□ 劉兆偉

【案例呈現(xiàn)】

聽一位教師執(zhí)教“分數(shù)的初步認識（二）”單元中的《認識一個整體的幾分之一》（蘇教版三年級下冊）一課，教師呈現(xiàn)教材中的一道習題：用分數(shù)表示涂色部分（如圖1），請學生解答。課后，筆者對全班54 名學生的解答情況做了統(tǒng)計，有26 人填寫了正確答案有 19 人填寫了還有9 人填寫了（根據(jù)以往的教學觀察也發(fā)現(xiàn)，較多學生在做這題時出現(xiàn)上述錯誤）。學生的錯誤表明，他們對表示部分與整體之間關系的分數(shù)并未形成清晰的認識。

圖1

那么，為什么會有這么多的學生出現(xiàn)這樣的問題呢？不妨回看這位教師的教學過程。

師（出示情境圖，如圖2）：每只小猴分得這盤桃的幾分之幾？

圖2

師：你是怎么想的？

師（揭去方巾，如圖3）：現(xiàn)在每只小猴分得這盤桃的幾分之幾呢？

圖3

師：到底哪種說法正確呢？請說說你的想法。

生4：我認為生2的說法正確，因為每只小猴分得6個桃中的3個，所以每只小猴分得這盤桃的

生5：我覺得生3的說法正確，因為這6個桃還是一盤桃，平均分給2 只小猴，每只小猴分得的還是這盤桃的

師：對！當我們把這6 個桃看成一個整體，平均分成2份，每份就是這個整體的如果盤里有4個桃、8個桃，你會表示這盤桃的嗎？

教師請學生在練習紙上獨立解決、集體展示并講評（過程略）。

師：比較一下，盤里桃的總個數(shù)不一樣，每份桃的個數(shù)也不一樣，為什么都能用表示？

生：因為都是把這盤桃平均分成2 份，每只小猴都分得其中的1份，所以都能用表示。

師：是?。〔还鼙P里有多少個桃，只要把它們看成一個整體，平均分成2 份，每份就是這個整體的

隨后，教師在教材例2 及“試一試”的教學中，多次要求學生按照上述句式規(guī)范地表述一個整體的幾分之一。

【案例分析】

上述教學過程看似清晰，教師反復強調(diào)了部分與整體的關系。但為什么很多學生在獨立練習時，仍會受到具體數(shù)量的干擾而出現(xiàn)問題？可以從教材的編排、學生的已有認知水平以及教師的教學行為等方面進行分析。

（一）量率關系未厘清

一、二年級時，學生認識的數(shù)都是表示具體數(shù)量的自然數(shù)。三年級上學期，他們在學習“分數(shù)的初步認識（一）”時初次接觸到表示部分與整體之間關系的分數(shù)。教材設計例題“把一個蛋糕平均分給兩個小朋友，每人分得多少”引入分數(shù)，但“半個也就是二分之一個”與“把一個蛋糕平均分成2份，每份是它的二分之一”中的兩個是不完全一樣的，前一個表示的是具體數(shù)量，后一個表示的是部分與整體之間的關系。

由表示部分數(shù)量的分數(shù)過渡到表示部分與整體之間關系的分數(shù)，教材例題這樣設計在邏輯上沒有問題，但例題情境中在分蘋果和礦泉水這兩個物品時，每人分得的結果都是具體數(shù)量，學生自然認為分蛋糕得到的結果也是具體數(shù)量，所以有不少學生對的認識并沒有實現(xiàn)由量到率的轉換。由于在一個物體或一個圖形的幾分之幾中，表示部分數(shù)量的分數(shù)與表示部分與整體之間關系的分數(shù)在形式上是一致的，所以即使學生對分數(shù)的認識停留在表示部分數(shù)量的數(shù)上，在作業(yè)中也表現(xiàn)不出問題。而到了本節(jié)課，表示一份數(shù)量的數(shù)與表示部分與整體之間關系的分數(shù)在形式上不一致了，學生未能厘清量率之間的關系，在獨立練習時問題便暴露出來了。

（二）回避數(shù)量何其難

量是具體的、可見的，率是抽象的、隱蔽的。量反映物體的多少，率反映不同量之間的倍比關系，量和率既有區(qū)別又緊密地聯(lián)系在一起。上述教學中，教師認識到一份中的具體數(shù)量會給學生認識“一個整體的幾分之一”帶來干擾，所以巧妙地設計了從“遮”到“揭”的教學過程，想要避免這種干擾，并且在后面的教學中，多次強化規(guī)范表達，以加深學生對表示部分與整體之間關系的分數(shù)的認識，類似這樣的教學設計經(jīng)常見到。按照這樣的設計進行教學，部分學生在揭開方巾后，能夠把6 個桃看作一個整體，其他學生通過多次強化后，也能按照規(guī)范表述一個整體的幾分之一。但到了獨立練習時，仍然有不少學生因為受到一份中具體數(shù)量的干擾而出現(xiàn)問題。可見，在認識表示部分與整體之間關系的分數(shù)時，想要回避具體數(shù)量十分困難。

小學三年級學生對于表示具體數(shù)量的數(shù)是熟悉的，但對于表示部分與整體之間關系的分數(shù)還是相對陌生的。如果教師直接將分率硬塞給學生，學生只能被動地記憶與模仿，不能對分率產(chǎn)生深刻的感悟與理解。因此，應引領學生從具體數(shù)量走向分率，并通過比較認識到具體數(shù)量與分率之間的區(qū)別與聯(lián)系，從而將分率納入到已有認知結構中，這樣學生才能對分率產(chǎn)生深刻的理解。

