【摘要】在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)行為學(xué)范疇，以觀(guān)摩課教學(xué)片斷為行動(dòng)載體，確立虛擬認(rèn)知環(huán)境，探討“微觀(guān)教學(xué)論”的實(shí)踐路徑.微觀(guān)教學(xué)論涵蓋類(lèi)比、聯(lián)想和預(yù)見(jiàn)，涉及觀(guān)察、實(shí)驗(yàn)、抽象與歸納等認(rèn)知先行工具和二級(jí)因素因子.通過(guò)對(duì)“微觀(guān)教學(xué)論”的恰當(dāng)研究，實(shí)現(xiàn)“學(xué)好數(shù)學(xué)、學(xué)會(huì)審美”等高層次認(rèn)知目標(biāo)和高產(chǎn)出認(rèn)知行為，促進(jìn)“微觀(guān)學(xué)”的充分發(fā)展.

【關(guān)鍵詞】微觀(guān)教學(xué);數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn);聯(lián)想預(yù)見(jiàn);虛擬認(rèn)知環(huán)境

《呂氏春秋·慎大覽第三》中《察今》一文指出，“察今可以知古”，以古察今，以所見(jiàn)知所不見(jiàn).就數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)來(lái)說(shuō)，“察”就是觀(guān)察與實(shí)驗(yàn).歐拉說(shuō)，“數(shù)學(xué)這門(mén)科學(xué)，需要觀(guān)察，還需要實(shí)驗(yàn)”.高斯也說(shuō)，他的許多定理都是靠歸納發(fā)現(xiàn)的，證明只是補(bǔ)行的手續(xù).因此，觀(guān)察與實(shí)驗(yàn)是“微觀(guān)教學(xué)論”的一種通法，帶有“敲門(mén)磚”的色彩意義，給“數(shù)學(xué)理解”帶來(lái)不可替代的幫助.在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)行為學(xué)范疇，微觀(guān)教學(xué)論涵蓋類(lèi)比、聯(lián)想和預(yù)見(jiàn)，涉及觀(guān)察、實(shí)驗(yàn)、抽象與歸納等先行工具意識(shí)和二級(jí)因素因子.

當(dāng)然，微觀(guān)教學(xué)論是一種實(shí)踐性智慧.技藝精湛的數(shù)學(xué)教師，一般都需要研究“數(shù)學(xué)類(lèi)比、數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)猜想、數(shù)學(xué)歸納和數(shù)學(xué)預(yù)見(jiàn)”等微觀(guān)教學(xué)方法.只有這樣，方能讓學(xué)生在“類(lèi)比”中發(fā)現(xiàn)，在抽象中“預(yù)見(jiàn)”，在預(yù)見(jiàn)中“獲得實(shí)踐智慧和健康生長(zhǎng)”.在英國(guó)學(xué)者威廉姆看來(lái)，實(shí)踐性智慧是“行動(dòng)指向”（ActionOriented）、而非“結(jié)果指向”.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)作為“微觀(guān)教學(xué)論”的實(shí)踐智慧，其主要作用是幫助人們?nèi)绾涡袆?dòng).

本文以觀(guān)摩課教學(xué)片斷為行動(dòng)載體，在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)行為學(xué)范疇，探討微觀(guān)教學(xué)論的實(shí)踐方法與行為路徑（見(jiàn)圖1），落實(shí)“學(xué)好數(shù)學(xué)、學(xué)會(huì)審美”的高層次認(rèn)知目標(biāo)和高產(chǎn)出認(rèn)知行為.

