陳學(xué)偉，秦進(jìn)，周穎靚

(中南大學(xué) 交通運(yùn)輸工程學(xué)院，湖南 長沙 410075)

近年來，我國各類自然災(zāi)害頻發(fā)，對(duì)社會(huì)和經(jīng)濟(jì)發(fā)展造成了嚴(yán)重破壞。由于災(zāi)害具有突發(fā)性，在目前條件下還很難對(duì)其進(jìn)行控制和預(yù)防，因此如何保障災(zāi)后救援和疏散等活動(dòng)[1]，成為當(dāng)前災(zāi)害應(yīng)急管理研究中的熱點(diǎn)問題之一。交通網(wǎng)絡(luò)是災(zāi)后救援中發(fā)揮著巨大的作用[2]。但是其基礎(chǔ)設(shè)施在受災(zāi)區(qū)域內(nèi)也會(huì)受到損毀。從減災(zāi)和防災(zāi)角度出發(fā)，有必要在災(zāi)前對(duì)交通基礎(chǔ)設(shè)施進(jìn)行養(yǎng)護(hù)和加固，以提高其抗毀能力和保證災(zāi)后的服務(wù)能力。近年來，專家學(xué)者就交通網(wǎng)絡(luò)的應(yīng)急預(yù)防護(hù)問題開展了廣泛的探討。CHU 等[3]提出兩階段隨機(jī)模型，最大限度提高公路網(wǎng)絡(luò)的連通可靠性。LIU等[4]研究多條公路橋梁運(yùn)輸系統(tǒng)的魯棒性和彈性，確保在未來的地震損失降至最小。YAN等[5]在預(yù)算有限的條件下，加強(qiáng)對(duì)中國鐵路系統(tǒng)的投資，來最小化地震災(zāi)害造成的系統(tǒng)服務(wù)損失。YüCEL等[6]提出災(zāi)前投資決策來加強(qiáng)網(wǎng)絡(luò)的路段結(jié)構(gòu)，通過降低路段受損概率來提高災(zāi)后網(wǎng)絡(luò)可達(dá)性。在國內(nèi)外相關(guān)研究中，都是將路段加固狀態(tài)定義為0?1 變量，即僅考慮加固和不加固2 種狀態(tài)。但是在實(shí)際工作中，根據(jù)相關(guān)工程作業(yè)標(biāo)準(zhǔn)，路段的養(yǎng)護(hù)是可以按照不同等級(jí)進(jìn)行不同程度的加固[7]，相應(yīng)的其在災(zāi)害中的受損情況也并不一致。本文結(jié)合實(shí)際工程標(biāo)準(zhǔn)，研究不確定環(huán)境下的交通網(wǎng)絡(luò)應(yīng)急預(yù)防護(hù)優(yōu)化決策方案。

1 問題分析

為了有效應(yīng)對(duì)自然災(zāi)害給交通網(wǎng)絡(luò)所帶來的不確定風(fēng)險(xiǎn)，需要考慮在災(zāi)害發(fā)生前，選擇對(duì)交通網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行養(yǎng)護(hù)加固等預(yù)防護(hù)方案，以應(yīng)對(duì)各種災(zāi)害情景，此即不確定環(huán)境下交通網(wǎng)絡(luò)應(yīng)急預(yù)防護(hù)優(yōu)化問題。災(zāi)前養(yǎng)護(hù)和災(zāi)后維修通常需要大量的經(jīng)濟(jì)成本。極度嚴(yán)重的災(zāi)害通常發(fā)生的概率極低，將交通網(wǎng)絡(luò)的所有路段養(yǎng)護(hù)加固到可以承受此類災(zāi)害的程度，會(huì)導(dǎo)致無法承受的支出。加之養(yǎng)護(hù)預(yù)算有限，如何合理分配有限的預(yù)算從而使交通網(wǎng)絡(luò)的預(yù)防護(hù)效果最大化是該領(lǐng)域的關(guān)鍵問題。

