的內(nèi)在心理工具.

3 數(shù)形結(jié)合,生動形象,加強函數(shù)性質(zhì)把握

數(shù)與形是中學數(shù)學研究的兩大基本對象,數(shù)形結(jié)合就是將抽象的數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形結(jié)合起來,建立對應關(guān)系,通過數(shù)與形的互相轉(zhuǎn)化,達到“以數(shù)解形”、“以形助數(shù)”的效果.數(shù)形結(jié)合是一種非常重要的數(shù)學思想方法,貫穿于初中三年的數(shù)學教學.GeoGebra 與幾何畫板憑借其強大的功能,完美的將抽象的數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形結(jié)合起來,幫助學生深刻的理解函數(shù)的相關(guān)知識,有效的提升學生數(shù)形結(jié)合的能力.

反比例函數(shù)圖像

二次函數(shù)圖像

案例8:探究二次函數(shù)y=a(x-h)2+k的圖像分別隨a,h,k變化的規(guī)律.利用幾何畫板的參數(shù)、函數(shù)繪制、動畫等功能繪制出二次函數(shù)的圖像,分別點擊三個參數(shù)的動畫按鈕,學生能直觀形象的觀察到每一個參數(shù)變化帶來的函數(shù)圖像的變化,從而在頭腦中形成一個整體、具體的印象.

案例9:利用GeoGebra 繪制反比例函數(shù)圖像,并探究反比例函數(shù)相關(guān)的面積性質(zhì).

GeoGebra 動態(tài)演示面積相等的幾種情形

運用信息技術(shù)使數(shù)學教學視覺化的目的之一,就是化數(shù)學的抽象為直觀具體,使其利于學生觀察,視覺感知,降低理解難度.而上述三個案例就很好的將抽象的函數(shù)直觀化,動態(tài)化,加強了學生對知識的理解和把握.學生若在平時的學習當中,很好的把握了函數(shù)的性質(zhì),那么遇到相關(guān)的問題時就會得心應手.

4 一題多解,舉一反三,提升學生數(shù)學思維水平

案例10:(2020 廣東省中考第25 題)如圖,拋物線與x軸交于點A、B,點A、B分別位于原點的左、右兩側(cè),BO=3AO=3,過點B的直線與y軸正半軸和拋物線的交點分別為第(3)問:點P在拋物線的對稱軸上且在x軸下方,點Q在射線BA上.當ΔABD與ΔBPQ相似時,請直接寫出所有滿足條件的點Q的坐標.

原圖

GeoGebra 繪制兩種情況

案例11:如圖,在正方形ABCD中,點E是BC邊上一點,點F是BC延長線上一點,AE垂直與EG，EG交∠DCF的角平分線CG于點G,求證:AE=EG.

從上述兩個案例可知,我們數(shù)學教學中常常需要啟發(fā)學生思考解決問題的多種可能性.特別是第二個案例,我們希望學生能一題多解,思維發(fā)散,舉一反三.而幾何畫板的構(gòu)圖思想,能激發(fā)學生在實際分析過程中不斷拓展思維,觸類旁通,發(fā)現(xiàn)解決問題的多種可能性.與此同時,利用GeoGebra與幾何畫板輔助我們的教學,有利于提升學生的思維水平,使其從淺層學習向深度化學習轉(zhuǎn)化.

5 結(jié)語

總之,運用信息技術(shù)使數(shù)學教學可視化,能有效的突破動點軌跡難題,能幫助學生更好的理解性質(zhì),能讓學生有效開展數(shù)學探究,提升學生的思維水平.GeoGebra 與幾何畫板作為輔助性教學手段在中學數(shù)學可視化教學中有著獨特的作用,它們能夠動態(tài)演示過程,揭示數(shù)形關(guān)系,突顯研究對象間的內(nèi)在聯(lián)系,從而降低學生的認知負荷,優(yōu)化學生的認知結(jié)構(gòu),提高教學的教學效率與教學質(zhì)量.