1在“經(jīng)歷”中觀(guān)察與抽象，獲得直覺(jué)經(jīng)驗(yàn)的“調(diào)用”能力

“經(jīng)歷”是行為動(dòng)詞，是認(rèn)知觀(guān)察與認(rèn)知抽象的“觸發(fā)器”，是直覺(jué)經(jīng)驗(yàn)獲得與“調(diào)用”的有效途徑.譬如，從足球、魔方、禮品盒、易拉罐、斗笠等生活實(shí)物中抽象出球體、柱體和錐體的活動(dòng)過(guò)程，就是觀(guān)察與抽象的結(jié)果，就是一種認(rèn)知“經(jīng)歷”及其認(rèn)知心理活動(dòng).在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教育學(xué)范疇，“經(jīng)歷”是在特定的數(shù)學(xué)活動(dòng)中，獲得一些感性認(rèn)識(shí).這里的“感性認(rèn)識(shí)”就是一種直覺(jué)經(jīng)驗(yàn)，是經(jīng)歷、思考、知覺(jué)、表象等思維的概括狀態(tài).在教學(xué)論維度，“經(jīng)歷”至少涵蓋三個(gè)層面的意義：一方面，經(jīng)歷是一種觀(guān)察，有助于學(xué)生產(chǎn)生“從天而降”的認(rèn)知行為.在平時(shí)學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生能“猜出來(lái)”的心理根據(jù)就是觀(guān)察與經(jīng)歷.另一方面，經(jīng)歷是抽象的先行工具，是將“感性經(jīng)驗(yàn)”上升為“理性認(rèn)識(shí)”的必經(jīng)之途.像經(jīng)歷“火柴棒”拼小魚(yú)，建立代數(shù)關(guān)系及其方程模型（S=6n+2，其中n表示搭小魚(yú)的條數(shù)，S表示搭n條小魚(yú)所需火柴棒的根數(shù)），就是在“經(jīng)歷”中抽象的常見(jiàn)認(rèn)知樣例.第三方面，經(jīng)歷是知識(shí)遷移發(fā)生的心理前提，是新經(jīng)驗(yàn)得以順應(yīng)的必備條件，是學(xué)生提出問(wèn)題的思維橋梁，是學(xué)生獲得“客觀(guān)知識(shí)”和“精確結(jié)論”的有效手段.

當(dāng)然，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的根本任務(wù)是“提出問(wèn)題”和“學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)”.Silver指出，“問(wèn)題提出”一是從一個(gè)情境或經(jīng)驗(yàn)創(chuàng)造出新的問(wèn)題（觀(guān)察與抽象），二是對(duì)已經(jīng)給的問(wèn)題進(jìn)行新的闡述或構(gòu)想出新的問(wèn)題（類(lèi)比與聯(lián)想）.譬如，“圖形的密鋪”這一數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)設(shè)置的目的，原本是研究不同的多邊形能組合鋪設(shè)的條件，不經(jīng)意從中揭示出“二元一次方程正整數(shù)解”的問(wèn)題（如用邊長(zhǎng)相等的x塊正三角形地磚和y塊正方形地磚鋪設(shè)地面，可得60x+90y=360，由此可知，該二元一次方程正整數(shù)解，就是在同一個(gè)點(diǎn)鋪設(shè)地面需要的“正三角形”和“正四邊形”的塊數(shù)），就是構(gòu)想出新問(wèn)題的具體表現(xiàn).《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確指出，重視學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生體驗(yàn)從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、尋求結(jié)果、解決問(wèn)題的過(guò)程.其中，解決問(wèn)題的過(guò)程在很大程度上實(shí)現(xiàn)了提出問(wèn)題和“提出好問(wèn)題”的目標(biāo).而“經(jīng)歷”是在特定的數(shù)學(xué)活動(dòng)中，獲得一些感性認(rèn)識(shí)，是提出問(wèn)題的知覺(jué)條件.為此，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教育在“經(jīng)歷學(xué)習(xí)”層面需要關(guān)注三個(gè)方面的問(wèn)題：一是通過(guò)“畫(huà)圖”，“調(diào)用”緩存經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)直覺(jué)經(jīng)驗(yàn)的進(jìn)一步發(fā)展;二是通過(guò)“算圖”，促進(jìn)直覺(jué)經(jīng)驗(yàn)的有效轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)“落筆有據(jù)”的思維管理能力;三是通過(guò)“說(shuō)圖”，在知覺(jué)抽象的基礎(chǔ)上建立直覺(jué)表象，并以此提高數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)經(jīng)驗(yàn)二次“調(diào)用”的心理水平.正如文[1]指出的那樣，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)提高了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，提升了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)品格，促進(jìn)數(shù)學(xué)教師專(zhuān)業(yè)素養(yǎng)的發(fā)展，形成了初中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式轉(zhuǎn)變的“江蘇經(jīng)驗(yàn)”.

