□ 王麗兵

編者按

如何開發(fā)數(shù)學(xué)拓展課

數(shù)學(xué)拓展課作為數(shù)學(xué)常規(guī)教學(xué)的補(bǔ)充與拓展，對教師的教學(xué)方式、學(xué)生的學(xué)習(xí)方式提出了更高的要求。有關(guān)拓展課的教學(xué)，已越來越受到教育管理部門與一線教師的關(guān)注，相關(guān)研究也日漸深入。近年來，杭州市名師王麗兵帶領(lǐng)其工作室團(tuán)隊(duì)，一直堅(jiān)持兒童立場，以數(shù)學(xué)拓展課研究為載體，注重?cái)?shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，通過幫助學(xué)生經(jīng)歷對真實(shí)問題研究的過程體驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生的關(guān)鍵素養(yǎng)和關(guān)鍵能力。本刊特選取其部分研究成果，以期能給熱衷于小學(xué)數(shù)學(xué)拓展課研究的一線教師以借鑒與引領(lǐng)。

當(dāng)前，數(shù)學(xué)拓展課的研究與開發(fā)已經(jīng)成為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革的熱點(diǎn)之一。拓展課在內(nèi)容選擇上具有較強(qiáng)的自主性和靈活性，但它在給教師自主選擇權(quán)的同時(shí)，也對教師的課程設(shè)計(jì)能力提出了更高的要求。它要求教師由傳統(tǒng)的課程執(zhí)行者與實(shí)施者逐漸轉(zhuǎn)向于課程開發(fā)的研究者與創(chuàng)造者。這一角色與功能的轉(zhuǎn)變，導(dǎo)致很多教師在面對拓展課教學(xué)的時(shí)候，經(jīng)常迷茫于“上什么”的問題，常常感到內(nèi)容很多卻無從下手，找不準(zhǔn)著力點(diǎn)?；谶@樣一個(gè)背景，團(tuán)隊(duì)成員努力嘗試探索數(shù)學(xué)拓展課內(nèi)容的開發(fā)策略，以期在豐富數(shù)學(xué)拓展課內(nèi)容的同時(shí)，促進(jìn)教師課程設(shè)計(jì)能力的提升。

一、豐富原有基礎(chǔ)性課程的知識序列

數(shù)學(xué)拓展課服務(wù)于學(xué)生思維與能力的發(fā)展，是對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)性課程的補(bǔ)充、延伸、拓展與整合。因此，在進(jìn)行拓展課開發(fā)前，教師需要分析學(xué)生究竟在什么地方需要補(bǔ)充和拓展，才能更好地把握內(nèi)容開發(fā)的方向。

（一）查漏補(bǔ)缺：關(guān)注學(xué)生認(rèn)知的需求

關(guān)注學(xué)生認(rèn)知需求，簡單講就是了解學(xué)生對什么樣的知識內(nèi)容感興趣。在教學(xué)中盡量給學(xué)生創(chuàng)設(shè)多渠道主動提問的條件和機(jī)會，是了解學(xué)生認(rèn)知需求的好方式。對學(xué)生共性的需求進(jìn)行分析，能幫助教師明晰拓展課研究的方向。

如人教版四年級上冊“角的分類”中對于“什么是角”給出了描述性的定義：“從一點(diǎn)引出兩條射線所組成的圖形叫作角?！蓖瑫r(shí)介紹小于90°的角叫作銳角；90°的角叫作直角；大于90°而小于180°的角叫作鈍角；180°的角叫作平角；360°的角叫作周角。從大小來講，銳角＜直角＜鈍角＜平角＜周角。從理論上講，教材中對角概念的界定邏輯嚴(yán)密，描述清晰。但從實(shí)際情況來看，很多學(xué)生在認(rèn)識了上述角以后，都會產(chǎn)生一個(gè)疑問：“有大于180°而小于360°的角嗎？如果有，它叫什么角？有什么特點(diǎn)？”

學(xué)生的疑問說明，傳統(tǒng)教學(xué)中對于角的認(rèn)知是有“漏洞”的，而這一“漏洞”讓學(xué)生產(chǎn)生了強(qiáng)烈的好奇心。這表明，教材呈現(xiàn)的內(nèi)容與學(xué)生主體認(rèn)知需求之間產(chǎn)生了供需矛盾，而對這類問題的查漏補(bǔ)缺就可能使其成為數(shù)學(xué)拓展課開發(fā)的切入點(diǎn)。