為提高交通網(wǎng)絡(luò)在災(zāi)害中的抗毀能力，更有效地保證其災(zāi)后的運(yùn)輸服務(wù)質(zhì)量，考慮在災(zāi)前對(duì)路段等關(guān)鍵基礎(chǔ)設(shè)施進(jìn)行養(yǎng)護(hù)加固等預(yù)防護(hù)方案。交通網(wǎng)絡(luò)應(yīng)急預(yù)防護(hù)優(yōu)化決策方案的關(guān)鍵目標(biāo)是確定有限預(yù)算下交通網(wǎng)絡(luò)各路段的養(yǎng)護(hù)等級(jí)。根據(jù)《公路養(yǎng)護(hù)技術(shù)規(guī)范》[8]對(duì)養(yǎng)護(hù)工程的規(guī)定，本文將養(yǎng)護(hù)等級(jí)分為0～4 共5 級(jí)，分別對(duì)應(yīng)不養(yǎng)護(hù)、小修、中修、大修和改建5級(jí)養(yǎng)護(hù)工程。同時(shí)考慮了預(yù)算成本、網(wǎng)絡(luò)連通性、旅行時(shí)間、通行能力等因素，從數(shù)學(xué)角度最小化災(zāi)前養(yǎng)護(hù)加固成本和災(zāi)后修復(fù)費(fèi)用期望成本。通過優(yōu)化分析確定最優(yōu)養(yǎng)護(hù)方案，可以保證以最小的成本費(fèi)用取得最大的防護(hù)效果，對(duì)災(zāi)后的救援、疏散及恢復(fù)有重大的意義。

2 模型構(gòu)建

2.1 問題假設(shè)

為方便模型建立，可作如下合理假設(shè)：

1)假設(shè)災(zāi)害情景的發(fā)生概率是已知的；2)假設(shè)不受災(zāi)害影響的路段集合是已知的，該集合中的路段不需要進(jìn)行養(yǎng)護(hù)加固。受災(zāi)害影響的路段集合則需要考慮在災(zāi)前進(jìn)行養(yǎng)護(hù)加固；3)假設(shè)在受災(zāi)害影響的路段集合中，未養(yǎng)護(hù)的路段在災(zāi)害下毀壞，不能通行；已養(yǎng)護(hù)的路段在災(zāi)害下受損，路段連通但通行能力下降；4)假設(shè)災(zāi)害發(fā)生后交通網(wǎng)絡(luò)的出行需求較災(zāi)前發(fā)生變化；5)假設(shè)災(zāi)后的人員疏散和救援工作是有序組織和開展的。

2.2 變量定義

G(N,A)：交通網(wǎng)絡(luò)；N：交通網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)集合；A：交通網(wǎng)絡(luò)中的路段集合，A=A1∪A2；A1：不受災(zāi)害影響的路段集合；A2：受災(zāi)害影響的路段集合；W：交通網(wǎng)絡(luò)中所有OD對(duì)集合；Ω：所有可能災(zāi)害情景的集合；ω：交通網(wǎng)絡(luò)可能面臨的災(zāi)害情景，ω∈Ω；Pω：災(zāi)害情景ω發(fā)生的概率，xa：路段a上的流量，a∈A；ca：路段a上的通行能力，a∈A；：路段a的自由流阻抗，a∈A；ta(xa,ca)：路 段a的交通阻抗，a∈A；qij：OD對(duì)[i,j]間的交通需求量，[i,j]∈N；Kij：OD對(duì)[i,j]間的有效路徑集，[i,j]∈N；：OD對(duì)[i,j]間的路徑k(k∈Kij)的流量，[i,j]∈N；σa：路段a的單位長度養(yǎng)護(hù)成本，a∈A；τa：路段a的單位長度修復(fù)成本，a∈A；la：路段a的長度，a∈A；ε：交通網(wǎng)絡(luò)應(yīng)急預(yù)防護(hù)的預(yù)算上限；T0：災(zāi)害發(fā)生前的交通網(wǎng)絡(luò)總阻抗；Aω：災(zāi)害情景ω下的有效路徑集，ω∈Ω；Tω：災(zāi)害情景ω下的交通網(wǎng)絡(luò)總阻抗，其中ω∈Ω。

