安徽省淮北市淮北師范大學數(shù)學科學學院(235000) 尹哲 張昆

法國數(shù)學家保羅·朗之萬曾說,在數(shù)學教學中,加入歷史是有百利而無一弊的.在數(shù)學教學中融入數(shù)學史既可以以數(shù)學史的故事性激起學生學習數(shù)學的興趣,也可以以數(shù)學史的知識性開闊學生的數(shù)學視野、鍛煉學生的數(shù)學思維;同時,將數(shù)學史融入數(shù)學教學也可以幫助教師提升數(shù)學專業(yè)素養(yǎng)和數(shù)學教學能力.因此,教師若是能了解某一數(shù)學知識的數(shù)學史內容,對其有深刻把握和感悟,并將其融入實際教學,那么數(shù)學教學便會如虎添翼.依據(jù)數(shù)學史料可以發(fā)現(xiàn),無理數(shù)概念的引入,是數(shù)系的發(fā)展和擴充過程中的關鍵一步.無理數(shù)概念的學習,既是有理數(shù)知識的延續(xù),也為后續(xù)學習實數(shù)、復數(shù)打下基礎.基于此,這里從知識與學段兩方面論述了數(shù)學史融入數(shù)學教學的策略,并在此基礎上,進行基于數(shù)學史的無理數(shù)概念教學設計,以幫助學生感受無理數(shù)產(chǎn)生的必要性,引領學生經(jīng)歷無理數(shù)的發(fā)生發(fā)展過程,促進學生對無理數(shù)概念的理解.

1 數(shù)學史融入數(shù)學教學的策略

數(shù)學學科的特點之一是高度的抽象性,正因為此,學生面對數(shù)學知識常常感到不知所起、不知所云.而數(shù)學史的研究對象正是數(shù)學知識的發(fā)展歷史與數(shù)學學科的發(fā)展規(guī)律,因此,將數(shù)學史融入數(shù)學教學可以促進學生對數(shù)學知識的理解.要注意的是,這種融入并不是生拉硬拽,而應講求方式與策略,以何種方式將數(shù)學史融入數(shù)學教學中,對數(shù)學教育目標的達成具有重要影響[1].國內學者汪曉勤教授根據(jù)我國數(shù)學課堂教學的特點,提出了數(shù)學史融入數(shù)學教學的四種方式:附加式、復制式、順應式以及重構式[2].除此之外,這里認為,對于不同的數(shù)學知識、不同的學習階段,數(shù)學史融入數(shù)學教學也要采取不同的策略,以期達到使教學效果最大化的目的.

1.1 根據(jù)數(shù)學知識,數(shù)學史融入數(shù)學教學的策略分析

數(shù)學知識根據(jù)其表現(xiàn)形式不同,可以分為數(shù)學概念、數(shù)學公式定理、數(shù)學思想方法.針對不同的數(shù)學知識,數(shù)學史融入數(shù)學教學的策略是不同的.

數(shù)學概念教學中,數(shù)學史融入數(shù)學教學的策略是:基于數(shù)學史實,探尋概念根源.學習數(shù)學概念,不只是要學習其定義、性質,還要弄明白數(shù)學概念產(chǎn)生的背景、歷程,這樣才算是真正理解了這一數(shù)學概念.因此,將數(shù)學史融入數(shù)學概念教學,可以通過向學生講述數(shù)學史實的方式,幫助學生了解數(shù)學家是怎樣以原有的數(shù)學體系提煉出新概念的.如小數(shù)概念的教學,可以向學生講述,1700 多年前我國數(shù)學家劉徽在解決類如“四個人如何平分五個蘋果”等問題時提出的“把個位以下無法標出名稱的部分稱為微數(shù)”,如今的“小數(shù)”其實源于當時的“微數(shù)”.學生通過這種數(shù)學史上的小故事,可以理解小數(shù)概念產(chǎn)生的背景與必要性,這有助于幫助學生深刻理解數(shù)學概念,拉近學生與數(shù)學家和數(shù)學知識之間的距離.