【教學重構】

根據(jù)以上分析，對例1的教學進行了重構，并由同一位教師在另一個班重新執(zhí)教此課。過程如下。

師出示情境圖（如圖4），請學生回答。

圖4

生：要解決這個問題，還缺少條件。

師：你想補充什么條件來解決這個問題呢？

生：如果盤里有2個桃，每只小猴分得1個桃。

生：如果盤里有4個桃，每只小猴分得2個桃。

生：如果盤里有6個桃，每只小猴分得3個桃。

……

師：剛才大家補充的條件中，桃的個數(shù)都是雙數(shù)，如果盤里桃的個數(shù)是單數(shù)，該怎么回答呢？

生：如果盤里有1個桃，每只小猴分得半個桃。

生：如果盤里有3個桃，每只小猴分得1個半桃。

生：如果盤里有5個桃，每只小猴分得2個半桃。

……

師：剛才大家通過補充條件，解決了這個問題。因為盤里桃的個數(shù)不知道，所以這個問題有很多種回答。如果不補充條件，能回答這個問題嗎？（較長時間等待）

生：不能，因為如果不告訴我們盤里桃的個數(shù)，我們沒有辦法知道每只小猴分得多少。

圖5

生（疑惑）：能這樣回答嗎？

生：哦，我明白了！可以這樣回答。

師：你來說說看。

生：我們可以結合剛才的圖來看，如果盤里有1個桃，每只小猴分得的就是這盤桃的這是我們上學期學過的。

師：如果盤里有2個桃呢？

生：如果盤里有2個桃，每只小猴分得1個桃，1個桃是2 個桃的一半，也就是這盤桃的一半，所以每只小猴分得的還是這盤桃的

師：如果盤里有3個桃呢？

……

生：哦，確實可以這樣回答。

生：不管盤里有多少個桃，只要平均分成2份，每份都是這盤桃的

生：一開始，我們想知道每只小猴分得多少個桃，但因為盤里桃的個數(shù)不知道，所以有很多種不同的回答，答案是不確定的。但不管哪種回答，每只小猴分得的桃的個數(shù)與這盤桃的個數(shù)的關系是不變的，都是這盤桃的這樣回答，答案就是確定的。

生：這樣回答概括了我們前面所有的回答。

……

隨后，教師按照先前的教學設計教學后面的內(nèi)容。學生獨立練習時，筆者再次對上述圖1 中學生的作業(yè)情況進行了統(tǒng)計，全班53 名學生，有49 人填寫了正確答案有2人填寫了，還有2人填寫了。與重構前相比，學生做這道題的正確率高出了很多。

【案例反思】

上述案例中，執(zhí)教者沒有發(fā)生變化，整節(jié)課的教學流程也沒有發(fā)生變化，僅僅是改編了例題中的問題，為什么教學效果卻有如此大的變化呢？

（一）問題設計由封閉走向開放

教材例題中的問題是封閉的，只能用表示部分與整體之間關系的分數(shù)來回答。由于小學三年級學生的思維方式以形象思維為主，他們在回答這個問題時必然會受到具體數(shù)量的干擾，此時教師會千方百計地將學生牽引到正確答案上來，導致學生只能被動地接受陌生的知識。而重構后的問題是開放的，既可以用具體數(shù)量來回答，又可以用表示部分與整體之間關系的分數(shù)來回答。這樣的問題符合學生的思維特征，學生在面對這個問題時，從最初用具體數(shù)量回答逐步過渡到用表示關系的分數(shù)回答。開放性的問題不僅激活了學生的已有經(jīng)驗，而且給了學生認識具體數(shù)量與分率之間聯(lián)系的機會。

（二）知識教學由孤立走向聯(lián)系

對于易混的、相互干擾的知識，如果教師只是孤立地進行教學，學生往往無法深刻理解知識的內(nèi)涵，容易產(chǎn)生認知障礙。但如果教師能讓學生認識到易混知識之間的區(qū)別與聯(lián)系，學生反而能夠將它們區(qū)分開來，加深對這些知識的理解。重構前的教學，側重于讓學生認識表示部分與整體之間關系的分數(shù)，所以在學生受到具體數(shù)量干擾時，教師都是通過規(guī)范表達來讓學生硬性接受。重構后的教學，側重于讓學生在感悟量率之間關系的基礎上，認識并理解表示部分與整體之間關系的分數(shù)。從學生的回答“每只小猴分得的桃的個數(shù)與這盤桃的個數(shù)的關系是不變的”“這樣回答概括了我們前面所有的回答”可以看出，他們已經(jīng)充分感悟到了量率之間的聯(lián)系，對表示關系的分數(shù)已經(jīng)理解得比較深刻了。雖然重構后在例1的教學上時間多花了一些，但由于學生對分率的理解比較深刻，后面的學習就進行得十分順利，不需要教師多次強化規(guī)范表達，所以總的教學時間并沒有增加，教學效果卻比重構前好很多。

數(shù)學中有很多易混的、相互關聯(lián)的知識，在教學這些知識時，孤立地進行教學不是最好的辦法。教師需要正視易混知識之間的差別與聯(lián)系，引導學生深入認識這些知識各自的本質以及它們之間的聯(lián)系，使學生對這些知識形成準確的、清晰的、深刻的認識。