□ 李國(guó)安

數(shù)學(xué)拓展課是對(duì)基礎(chǔ)性課程的補(bǔ)充、延伸、拓展與整合，要讓這種補(bǔ)充做到合理、優(yōu)質(zhì)、高效，需要教師對(duì)教材的知識(shí)序列、學(xué)生的認(rèn)知過(guò)程有清晰的了解。日常教學(xué)中，教師要養(yǎng)成將學(xué)生概念理解中的易錯(cuò)點(diǎn)開(kāi)發(fā)為拓展課內(nèi)容的意識(shí)和習(xí)慣，有效利用拓展課幫助學(xué)生加深對(duì)概念的理解和辨析。

筆者以《抽牌游戲》為例，介紹一節(jié)數(shù)學(xué)拓展課開(kāi)發(fā)的實(shí)踐與思考。

【課前思考】

周長(zhǎng)與面積是一組聯(lián)系緊密的概念，學(xué)生經(jīng)?；煜?。按照人教版教材的安排，學(xué)生在三年級(jí)上學(xué)期學(xué)習(xí)周長(zhǎng)，在三年級(jí)下學(xué)期學(xué)習(xí)面積。單獨(dú)學(xué)習(xí)周長(zhǎng)概念時(shí)，由于學(xué)生有較為豐富的生活體驗(yàn)，理解概念并不難，所以解決問(wèn)題的正確率一般都比較高，較少暴露出在概念理解和知識(shí)掌握方面的問(wèn)題。但學(xué)習(xí)完面積概念以后，學(xué)生中就普遍出現(xiàn)將兩者相混淆的現(xiàn)象，解決問(wèn)題的錯(cuò)誤率也快速上升。

基于此，在三年級(jí)“周長(zhǎng)”教學(xué)以后、“面積”學(xué)習(xí)以前，教師可設(shè)計(jì)一節(jié)周長(zhǎng)的變式拓展課《抽牌游戲》，作為教學(xué)內(nèi)容的補(bǔ)充，以幫助學(xué)生夯實(shí)對(duì)周長(zhǎng)概念的認(rèn)知，為后續(xù)面積概念的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，以降低學(xué)生在兩個(gè)概念區(qū)分上的難度。

拓展課《抽牌游戲》的教學(xué)目標(biāo)如下。

1.借助抽撲克牌的互動(dòng)游戲，經(jīng)歷正確尋找圖形周長(zhǎng)、用能量柱正確表示螞蟻爬行路線長(zhǎng)度的過(guò)程。在確保周長(zhǎng)不變的情況下，能夠正確地抽出至少1張牌。

2.經(jīng)歷觀察、想象、操作、驗(yàn)證等過(guò)程，并在游戲中初步感受消失路線和新增路線之間的關(guān)系，建立周長(zhǎng)不變的數(shù)學(xué)模型，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

3.在數(shù)學(xué)游戲活動(dòng)中，感受成功的喜悅。學(xué)會(huì)獨(dú)立思考，能與他人進(jìn)行有效的合作交流，逐步養(yǎng)成良好的課堂學(xué)習(xí)習(xí)慣。

【教學(xué)實(shí)踐】

（一）介紹游戲規(guī)則

師：今天我們一起玩一個(gè)游戲——“抽牌游戲”。首先了解一下游戲的規(guī)則（課件出示）：螞蟻沿著1張撲克牌的外側(cè)爬行，它爬行撲克牌的一條寬邊，需要消耗一格藍(lán)色的能量（動(dòng)態(tài)演示，如圖1）。它爬行撲克牌的一條長(zhǎng)邊，需要消耗一格紅色能量（動(dòng)態(tài)演示）。這只螞蟻繞著這張撲克牌爬行一周，需要消耗多少能量？

圖1

圖2

生:兩個(gè)紅格加上兩個(gè)藍(lán)格。

師：把螞蟻爬行一圈所消耗的能量用一條能量柱來(lái)表示，就是這樣的（課件呈現(xiàn)，如圖2）。你能看懂嗎？

生：兩格藍(lán)色的表示爬了兩個(gè)寬，兩格紅色的表示爬了兩個(gè)長(zhǎng)。

（設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)游戲規(guī)則的介紹，讓學(xué)生了解游戲與數(shù)學(xué)直接的表達(dá)關(guān)系，為后續(xù)活動(dòng)的開(kāi)展做好鋪墊。把撲克牌的寬和長(zhǎng)標(biāo)注為兩段不同顏色的能量柱，而非用數(shù)據(jù)和文字表達(dá)，是為了更好地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，直觀且容易理解。）