數(shù)學公式定理教學中,數(shù)學史融入數(shù)學教學的策略是:再現(xiàn)數(shù)學問題,經(jīng)歷公式定理發(fā)現(xiàn)過程.數(shù)學公式定理是數(shù)學知識的重要組成部分,學生熟記數(shù)學公式定理可以提高解題速度、提升做題質量.那么怎么才能幫助學生熟記公式定理呢?眾所周知,只靠死記硬背很難提升學習質量,這時候就可以發(fā)揮數(shù)學史的作用.教師可以將歷史上對數(shù)學公式定理的發(fā)現(xiàn)起到關鍵性作用的數(shù)學問題再現(xiàn)到課堂上,帶領學生經(jīng)歷公式定理的發(fā)現(xiàn)過程.如勾股定理的教學中,教師可以課堂再現(xiàn)公元前2000年左右古巴比倫泥板書上記載的問題“一個長度為30 個單位的棍子直立在墻上,當其上端滑下6個單位時,其下端離墻的距離是多少個單位?”這是一個三邊比為3:4:5 的特殊的直角三角形,教師可以引導學生從此問題出發(fā),探索勾股定理.這樣既能帶領學生了解公式的形成與推導過程,進而將之熟記于心;又能幫助學生感受數(shù)學家探索著推導并證明公式定理的不易,體會數(shù)學的抽象性和嚴謹性的特點.

數(shù)學思想方法教學中,數(shù)學史融入數(shù)學教學的策略是:結合基礎課堂滲透史料,引導上升提煉思想方法.數(shù)學思想方法是數(shù)學的精華,是對數(shù)學本質和數(shù)學規(guī)律的認識,如果說數(shù)學概念和數(shù)學公式定理是“魚”,那么數(shù)學思想方法就是“漁”,所謂授人以魚不如授人以漁,掌握了數(shù)學思想方法,便是掌握了學習數(shù)學的根本.也正因如此,教師不可能一股腦兒地將數(shù)學的思想方法這種上層的東西直接傾注給學生,而應以學生能接受的、“接地氣”的方式,結合基礎課堂來滲透數(shù)學史料中的數(shù)學思想方法,并在此基礎上,引導學生“往上走”,總結提煉數(shù)學思想方法,為自己所用.例如數(shù)形結合思想的教學,便可以將其落到平面直角坐標系的課堂中,在課堂教學中向學生介紹數(shù)學家笛卡爾對坐標系發(fā)展做出的貢獻,并指出平面直角坐標系其實是數(shù)形結合思想的體現(xiàn)和具體應用.以這種方式滲透數(shù)學思想方法,能加深學生對數(shù)學思想方法的理解,促使學生應用數(shù)學思想方法解決實際問題.

1.2 根據(jù)學習階段,數(shù)學史融入數(shù)學教學策略分析

不同學習階段學生的心理特征和認知方式是不同的,所以針對不同學習階段的學生,數(shù)學史融入數(shù)學教學的策略也有所不同.

小學階段,學生的心理以模仿為主,這一階段將數(shù)學史融入數(shù)學教學的目的主要是利用數(shù)學家的榜樣效應,幫助學生培養(yǎng)良好的、有助于以后的學習和發(fā)展的學習習慣.因此,小學階段將數(shù)學史融入數(shù)學教學要注重多多介紹數(shù)學家們的習慣、品性.此外,由于小學階段要著重考慮激發(fā)學生的學習興趣,因此呈現(xiàn)數(shù)學史的方式要以圖片、視頻為主.

初中階段,相比小學來說學習內容增加,課堂節(jié)奏加快,為防止學生因此產(chǎn)生厭學情緒,可以以趣味數(shù)學史故事來激發(fā)并保持學生的學習興趣.此外,由于初中生理解能力相對增強,因此呈現(xiàn)數(shù)學史的方式可以是文字為主,圖片為輔的形式.

高中階段,學生的學習自律性已基本得到保證.這一階段學生學習的關鍵是完成由“學會”到“會學”的轉變,因此,將數(shù)學史融入數(shù)學教學,要注意總結數(shù)學史發(fā)展中的數(shù)學思想方法,幫助學生掌握并運用數(shù)學思想方法自主學習.