微觀(guān)教學(xué)清樣1

在研究“用相似三角形解決問(wèn)題”的概念形成“反應(yīng)塊”時(shí)，執(zhí)教者就是讓學(xué)生在經(jīng)歷中觀(guān)察，在觀(guān)察中抽象，在“調(diào)用”經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上獲得直覺(jué)經(jīng)驗(yàn)的調(diào)用能力.

具體實(shí)施過(guò)程如下：

首先呈現(xiàn)一些投影圖片，讓學(xué)生感知平行光線(xiàn)物理投影的本質(zhì)屬性和現(xiàn)實(shí)意義.

其次，借助課本上的一個(gè)診斷題（蘇科版《數(shù)學(xué)》九年級(jí)下冊(cè)第82頁(yè)“活動(dòng)與交流”），類(lèi)似于甲、乙、丙三人在同一時(shí)刻的太陽(yáng)光線(xiàn)下站立狀態(tài)，并給出甲的影長(zhǎng)，要求“根據(jù)物高與影長(zhǎng)成比例”原理，畫(huà)出此刻乙和丙的影長(zhǎng).

數(shù)學(xué)活動(dòng)

根據(jù)“物高與影子長(zhǎng)成比例”的原理，通過(guò)測(cè)量算出旗桿的高度、建筑物的高度.

最后，設(shè)置了兩個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)（見(jiàn)圖2），旨在讓學(xué)生經(jīng)歷觀(guān)察與測(cè)量操作，在抽象的基礎(chǔ)上，形成直覺(jué)經(jīng)驗(yàn)及其直覺(jué)經(jīng)驗(yàn)的調(diào)用能力.

就圖2（1）來(lái)說(shuō)，是關(guān)于“測(cè)量旗桿高度”的活動(dòng)剪影，該問(wèn)題可以這樣描述：在陽(yáng)光下，身高為1.68m的小麗在地面上的影長(zhǎng)為2m.在同一時(shí)刻，測(cè)得旗桿在地面上的影長(zhǎng)為18m.求旗桿的高度.

經(jīng)歷觀(guān)察與抽象不難獲得BE=18，CE=2，CD=1.68.根據(jù)“物高與影長(zhǎng)成比例”原理，可得數(shù)學(xué)關(guān)系A(chǔ)B∶BE=CD∶CE，即AB18=1.682，至此借助算理算法，獲得旗桿高度不困難（即旗桿AB的高度是15.12m）.

就圖2（2）來(lái)說(shuō)，是另一類(lèi)“測(cè)量建筑物高度”的活動(dòng)剪影，該問(wèn)題可以這樣描述：在同一時(shí)刻，太陽(yáng)光線(xiàn)經(jīng)過(guò)建筑物頂端A照射在地面C處的鏡子上，其反射光線(xiàn)經(jīng)過(guò)高為1.65m竹竿DE的頂端E，設(shè)BC、CD的長(zhǎng)分別為60m、3m.求這座建筑物的高度.

根據(jù)“光的反射原理”（即“入射角”等于“反射角”），不難知道△ABC∽△EDC，依據(jù)“相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例”的性質(zhì)，可得AB∶BC=ED∶DC，即AB60=1.653，由此可知該建筑物的高度是33m.