其實(shí)，教材雖然并沒有直接涉及與優(yōu)角相關(guān)的內(nèi)容的介紹，但在后續(xù)的“四邊形”“扇形”“統(tǒng)計(jì)圖”等知識的學(xué)習(xí)過程中，都隱藏著優(yōu)角的身影（如圖1）。所以與優(yōu)角相關(guān)的內(nèi)容就可以設(shè)計(jì)為拓展課，讓這部分基礎(chǔ)性課程的知識序列變得更加豐滿。

圖1

關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知需求，挖掘?qū)W生的學(xué)習(xí)興趣點(diǎn)，對教材知識序列“缺位”的地方及時(shí)進(jìn)行補(bǔ)位，一方面能滿足學(xué)生的認(rèn)知需求，另一方面也是對教材知識序列的完善。這是數(shù)學(xué)拓展課內(nèi)容開發(fā)的有效途徑之一。

（二）順藤摸瓜：借助知識的經(jīng)驗(yàn)遷移

學(xué)習(xí)是可以遷移的。教師可引導(dǎo)學(xué)生借助已有的知識經(jīng)驗(yàn)，通過遷移、聯(lián)想，獲得新知識，以拓展學(xué)生的知識網(wǎng)。

如人教版四年級下冊“三角形的內(nèi)角和”一課，教材建議引導(dǎo)學(xué)生通過工具測量、實(shí)驗(yàn)操作等不同方式，對各種類型的三角形（銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形）的內(nèi)角和進(jìn)行研究，從而發(fā)現(xiàn)“任意三角形的內(nèi)角和都是180°”。同時(shí)，教材后續(xù)編排了多邊形內(nèi)角和的研究內(nèi)容，即邊數(shù)為n的多邊形的內(nèi)角和等于（n-2）×180°。

教材知識內(nèi)容的編排系統(tǒng)有序，學(xué)習(xí)方法的建議清晰具體，但學(xué)生在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容之后，常常會產(chǎn)生內(nèi)在的遷移需求，如以下教學(xué)片段。

師：今天我們學(xué)習(xí)了有關(guān)“三角形的內(nèi)角和”的知識，請問同學(xué)們還有什么問題嗎？

生：老師，我想知道，既然有內(nèi)角，那是不是還有外角？

生：三角形有內(nèi)角和，那三角形有外角和嗎？

生：外角的數(shù)量和內(nèi)角的數(shù)量一樣嗎？外角和也是固定不變的嗎？

從中可以看出，學(xué)生通過對“三角形內(nèi)角和”的學(xué)習(xí)，已經(jīng)為“外角”的認(rèn)知做好了心理及能力方面的準(zhǔn)備。因此，在有了研究內(nèi)角和的知識與方法的基礎(chǔ)時(shí)，借助遷移的力量，可以進(jìn)一步順藤摸瓜，設(shè)計(jì)關(guān)于“外角”的拓展課。這種方式也是數(shù)學(xué)拓展課內(nèi)容開發(fā)的重要方式之一。

（三）破舊立新：跳出固有思維舒適區(qū)

數(shù)學(xué)拓展課是體現(xiàn)教師專業(yè)特長的創(chuàng)新課。從課程創(chuàng)新的角度而言，教師除了可以進(jìn)行局部的微創(chuàng)新以外，還可以打破原有的思維認(rèn)知習(xí)慣，跳出課程開發(fā)課程，為拓展課尋找新的知識領(lǐng)域。

如“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域，小學(xué)階段對統(tǒng)計(jì)圖的學(xué)習(xí)主要有三種：條形統(tǒng)計(jì)圖、折線統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖。教材中與統(tǒng)計(jì)圖內(nèi)容相關(guān)的“變式”，往往是形式的調(diào)整，比如單式或復(fù)式的變化，橫式或縱式的變化等。但現(xiàn)實(shí)世界中除上述三種形式的統(tǒng)計(jì)圖之外，還有其他樣式的統(tǒng)計(jì)圖嗎？如果有，它的應(yīng)用范圍與特點(diǎn)又是怎樣的？答案是肯定的，比如雷達(dá)圖（又稱網(wǎng)絡(luò)圖或蜘蛛網(wǎng)圖）、組合圖等。雷達(dá)圖是針對某一統(tǒng)計(jì)對象，用從同一點(diǎn)開始的多條軸，表示三個(gè)或更多個(gè)變量的二維圖表。這種形式在呈現(xiàn)多變量數(shù)據(jù)的時(shí)候更加清晰方便，廣泛應(yīng)用于工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、生活與科學(xué)研究的各個(gè)領(lǐng)域。這種“新”的統(tǒng)計(jì)圖不僅符合拓展課的內(nèi)容要求，也符合小學(xué)高段學(xué)生的認(rèn)知能力水平，可以成為拓展課內(nèi)容。