2 “無理數(shù)”相關數(shù)學史料

依據(jù)“無理數(shù)”在教材中的安排可知,“無理數(shù)”屬于初中階段的概念學習.因此,根據(jù)上文分析,“無理數(shù)”相關的數(shù)學史融入數(shù)學教學,應基于“無理數(shù)”相關數(shù)學史實,探尋“無理數(shù)”概念根源.基于此,首先將數(shù)學史上“無理數(shù)”概念的發(fā)生發(fā)展過程介紹如下.

2.1 無理數(shù)的發(fā)現(xiàn):不可公度量的存在

在無理數(shù)概念產(chǎn)生之前,人們一直堅信古希臘數(shù)學家畢達哥拉斯提出的“萬物皆數(shù)說”.這里的“數(shù)”指的是有理數(shù).從幾何上解釋,即對于給定的任意兩條線段,總有第三條線段,它以整數(shù)次量完這兩條線段,希臘人稱這樣的兩條線段為“可公度量”[3].然而,畢達哥拉斯的學生希帕索斯發(fā)現(xiàn)正方形的一邊與對角線之間是不可公度的.這一發(fā)現(xiàn)在邏輯上動搖了畢氏學派一直信仰的“萬物皆數(shù)說”,數(shù)學的發(fā)展遇到了困難,史稱“第一次數(shù)學危機”.

2.2 無理數(shù)的發(fā)展:“量”與“數(shù)”的分離

希帕索斯的發(fā)現(xiàn)使得古希臘數(shù)學的發(fā)展進入了停滯狀態(tài),直到公元前4世紀,歐多克斯對比例論進行了新的解釋,他將“量”與“數(shù)”分離開來,認為像這樣的數(shù)只能作為幾何上的“量”來理解,在代數(shù)上是不存在的.由此可見,歐多克斯的這種將“量”與“數(shù)”分離開來的做法使不可公度量這一邏輯矛盾得到暫時緩解,但并沒有真正認同無理數(shù)是真實存在的數(shù).

2.3 無理數(shù)定義的形成:堅實的小數(shù)及實數(shù)理論基礎

1872年,德國數(shù)學家戴德金用“分割”的方法定義了無理數(shù),并建立了實數(shù)理論[3].之后,施篤茲證明了每一個無理數(shù)都可以表示成無限不循環(huán)小數(shù)[3].至此,無理數(shù)被數(shù)學家真正接受,無理數(shù)的概念被正式引入,無理數(shù)的兩種定義(兩種等價表征)也被認可,這兩種定義分別為:不能表示成兩個整數(shù)之比的數(shù)稱為無理數(shù);無理數(shù)即無限不循環(huán)小數(shù).

綜上,將“無理數(shù)”相關的數(shù)學史融入數(shù)學教學,應注意以文字為主、圖片為輔的方式,著重闡釋“無理數(shù)”概念的產(chǎn)生背景、發(fā)展歷程.所以,要結合數(shù)學史上無理數(shù)的發(fā)生發(fā)展過程,創(chuàng)設相應的可以促使學生參與其中的問題情境,并鼓勵學生自己歸納總結出“無理數(shù)”概念的定義及本質.

3 數(shù)學史融入“無理數(shù)”概念教學的教學設計示例

對于無理數(shù)概念教學,首先,學生可能不理解引入無理數(shù)的必要性;其次,學生可能對無理數(shù)的兩種等價表征的理解不夠深刻.鑒于上述原因,筆者認識到應以史為鑒,將數(shù)學史上無理數(shù)的發(fā)展歷程融入實際教學.在新知引入環(huán)節(jié),先從不可公度量出發(fā),創(chuàng)設問題情境,引入無理數(shù)概念;進而在新知探究環(huán)節(jié),分別針對無理數(shù)的兩種等價表征即“不能表示成兩個整數(shù)之比”和“無限不循環(huán)”創(chuàng)設問題情境,加深學生對無理數(shù)概念的理解.

3.1 新知引入

“無理數(shù)”概念教學安排在七年級下冊“實數(shù)”這一章節(jié),在此之前,同學們已經(jīng)學習了有理數(shù)的概念.在學生看來,有理數(shù)已經(jīng)足夠完滿了,為何要引入無理數(shù)呢?除非有特別充分的來由,這個來由就是不可公度量的存在[3].數(shù)學史上,希帕索斯發(fā)現(xiàn)正方形的一邊與其對角線之間不可公度,基于此,并結合實際,在課堂的引入環(huán)節(jié),創(chuàng)設問題情境如下:

問題情境1:同學們拿出紙、直尺等工具,動手操作一下,試試看能不能用兩個面積為1 的小正方形拼成一個面積為2 的大正方形呢?大正方形的邊長是多少?它跟我們之前學過的數(shù)一樣嗎?