決策變量和狀態(tài)變量定義如下。

ωa：災(zāi)害ω發(fā)生時(shí)路段a未受到影響，則為1，反之為0。

ya：路段a預(yù)防護(hù)決策變量，即對(duì)路段a的養(yǎng)護(hù)等級(jí)。

n：0?4的5類養(yǎng)護(hù)等級(jí)，分別對(duì)應(yīng)不養(yǎng)護(hù)、小修、中修、大修和改建5級(jí)養(yǎng)護(hù)工程。

ya：若a∈A2，則ya等于n，若a∈A1，則ya等于0。

θa(ω)：路段a在災(zāi)害情景ω下?lián)p壞的概率。其中，?a(ω)表示已經(jīng)改建(ya=4)的路段a在災(zāi)害情景ω下?lián)p壞的概率，ξa(ω)表示未經(jīng)養(yǎng)護(hù)(ya=0)的路段a在災(zāi)害情景ω下?lián)p壞的概率。

λ：以ya為自變量的分段函數(shù)。

表1 λ關(guān)于ya的分段函數(shù)Table 1 λ piecewise function with respect toya

根據(jù)路段a在災(zāi)害情景ω下的風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)ωa和其預(yù)養(yǎng)護(hù)決策ya，確定災(zāi)后路段a的連通狀態(tài)π(ωa,ya)：

π(ωa,ya)：路段a在災(zāi)后仍保持連通，則為1(?a∈A1或?a∈A2,ya≠0)；反之，則為0，處于非連通狀態(tài)(?a∈A2)。

β：經(jīng)過5級(jí)養(yǎng)護(hù)工程后的路段a(?a∈A2)在災(zāi)害情景ω下的受損程度，可根據(jù)先驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)得出[9]。

C(ωa,ya)：根據(jù)路段a在災(zāi)害情景ω下的風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)ωa和其預(yù)防護(hù)決策變量ya，可以確定路段a的災(zāi)后通行能力[10]。當(dāng)災(zāi)害情景ω發(fā)生時(shí)，若路段a不受災(zāi)害影響(?a∈A1)，其災(zāi)后通行能力仍為ca。若路段a受災(zāi)害影響(?a∈A2)，此時(shí)路段a的受損程度為β，其災(zāi)后通行能力降為ca?(1-β)。

2.3 優(yōu)化模型

針對(duì)研究問題，建立交通網(wǎng)絡(luò)應(yīng)急預(yù)防護(hù)雙層規(guī)劃模型，其中上層模型為交通網(wǎng)絡(luò)應(yīng)急預(yù)防護(hù)決策模型，下層模型由各災(zāi)害情景下具有不同網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的交通均衡配流模型構(gòu)成。優(yōu)化決策將總成本最小化作為優(yōu)化目標(biāo)。

由此，交通網(wǎng)絡(luò)應(yīng)急預(yù)防護(hù)雙層規(guī)劃模型可以描述如下。

上層交通網(wǎng)絡(luò)應(yīng)急預(yù)防護(hù)決策模型：

式(2)總成本包含災(zāi)前養(yǎng)護(hù)加固成本和災(zāi)后修復(fù)期望費(fèi)用。式(3)確保至少存在一條路徑k中的所有路段a的災(zāi)后連通狀態(tài)π(ωa,ya)=1。式(4)確保任意OD對(duì)[i,j]的應(yīng)急旅行時(shí)間與正常旅行時(shí)間的比值不超過時(shí)間可靠性系數(shù)γt。式(5)路段a的流量不超過該路段的災(zāi)后通行能力。式(6)滿足養(yǎng)護(hù)預(yù)算約束。式(7)為養(yǎng)護(hù)等級(jí)。