《利用GeoGebra軟件開(kāi)發(fā)高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課件》[2]一文指出，GeoGebra是一款“自由且跨平臺(tái)”的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件，可在“實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)、模型創(chuàng)建、輸入輸出、數(shù)據(jù)傳遞、界面優(yōu)化、試用修改、操作指南、技術(shù)積累”諸環(huán)節(jié)發(fā)揮重要的作用.筆者將PPT執(zhí)教平臺(tái)轉(zhuǎn)換為EN5智能技術(shù)認(rèn)知環(huán)境，能讓學(xué)生在恰當(dāng)?shù)奶摂M信息平臺(tái)，有效地經(jīng)歷“測(cè)量活動(dòng)”的真實(shí)場(chǎng)景，實(shí)現(xiàn)了“自由活潑、界面優(yōu)化”的學(xué)習(xí)目標(biāo).

如果說(shuō)，虛擬測(cè)量是一種“微觀(guān)學(xué)”的經(jīng)歷，則觀(guān)察與抽象是一種經(jīng)驗(yàn)“調(diào)用”的有效通道;如果說(shuō)“畫(huà)圖”是一種抽象，那么“算圖、說(shuō)圖”是一種直覺(jué)經(jīng)驗(yàn)得以調(diào)用的表現(xiàn).就這一認(rèn)識(shí)來(lái)說(shuō)，觀(guān)察與抽象是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教育生生不息的“思維細(xì)胞”，“經(jīng)歷”是形成直覺(jué)經(jīng)驗(yàn)和調(diào)用直覺(jué)經(jīng)驗(yàn)的行為機(jī)制的“思維砝碼”，是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)有效發(fā)生的思維“中樞”，需要舍得、用好、用足.

2在“體驗(yàn)”中歸納與類(lèi)比，獲得直覺(jué)思維的“監(jiān)控”能力

在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)法范疇，“微觀(guān)教學(xué)學(xué)”[3]的研究對(duì)象以“教學(xué)”為主，研究方法以“實(shí)證”和“體悟”為主，研究目標(biāo)以指導(dǎo)教學(xué)實(shí)踐為主.“數(shù)學(xué)歸納和數(shù)學(xué)類(lèi)比”是實(shí)證教學(xué)的先行思想工具，數(shù)學(xué)體驗(yàn)和“教好體驗(yàn)”是“體悟”認(rèn)知的心理基礎(chǔ).譬如，通過(guò)“繩長(zhǎng)井深問(wèn)題”“籃球比賽問(wèn)題”“年齡問(wèn)題”“天平稱(chēng)重問(wèn)題”的研究與抽象，建立不同形式的方程關(guān)系式，并對(duì)這些關(guān)系式的共性特征進(jìn)行提煉、揭示與歸納，然后給出“描述性概念”，即“像這樣……，叫做……”就是常見(jiàn)的數(shù)學(xué)歸納法.借助“一元一次方程”知識(shí)體系（概念、解法與應(yīng)用）研究“一元二次方程”知識(shí)體系的過(guò)程就是類(lèi)比，基于“線(xiàn)段的大小比較”（折紙、疊合與度量）研究“角的大小比較”也是類(lèi)比方法的恰當(dāng)使用.另外，數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)與概括需要?dú)w納，是“不完全歸納運(yùn)演”的常見(jiàn)樣例.當(dāng)然，歸納來(lái)源于數(shù)學(xué)體驗(yàn)，歸納與體驗(yàn)是一種“微觀(guān)學(xué)”的通用技術(shù)，真正知識(shí)的獲得、保持與遷移，離不開(kāi)歸納，更離不開(kāi)體驗(yàn).譬如，研究“物高與影長(zhǎng)成比例”原理時(shí)，讓學(xué)生在虛擬環(huán)境中體驗(yàn)同一時(shí)刻陽(yáng)光下的小樹(shù)高度與影長(zhǎng)的比存在定值，在相似變換思想的參與下，歸納得出“物高、影長(zhǎng)的關(guān)系原理”，這就是在體驗(yàn)中歸納的實(shí)踐樣例.一般情況下，“體驗(yàn)”是指參與特定的數(shù)學(xué)活動(dòng)，主動(dòng)認(rèn)識(shí)或驗(yàn)證對(duì)象的特征，獲得一些經(jīng)驗(yàn).數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)本身就是一種體驗(yàn)數(shù)學(xué)的好方法，能提高直覺(jué)經(jīng)驗(yàn)的轉(zhuǎn)化能力和恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行直覺(jué)“監(jiān)控”（你是怎么發(fā)現(xiàn)的？有沒(méi)有更好的解答方法？等），落實(shí)學(xué)透概念、學(xué)好數(shù)學(xué)的課程教育目標(biāo).