跳出課程開發(fā)課程的思維方式，其實(shí)就是一種課程創(chuàng)新意識，當(dāng)教師在不斷追問的過程中逐步具備這種意識后，就可能突破原有的思維框架開發(fā)出新的拓展課內(nèi)容，實(shí)現(xiàn)知識體系的開放性建構(gòu)。

二、突破傳統(tǒng)知識領(lǐng)域板塊界線

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》（以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）將課程內(nèi)容分為“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”“綜合與實(shí)踐”四個(gè)知識領(lǐng)域板塊。教師可以通過交叉、融合等多種方式，突破知識領(lǐng)域界限，以實(shí)現(xiàn)拓展課內(nèi)容的開發(fā)與設(shè)計(jì)。

（一）在交叉領(lǐng)域中，開發(fā)拓展課內(nèi)容

有一些綜合性的問題常常涉及多個(gè)知識領(lǐng)域，交叉重疊，這類問題具有較高的研究與開發(fā)價(jià)值。

如人教版六年級上冊中的“數(shù)與形”，就是“數(shù)與代數(shù)”與“圖形與幾何”的交叉領(lǐng)域內(nèi)容。它既蘊(yùn)含著幾何直觀的思想，又滲透了運(yùn)算能力與數(shù)感的培養(yǎng)。教師可以以此為參照，挖掘符合兒童學(xué)習(xí)能力的拓展課內(nèi)容。

如“新版龜兔賽跑”（適合五年級學(xué)習(xí)），就是這樣一個(gè)典型的例子。教師呈現(xiàn)路線圖（如圖2）并介紹：課前同學(xué)們通過“預(yù)學(xué)單”創(chuàng)作完成了“新版龜兔賽跑比賽行程圖”。用不同顏色的線，代表了不同動物跑步的路線。在這幅圖中，你覺得哪條線代表兔子？哪條線代表烏龜？

圖2

生：藍(lán)色線代表兔子，紅色線代表烏龜。

師：我們來看看大家創(chuàng)編的“新版龜兔賽跑”發(fā)生了怎樣的變化。

這個(gè)拓展內(nèi)容來自于“統(tǒng)計(jì)與概率”“數(shù)與代數(shù)”的交叉領(lǐng)域。首先，從形式上來講，它以折線統(tǒng)計(jì)圖作為信息呈現(xiàn)的形式；其次，從內(nèi)容上來講，它將“行程問題”和“龜兔賽跑”的故事情境巧妙地整合在一起。既培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)據(jù)分析的能力，又培養(yǎng)了學(xué)生分析問題和解決問題的能力。尤其通過故事創(chuàng)編活動，不僅寓教于樂，而且開放性的結(jié)論使得學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情被進(jìn)一步點(diǎn)燃。

（二）樹立全科視角，整合拓展課內(nèi)容

隨著教育改革的不斷深入，STEAM 課程成為當(dāng)前教育改革的發(fā)展趨勢之一，它也為教師開發(fā)拓展課內(nèi)容提供了一個(gè)新的視角。教師可以嘗試打破學(xué)科壁壘，淡化學(xué)科界線，著力于兒童關(guān)鍵能力與關(guān)鍵素養(yǎng)的培養(yǎng)，站在全科視域的高度，尋找數(shù)學(xué)與其他學(xué)科融合的契合點(diǎn)。