下層交通均衡配流模型：

上層模型的優(yōu)化目標(biāo)是最小化交通網(wǎng)絡(luò)的災(zāi)前養(yǎng)護(hù)加固成本和災(zāi)后修復(fù)期望費(fèi)用，同時(shí)考慮預(yù)算約束、網(wǎng)絡(luò)連通性約束、旅行時(shí)間可靠性約束、路段通行能力約束和決策變量的取值約束。災(zāi)害情景集合為Ω，即交通網(wǎng)絡(luò)可能面臨|Ω|種災(zāi)害情景，可能具有|Ω|種災(zāi)后網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。為滿足|Ω|個(gè)災(zāi)后固定需求，下層交通均衡配流模型用來描述災(zāi)區(qū)人員的避險(xiǎn)路徑選擇行為。μω是災(zāi)害情景ω下出行需求矩陣影響因子。系統(tǒng)將略去擁擠效應(yīng)，路段上的阻抗不隨流量變化，司機(jī)將選擇一對(duì)節(jié)點(diǎn)之間的最小阻抗路徑。因此下層模型可以使用“全有全無”算法進(jìn)行求解。該模型上下層的聯(lián)系在于上層模型中各路段的阻抗由下層模型求得。由此，上層的交通網(wǎng)絡(luò)應(yīng)急預(yù)防護(hù)決策模型和下層的交通均衡配流模型共同構(gòu)成交通網(wǎng)絡(luò)應(yīng)急預(yù)防護(hù)決策優(yōu)化雙層規(guī)劃模型。

3 算法求解

本問題屬于NP 難問題，難以用精確算法和商業(yè)軟件進(jìn)行求解。本文研究基于Frank-Wolfe 的模擬退火算法(Simulated Annealing,SA)來設(shè)計(jì)本問題的求解方法。SA 算法具有使用靈活、描述方便、容易實(shí)現(xiàn)及計(jì)算效率高等特點(diǎn)，故選擇SA 算法對(duì)上層交通網(wǎng)絡(luò)應(yīng)急預(yù)防護(hù)決策模型進(jìn)行求解。選擇Frank?Wolfe 算法對(duì)下層交通均衡配流模型進(jìn)行求解[11]。SA 算法的關(guān)鍵是鄰域構(gòu)造。本研究采用變換1條路段的養(yǎng)護(hù)等級(jí)的方法進(jìn)行鄰域構(gòu)造，圖1和圖2描述了上述領(lǐng)域操作。

圖1 當(dāng)前解YFig.1 Current solutionY

圖2 鄰域解Y1Fig.2 Neighborhood solutionY1

求解上層模型的SA算法[12]的詳細(xì)步驟如下。

Step 1：設(shè)置參數(shù)初始值。設(shè)置初始溫度t0，溫度下降比例為a，終止溫度tf，同一溫度下迭代限制次數(shù)L，初始迭代次數(shù)l=1。利用Frank?Wolfe 算法[19]對(duì)初始交通網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行平衡配流，得到各路段阻抗ta(xa,ca)。

Step 2：確定當(dāng)前解和目標(biāo)函數(shù)S0。生成初始解-Y；獲得災(zāi)害情景下的交通網(wǎng)絡(luò)，數(shù)量為|Ω|，得到各路段連通狀態(tài)和通行能力。利用下層模型進(jìn)行平衡配流，得到各路段阻抗ta(xa,C(ωa,ya))和流量xa；判斷的可行性。若滿足上層模型約束條件，令當(dāng)前解并計(jì)算上層模型初始目標(biāo)函數(shù)S0；否則，重復(fù)Step 2。

Step 3：構(gòu)造鄰域解根據(jù)給定的鄰域構(gòu)造方法，得到當(dāng)前解的一個(gè)鄰域解確定預(yù)防護(hù)后各災(zāi)害情景下的|Ω|個(gè)交通網(wǎng)絡(luò)，利用下層模型進(jìn)行均衡配流，得到各災(zāi)害情境下各路段的阻抗和流量；判斷的可行性。若滿足約束條件，轉(zhuǎn)Step 4；否則，重復(fù)Step 3。