李大潛院士認(rèn)為，數(shù)學(xué)教育的本質(zhì)是素質(zhì)教育，學(xué)數(shù)學(xué)不是學(xué)定理、背公式，而是提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).提高“素養(yǎng)”不是憑空產(chǎn)生，需要參與體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)、需要?dú)w納和類(lèi)比，需要直覺(jué)經(jīng)驗(yàn)的監(jiān)控與調(diào)用.有素養(yǎng)，意味著成熟的數(shù)學(xué)教師都會(huì)在不斷的反問(wèn)監(jiān)控中，產(chǎn)生諸多新思想和新問(wèn)題，而這些新問(wèn)題、新路徑、新思想往往是類(lèi)比、歸納的思想產(chǎn)物.譬如，“打印紙中的數(shù)學(xué)”“測(cè)量旗桿的高度”“平面圖形的密鋪”“眼見(jiàn)未必為實(shí)”“數(shù)學(xué)與刺繡”等實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的確立都是直覺(jué)經(jīng)驗(yàn)得以監(jiān)控和調(diào)用的結(jié)果，是研究者善于歸納、善于類(lèi)比、善于進(jìn)行“有素養(yǎng)”教學(xué)的普遍形式.柯朗指出，一切數(shù)學(xué)的發(fā)展在心理上或多或少地是基于實(shí)際的（方程模型的建立就是基于實(shí)際應(yīng)用的需要），但理論一旦在實(shí)際的需要中出現(xiàn)，就不可避免地使它自身獲得發(fā)展的動(dòng)力，并超越出直接使用的局限（分式方程的應(yīng)用就突破了一元一次方程應(yīng)用的局限，三等分角的問(wèn)題、倍立方問(wèn)題、圓化方問(wèn)題得以解決是解析幾何、代數(shù)理論以及對(duì)圓周率超越性認(rèn)識(shí)的結(jié)果）.為此，在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)認(rèn)知體驗(yàn)范疇，需要關(guān)注以下幾個(gè)方面的思考：一是“舍得”給學(xué)生體驗(yàn)的時(shí)間，切實(shí)讓學(xué)生理解概念“源于生活，服務(wù)生活”的課程目標(biāo);二是“用好”歸納與類(lèi)比，讓學(xué)生在一定層面形成結(jié)構(gòu)化的直覺(jué)經(jīng)驗(yàn)，并及時(shí)將感性經(jīng)驗(yàn)上升為客觀(guān)的理性思維;三是“恰當(dāng)?shù)亍边M(jìn)行思維監(jiān)控與認(rèn)知調(diào)節(jié)，落實(shí)“知其然、知其所以然和知其所不然”的認(rèn)知目標(biāo).