圖1

【設計意圖】數(shù)學史上,希帕索斯是根據(jù)“邊長為1 的正方形的對角線長度是多少”發(fā)現(xiàn)并探索無理數(shù)的,但實際教學中,若是直接將這個問題拋給學生,便會失去發(fā)現(xiàn)性與探究性.因此,將問題進行轉化在帶領學生動手操作的過程中引入無理數(shù)的概念.鑒于在學無理數(shù)概念之前,學生已經(jīng)學過平方根,所以同學們可由大正方形的面積為2,對2開平方根,求出大正方形的邊長為.這時候,教師引導學生思考“與之前學過的數(shù)一樣嗎?”學生自然會想到之前學過的數(shù)即有理數(shù),有理數(shù)的定義為:整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù).然而看起來既不是整數(shù)也不是分數(shù),所以它不屬于有理數(shù),那么怎么稱呼它呢?同學們很容易由“有”想到“無”,所以,我們把這樣的數(shù)稱為“無理數(shù)”,無理數(shù)概念引入完畢.

3.2 新知探究

引入環(huán)節(jié)對2 既不是整數(shù)也不是分數(shù)的判定只是通過“看起來”的方式,到底是不是這樣,下面便可以對此進行探究.分別從“不能表示成兩個整數(shù)之比”與“無限不循環(huán)”兩個方面,創(chuàng)設相應的問題情境,闡釋無理數(shù)概念的定義及本質.

【設計意圖】在得出無理數(shù)的第一種定義之后,要引導學生總結無理數(shù)“無限不循環(huán)”的定義.學生手頭上有計算器,可能會想到用計算器輸入,得出的值為1.414213562,再算1.414213562 的平方會發(fā)現(xiàn)1.4142135622=1.9999999999,也就是說1.414213562 只是的近似值而不是精確值.然后老師介紹希帕索斯所用的“估數(shù)法”:因為1＜＜2,所以可以找1 和2 之間的哪一個小數(shù)平方后等于2 或最接近2,比如從1.4 和1.5 開始,1.42=1.96,1.52=2.25,所以要在1.4 和1.5 之間再找,這樣一步步找下去,便可得到近似值的螺旋圖.螺旋圖如下圖所示.

圖2

之后的新知鞏固、課堂小結、布置作業(yè)環(huán)節(jié)則略去,不再贅述.

3.3 教學反思

數(shù)學史融入數(shù)學教學對教師和學生來說均有諸多便利,教師在實際教學中,若要將某一知識相關的數(shù)學史融入教學,就必須對數(shù)學史上此知識的發(fā)生發(fā)展歷程有深刻把握.例如這里的無理數(shù)概念教學,則要求教師深刻理解并感悟無理數(shù)相關的數(shù)學史內容,了解數(shù)學史中無理數(shù)的產(chǎn)生與發(fā)展經(jīng)歷了三個主要階段,其間的關鍵連接點分別是:不可公度量的存在、無理數(shù)的兩種等價表征.因此,在教師的教學設計中,便要結合數(shù)學史重點講解這方面的內容.此外,教師還要認識到,教學中的幾個關鍵問題情境對于學生來說,依靠自己當時的認知水平是難以想到的,教師要以史為鑒,與學生進行心理上的換位[4],把握學生在學習中可能遇到的困難,并在教學設計中加以突破.

4 結束語

數(shù)學史是數(shù)學文化的重要組成部分,是數(shù)學學科寶貴的財富.教師應當認識到數(shù)學史的教育價值,并有意識的了解、學習數(shù)學史,提升自身數(shù)學素養(yǎng)與教學水平,進而在實際教學中根據(jù)知識類型的不同、學生所處學段的不同等,采取相應的策略,以合適的方式將數(shù)學史融入教學設計中,幫助學生對于數(shù)學知識的學習不僅能知其然,更能知其所以然,做到真正的了解數(shù)學、愛上數(shù)學.