Step 4：計(jì)算鄰域解的目標(biāo)函數(shù)值S1。根據(jù)所得可行鄰域解，計(jì)算上層模型的目標(biāo)函數(shù)S1。

Step 5：根據(jù)Metropolis 準(zhǔn)則判斷是否接受鄰域解為當(dāng)前解。計(jì)算ΔS1-S0。若ΔS0≤0，則接受鄰域解為當(dāng)前解，令,S0=S1。若ΔS0 >0，較劣解的接受概率為p(?)=exp(-ΔS/ti)，從區(qū)間(0,1)隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)數(shù)值γ，若γ

Step 6：同一溫度進(jìn)行迭代。令l=l+1。若l≥L，轉(zhuǎn)Step 7；否則返回Step 3。

Step 7：降溫。根據(jù)降溫規(guī)則，將當(dāng)前溫度值調(diào)整為ti+1=a?ti。

Step 8：判斷收斂性。若當(dāng)前溫度ti+1

4 算例分析

4.1 算例簡述

某災(zāi)害風(fēng)險(xiǎn)地區(qū)的交通網(wǎng)絡(luò)如圖3所示，該網(wǎng)絡(luò)共有20 個(gè)節(jié)點(diǎn)，31 條路段，路段雙向均有交通流。路段編號(hào)和節(jié)點(diǎn)編號(hào)如圖，括號(hào)內(nèi)的數(shù)值分別表示該路段的長度、通行能力和自由流阻抗，格式為

圖3 算例交通網(wǎng)絡(luò)Fig.3 Example transportation network

交通網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)OD對(duì)間的出行需求是非對(duì)稱的，具體數(shù)值如表2所示。

表2 5級(jí)養(yǎng)護(hù)工程后災(zāi)害下路段的受損情況Table 2 Damage situation of road section after disaster after the fifth-level maintenance project

表4～5 表示各災(zāi)害情景下，災(zāi)害發(fā)生的概率及路段的損壞情況，μω是災(zāi)害情景ω下出行需求矩陣影響因子?！?”表示未養(yǎng)護(hù)路段在災(zāi)害中未受損，反之則用“0”表示。

表3 OD出行需求Table 3 OD travel requirements

表4 各災(zāi)害發(fā)生概率及1～10號(hào)路段損壞情況Table 4 Probability of various disasters and damage of No.1～10 road sections

表5 各災(zāi)害發(fā)生概率及11～20號(hào)路段損壞情況Table 5 Probability of various disasters and damage of No.11～20 road sections

4.2 算例結(jié)果及分析

網(wǎng)絡(luò)中路段阻抗的計(jì)算，采用通用的BRP 函數(shù)，其中k1,k2為常數(shù)，一般取k1=0.15,k2=4.0。設(shè)置交通網(wǎng)絡(luò)應(yīng)急預(yù)防護(hù)的預(yù)算上限ε=5 500，時(shí)間可靠性系數(shù)γt取0.8。同時(shí)設(shè)置模擬退火算法的初始溫度t0=1 000，降溫系數(shù)a=0.9，同溫度迭代限制次數(shù)L=100，算法終止溫度tf=0.01，較劣解p的接受概率取0.65。本文設(shè)計(jì)基于模擬退火算法和Frank-Wolfe 算法的求解方法，運(yùn)用MATLAB 軟件對(duì)模型進(jìn)行計(jì)算?？梢缘玫綖?zāi)前路段養(yǎng)護(hù)加固成本和災(zāi)后修復(fù)費(fèi)用的期望成本為S=4 819.73。算例結(jié)果如表8所示。

表6 各災(zāi)害發(fā)生概率及21～31號(hào)路段損壞情況Table 6 Probability of various disasters and damage of No.21～31 road section

表7 單位長度路段不同養(yǎng)護(hù)等級(jí)養(yǎng)護(hù)加固費(fèi)用和維修費(fèi)用Table 7 Maintenance and reinforcement costs and maintenance costs of different levels per unit length of road section