微觀(guān)教學(xué)清樣2

在研究“用相似三角形解決問(wèn)題”的概念使用“反應(yīng)塊”時(shí)，執(zhí)教者設(shè)計(jì)了“測(cè)量金字塔的高度”這一數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生在用概念的過(guò)程中，體驗(yàn)歸納、嘗試類(lèi)比，形成一定層面的直覺(jué)監(jiān)控能力和建立相應(yīng)的認(rèn)知心理水平.但由于“升學(xué)壓力”和“課時(shí)長(zhǎng)度”等諸多約束條件，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)展開(kāi)不到位.這種草草收兵的認(rèn)知狀態(tài)，壓縮了直覺(jué)監(jiān)控的時(shí)長(zhǎng)，降低了概念轉(zhuǎn)化的心理水平.當(dāng)然，良好實(shí)驗(yàn)效果的獲得，既需要“教得好”，還需要設(shè)置可以體驗(yàn)的學(xué)習(xí)場(chǎng)景及其有效信息環(huán)境的鋪設(shè)（圖3是筆者對(duì)PPT環(huán)境的一種轉(zhuǎn)換，試圖引領(lǐng)課堂教學(xué)方向和現(xiàn)代化教學(xué)能力的朝向），方能讓學(xué)生“學(xué)得好”，這才是最重要的.正如相關(guān)文獻(xiàn)研究指出的那樣，“圖形計(jì)算器被稱(chēng)為移動(dòng)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室”，為學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作實(shí)驗(yàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，提供了極大的便利[4];“以計(jì)算機(jī)技術(shù)輔助的課程教學(xué)用形象化的講解和教授讓復(fù)雜的教學(xué)內(nèi)容變得簡(jiǎn)單”[5].

具體操作活動(dòng)如下：

首先讓學(xué)生明白“金字塔測(cè)量”的特殊背景和特定條件：即古埃及國(guó)王曾請(qǐng)一位學(xué)者測(cè)量金字塔的高度，當(dāng)這位學(xué)者確認(rèn)在陽(yáng)光下他的影長(zhǎng)等于他的身高時(shí)，要求他的助手同時(shí)測(cè)出金字塔的影長(zhǎng)BD以及金字塔底部正方形的邊長(zhǎng)（見(jiàn)圖3（1）），這樣他就知道了金字塔的高度.測(cè)量與思考如圖，AC是金字塔的高，DB是金字塔的影長(zhǎng).如果此時(shí)測(cè)得影長(zhǎng)DB為32m，金字塔底部正方形的邊長(zhǎng)為230m，你能幫助學(xué)者計(jì)算這座金字塔的高度嗎？

其次，讓學(xué)生在讀題加工、抽象畫(huà)圖中提取有效的題干信息，體驗(yàn)“分離圖形”的約簡(jiǎn)過(guò)程，構(gòu)造“解直角三角形”各要素和要素關(guān)系，就緒概念應(yīng)用的心理準(zhǔn)備.

最后，通過(guò)“分離、抽象”將直覺(jué)狀態(tài)的圖3（1）轉(zhuǎn)化成解題狀態(tài)的圖3（2）.

基于大尺度類(lèi)比歸納思想的使用，在“物高與影長(zhǎng)”成比例的條件下，獲得解答方案不困難.即在Rt△ABC中，AC∶BC=1∶1，也就是AC=CD+BD，結(jié)合題干測(cè)量信息（見(jiàn)圖3（1）），可知金字塔的高度是147m.

概言之，如果說(shuō)研究“測(cè)量的背景與條件”是一種歸納，那么“文字語(yǔ)言→圖形語(yǔ)言→符號(hào)語(yǔ)言”是一種體驗(yàn)，則分離圖形與分解解題要素關(guān)系是一種直覺(jué)監(jiān)控，這能讓學(xué)生在類(lèi)比中學(xué)好、在學(xué)好中提高類(lèi)比的心理認(rèn)知水平.