比如用“鞋子”作為載體，可以從數(shù)學(xué)的角度設(shè)計(jì)專門的探究活動，研究鞋碼與腳長的關(guān)系、鞋長與人體身高的關(guān)系；可以從人文的角度，研究有關(guān)鞋子的歷史文化、起源發(fā)展、成語故事；可以從藝術(shù)的角度，采用不同的繪畫形式，表現(xiàn)鞋子各種樣式的形態(tài)與紋樣；可以從活動的角度，讓學(xué)生嘗試花式穿鞋帶，設(shè)計(jì)并制作個(gè)性藝術(shù)鞋墊，編織繩（草）鞋等。

像這樣從一個(gè)具體的載體出發(fā)，在全科視角下，整合多學(xué)科教學(xué)目標(biāo)，將知識、技術(shù)、文化與思想統(tǒng)統(tǒng)滲透融合其中，并挖掘其蘊(yùn)含的教育價(jià)值，就有可能開發(fā)出一個(gè)優(yōu)質(zhì)的拓展課內(nèi)容。這種全科思維為數(shù)學(xué)與其他學(xué)科聯(lián)動提供了一種新的課堂樣態(tài)，也是數(shù)學(xué)拓展課內(nèi)容開發(fā)的一個(gè)新視角。

三、挖掘數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用典型

數(shù)學(xué)起源于人類的生產(chǎn)勞動。生活表象的背后，往往暗含一定的科學(xué)原理，對這些原理進(jìn)行挖掘也是數(shù)學(xué)拓展課內(nèi)容開發(fā)的有效途徑之一，以兩個(gè)具體內(nèi)容為例。

（一）應(yīng)用廣泛卻又“不為人知”的二維碼

“二維碼”在生活中隨處可見，它已經(jīng)深度融入人們?nèi)粘５纳?、生產(chǎn)當(dāng)中。但二維碼的工作原理卻不太為人所知。

有關(guān)“二維碼”的知識其實(shí)是建立在數(shù)學(xué)二進(jìn)制基礎(chǔ)之上的。它將人們想要存儲的信息，通過不同的編碼格式轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制字符串，字符在變成0和1 組成的序列之后，通過一系列優(yōu)化算法，得到最終的二進(jìn)制編碼。“1”對應(yīng)黑色小方塊，“0”對應(yīng)白色小方塊，將這些小方塊八個(gè)一組填進(jìn)大方塊里，就變成了大家熟悉的二維碼。

二維碼可以開發(fā)為拓展課內(nèi)容，既可以豐富學(xué)生的認(rèn)知版圖，也能夠讓學(xué)生深刻地感受到數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用。同時(shí)，研究二維碼的意義不僅僅在于認(rèn)識二維碼本身，更為重要的是它開啟了認(rèn)識“進(jìn)制數(shù)”的新視角。接下來學(xué)生對“五進(jìn)制”“八進(jìn)制”“十六進(jìn)制”等不同進(jìn)制的認(rèn)識和理解，也就變得順理成章、水到渠成了。

（二）同一溫度卻有不同數(shù)值的溫度計(jì)

溫度計(jì)是測量溫度的專用工具。一般有兩種記錄標(biāo)準(zhǔn)，一種是攝氏度（℃），一種是華氏度（℉）。

℉代表華氏溫度，由荷蘭人華倫海特提出，把純水凝固時(shí)的溫度定為32℉，把標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下水沸騰的溫度定為212℉?！娲頂z氏溫度，由瑞典人安德斯·攝爾修斯提出，把水的結(jié)冰點(diǎn)定為0℃，在1 標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下水的沸點(diǎn)為100℃。從關(guān)聯(lián)的角度來講，它們之間的關(guān)系可以記作：

生活中類似的例子還有很多，處處留心，就會發(fā)現(xiàn)很多值得研究的拓展小課題，同樣能開發(fā)出優(yōu)質(zhì)的拓展課內(nèi)容。

總之，數(shù)學(xué)拓展課，由于它的內(nèi)容取材范圍不受基礎(chǔ)性課程知識體系的限制，教師可以從多個(gè)領(lǐng)域、多個(gè)維度對其進(jìn)行拓展、挖掘與整合。但需要強(qiáng)調(diào)的是，教師要把握學(xué)生的年齡特點(diǎn)，找準(zhǔn)學(xué)生思維與能力的起點(diǎn)，增強(qiáng)拓展課內(nèi)容與研究主體的匹配性。這應(yīng)是數(shù)學(xué)拓展課內(nèi)容開發(fā)始終需要堅(jiān)持的方向和底線。