表8 算例結(jié)果Table 8 Calculation results

求解的最優(yōu)應(yīng)急預(yù)防護(hù)方案為：

分析該方案是否滿足資金約束條件限制。災(zāi)前養(yǎng)護(hù)加固成本為3 002.6，小于路段養(yǎng)護(hù)加固預(yù)算上限5 500，故該方案滿足資金約束條件。

分析該方案是否滿足連通性約束條件限制。因OD對(duì)數(shù)較多，一一驗(yàn)證不太現(xiàn)實(shí)，故選取其中3 對(duì)進(jìn)行分析。如9 所示，OD對(duì)(2,10)，(13,17)和(19,20)間均存在至少一條連通路徑，故滿足連通性約束。

分析該方案是否滿足通行能力約束。以災(zāi)害情景ω1為例，路段流量和路段通行能力的比值關(guān)系如圖4所示。圖例中，交通流起點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)編號(hào)小于終點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)編號(hào)，該路段稱為正向路段，反之稱為反向路段。當(dāng)路段完全損毀，即不連通時(shí)，該路段無法通行，通行能力降為0，該路段的流量為0，滿足約束。如圖4 所示，路段流量和路段通行能力的比值均小于1，滿足通行能力約束。

圖4 災(zāi)害情景ω1下各路段的x/cFig.4 Various road sectionsx/cunder the disaster scenario ω1

分析該方案是否滿足旅行時(shí)間可靠性約束。由假設(shè)可知，司機(jī)將選擇一對(duì)節(jié)點(diǎn)之間的最小阻抗路徑。選取OD對(duì)(17,13)和(19,20)進(jìn)行分析，如表9所示。

表9 連通性約束Table 9 Connectivity constraints

當(dāng)路段完全損毀，即不連通時(shí)，該路段無法通行，路段旅行時(shí)間為∞，但該路段一定不處于連接OD對(duì)的路徑上，故為0，滿足約束。OD對(duì)(17,13)和(19,20)間災(zāi)后最小阻抗路徑的旅行時(shí)間與災(zāi)前最小阻抗路徑的旅行時(shí)間的比值均小于0.8，滿足旅行時(shí)間可靠性約束。

表10 旅行時(shí)間可靠性約束Table 10 Travel time reliability constraints

5 結(jié)論

1) 針對(duì)交通網(wǎng)絡(luò)應(yīng)急預(yù)防護(hù)問題，提出交通網(wǎng)絡(luò)預(yù)防護(hù)雙層規(guī)劃模型，設(shè)計(jì)基于Frank-Wolfe的模擬退火算法進(jìn)行求解，以某受災(zāi)區(qū)域?yàn)槔M(jìn)行分析，優(yōu)化結(jié)果良好，具有較好的運(yùn)算效率和收斂性。提出的方法為決策者提供理論依據(jù)。算例分析表明，養(yǎng)護(hù)后的交通網(wǎng)絡(luò)在災(zāi)害下的抗毀能力大為提高。同一災(zāi)害情景下，災(zāi)后網(wǎng)絡(luò)連通性、路段通行能力和旅行時(shí)間可靠性等指標(biāo)與未經(jīng)養(yǎng)護(hù)的交通網(wǎng)絡(luò)相比，其性能更為突出。

2)當(dāng)前既有研究僅將路段考慮加固和不加固2種狀態(tài)。但現(xiàn)實(shí)生活中，受到養(yǎng)護(hù)成本等一系列因素的限制，對(duì)交通網(wǎng)絡(luò)的每一路段進(jìn)行最高程度的加固并不現(xiàn)實(shí)。本文提出將養(yǎng)護(hù)等級(jí)細(xì)分為0～4 共5 級(jí)，分別對(duì)應(yīng)5 級(jí)養(yǎng)護(hù)工程，增加了模型的現(xiàn)實(shí)可行性，為養(yǎng)護(hù)優(yōu)化方案提供了更多的可能性。