3在“探索”中聯(lián)想與預(yù)見(jiàn)，獲得直覺(jué)審美的“驗(yàn)證”能力

在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)論范疇，“探索”是審美的外在認(rèn)知行為，“審美”是探索的頂層設(shè)計(jì).也就是說(shuō)探索為了審美，審美以探索為手段并指向“預(yù)見(jiàn)”.就這一認(rèn)識(shí)來(lái)說(shuō)，探索不止于知識(shí)，更在于智慧的積累和生活能力的逐步提升.從探索的行為過(guò)程來(lái)看，“探索”至少涵蓋三個(gè)方面的意義.一方面，探索意味著規(guī)律的發(fā)現(xiàn)和數(shù)學(xué)真理的獲得;另一方面，探索是一種數(shù)學(xué)創(chuàng)造，能讓學(xué)生在“有用組合”中獲得新思想、新路徑、新方法;第三方面，探索是一種審美聯(lián)想，在聯(lián)想中審美，在審美中預(yù)見(jiàn).像七巧板拼圖、數(shù)學(xué)與刺繡、“幻方”游戲等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)與實(shí)施，就是一種地地道道的審美行為與探索發(fā)現(xiàn)，能讓學(xué)生在“無(wú)意識(shí)”的玩中，獲得終身難忘、終身受益的知識(shí)和心智技能.譬如，用“七巧板”拼出“孤舟蓑笠翁，獨(dú)釣寒江雪”的場(chǎng)景、“學(xué)會(huì)分享”、“枯藤老樹(shù)昏鴉，小橋流水人家”等文化傳承、社會(huì)公益行為等，都是探索并審美的結(jié)果.我把這里“感受美”的過(guò)程理解為知識(shí)發(fā)現(xiàn)、知識(shí)應(yīng)用、知識(shí)審美的過(guò)程.當(dāng)然，審美本身就是一種聯(lián)想和預(yù)見(jiàn)，是將知識(shí)的“功利性”轉(zhuǎn)化為知識(shí)的“審美性”、知識(shí)的“學(xué)術(shù)性”轉(zhuǎn)化為知識(shí)的“教育性”、知識(shí)的“本源性”轉(zhuǎn)化為知識(shí)的“程序性”.從而在聯(lián)想中預(yù)見(jiàn)，在預(yù)見(jiàn)中驗(yàn)證，最終將知識(shí)轉(zhuǎn)化素養(yǎng)，將智慧轉(zhuǎn)化為生活能力，這就是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的最高認(rèn)知目標(biāo).譬如，在研究“三角形三邊制約關(guān)系”時(shí)，通過(guò)“告訴+訓(xùn)練”的方式，讓學(xué)生因重復(fù)模仿加快“抓分”的速度，就是認(rèn)知功利的普遍手段;而通過(guò)用小吸管“搭三角形”，讓學(xué)生在“做”中聯(lián)想、在探索中審美，獲得客觀(guān)知識(shí)和心理智慧則是審美認(rèn)知的普遍方式.可惜，就課堂實(shí)際來(lái)說(shuō)，很少有人舍得時(shí)間，讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)結(jié)論、獲得審美體驗(yàn).這是當(dāng)前和未來(lái)一段時(shí)間，課堂改革的切口.只有扭轉(zhuǎn)知識(shí)獲得的手段，讓學(xué)生自己在探索中追求知識(shí)的價(jià)值，方能“育好人”，上好課，學(xué)好習(xí).

就微觀(guān)教學(xué)論而言，“探索”是指獨(dú)立或與他人合作參與特定的數(shù)學(xué)活動(dòng)，理解或提出問(wèn)題，尋求解決問(wèn)題的思路，發(fā)現(xiàn)對(duì)象的特征及其與相關(guān)對(duì)象的區(qū)別和聯(lián)系，獲得一定的理性認(rèn)識(shí).這里的“提出問(wèn)題”需要以探索作為手段的，方能產(chǎn)生直覺(jué)的審美功能;“尋求思路”需要用“聯(lián)想”“開(kāi)山建橋”，方能讓學(xué)生在“微觀(guān)學(xué)”的過(guò)程中獲得“大的人生認(rèn)知智慧”;“理性認(rèn)識(shí)”則是將“探索”轉(zhuǎn)化為精確的結(jié)論、將“聯(lián)想”轉(zhuǎn)化為審美、將“審美”轉(zhuǎn)化為服務(wù)社會(huì)、幸福人生的能力.孔子提倡“因材施教”、蘇格拉底倡導(dǎo)“精神助產(chǎn)術(shù)”、亞里士多德堅(jiān)持“自然教育論”、培根崇尚“尊重天性”、以及加涅對(duì)“學(xué)習(xí)者特征”的關(guān)注，均涵蓋“直覺(jué)審美因素”或直覺(jué)的選擇與超越.為此，在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)實(shí)踐論范疇，需要做好幾個(gè)方面的思考工作，方能將探索的“感性”轉(zhuǎn)化為“理性和知性”，方能將“審美”轉(zhuǎn)化為教書(shū)育人的力量.一是在“興于詩(shī)”中健康學(xué)習(xí)，順應(yīng)自然;二是在“立于禮”中聯(lián)想思考，學(xué)會(huì)規(guī)范;三是在“成于樂(lè)”中因材施教，學(xué)會(huì)審美，學(xué)會(huì)追求知識(shí)的價(jià)值.

微觀(guān)教學(xué)清樣3

《以探索性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)為抓手培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力》[6]一文指出，基于混沌吸引子加密設(shè)計(jì)的探索性實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)、思維、協(xié)作與行動(dòng)等多種能力具有特殊作用;《依托建模競(jìng)賽探索數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)新模式》[7]一文指出，鼓勵(lì)學(xué)生參加數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，對(duì)于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性和積極性，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)具有重要意義.我把這里的“探索”

理解為“直覺(jué)審美”，是在審美中探索，在探索中獲得關(guān)愛(ài)社會(huì)的能力.顯然，數(shù)學(xué)直覺(jué)的作用是解決新想法、新猜想是否符合數(shù)學(xué)美，在本質(zhì)上的簡(jiǎn)單性、內(nèi)容上的統(tǒng)一性、對(duì)稱(chēng)性、奇異性等要求的問(wèn)題[8].執(zhí)教者在研究“圖形變換”條件下“坐標(biāo)變化”與“位置關(guān)系”時(shí)（見(jiàn)圖4，筆者將PPT環(huán)境轉(zhuǎn)化為EN5智慧認(rèn)知環(huán)境），就是通過(guò)“微觀(guān)探索”讓學(xué)生在畫(huà)圖中聯(lián)想，在聯(lián)想中審美，促進(jìn)審美直覺(jué)的選擇功能.

參考文獻(xiàn)

[1]董林偉.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：初中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式的變革[J].全球教育展望，2020（9）：103-115.

[2]賴(lài)曉輝.利用GeoGebra軟件開(kāi)發(fā)高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課件[J].實(shí)驗(yàn)教學(xué)與儀器，2020（4）：50-52.

[3]宋德發(fā)，唐成軍.高等教育呼喚“微觀(guān)教學(xué)學(xué)”[J].青島大學(xué)師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2011：39-43.

[4]高學(xué)，李峰.基于圖形計(jì)算器開(kāi)展高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探索[J].中國(guó)教育技術(shù)裝備，2020（7）：123-124+127.

[5]劉明芳.基于信息技術(shù)的高等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)模式研究[J].當(dāng)代教育實(shí)踐與教學(xué)研究，2020（14）：24-25.

[6]黃平，趙澤藩，楊啟貴，劉小蘭.以探索性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)為抓手培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力[J].實(shí)驗(yàn)室研究與探索，2020（9）：182-187.

[7]蘇茜，黃亞群，張懷雄，蔣慕蓉.依托建模競(jìng)賽探索數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)新模式[J].云南大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2020（S1）：78-83.

[8]徐利治.數(shù)學(xué)方法論十二講[M].大連：大連理工大學(xué)出版社，2012：251.

作者簡(jiǎn)介張建山（1974—），男，江蘇連云港人，中學(xué)高級(jí)教師，主要從事初中數(shù)學(xué)命題與初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.