（二）提出猜想，初步感知模型

師出示問(wèn)題：6 張撲克牌組成一個(gè)大長(zhǎng)方形（如圖3），一只螞蟻沿著它的外側(cè)爬一圈，需要消耗多少能量？

圖3

生：6 個(gè)藍(lán)色能量柱和4 個(gè)紅色能量柱。

（教師呈現(xiàn)能量柱，圖略）

師：想一想，如果抽掉其中1張牌，螞蟻爬一圈消耗的能量會(huì)有怎樣的變化？

生：應(yīng)該會(huì)減少。

生：我猜不會(huì)變化。

師：現(xiàn)在有兩種不同的答案，你同意哪一種呢？請(qǐng)你通過(guò)練習(xí)紙和撲克牌獨(dú)立研究一下，并試著說(shuō)明自己的觀點(diǎn)。（教師出示學(xué)習(xí)要求）

教師對(duì)學(xué)生的反饋?zhàn)鞒龈爬ǎ撼榈舻呐频奈恢貌灰粯?，答案也不一樣。如果抽掉角落處的牌（如圖4），抽掉后螞蟻爬一圈，仍舊消耗6 個(gè)藍(lán)色能量柱和4個(gè)紅色能量柱，與抽掉前一樣。但如果抽掉上下排中間處的1 張牌（如圖5），螞蟻需要消耗的能量柱不但沒(méi)有減少，反而增加了。

圖4

圖5

（設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)比讓學(xué)生意識(shí)到，抽掉1張不同位置的牌，在撲克牌數(shù)量即總面積減少的情況下，消耗的總能量可能會(huì)有不同的變化。）

（三）探究聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

1.抽取單張牌，初建數(shù)學(xué)模型

教師出示問(wèn)題情境，請(qǐng)學(xué)生嘗試解決。

一只螞蟻沿著12 張撲克牌的外側(cè)爬一圈，①計(jì)算螞蟻需要消耗多少能量柱。②抽掉其中1 張牌，讓螞蟻爬行消耗的能量柱數(shù)量不變。

交流反饋：

（1）去掉某一角落的一張牌（如圖6），消耗的能量柱不變。

（學(xué)生交流原因）

圖6

生：把新增的能量柱（藍(lán)色和紅色線段）平移到消失的能量柱位置，正好相等，所以消耗的能量柱的數(shù)量沒(méi)有發(fā)生變化。

（師動(dòng)態(tài)演示學(xué)生的思考過(guò)程）

（2）哪些位置的撲克牌也是可以抽掉的，為什么？

生：四個(gè)角上的撲克牌都屬于這一情況。

小結(jié)：通過(guò)計(jì)算拿掉撲克牌之前和之后分別用了多少能量柱，可以判斷消耗的能量有沒(méi)有發(fā)生變化，但同學(xué)們發(fā)現(xiàn)了一種更簡(jiǎn)便更清晰的方法，就是利用平移的方式進(jìn)行說(shuō)明，如果消失的路線等于新增的路線，能量柱的總量就不會(huì)發(fā)生變化，這是一種非常好的思考方式。

（設(shè)計(jì)意圖：在動(dòng)態(tài)演示的過(guò)程中，學(xué)生能夠清晰地體會(huì)到角落的牌抽掉后，消失的路線和新增的路線同樣長(zhǎng)，所以消耗的能量柱也同樣多。這為后面探究“繼續(xù)抽掉角落的牌會(huì)不會(huì)仍舊不變”這個(gè)問(wèn)題提供了思考的基礎(chǔ)，也為后續(xù)的模型建立指明了方向。）

2.抽取多張牌，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

（1）思考：能否繼續(xù)抽取1張或更多的牌，讓螞蟻爬行消耗的能量不變？

生：要是在角落里再抽取1張，應(yīng)該也不變。

生：不一定。

（2）引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作、實(shí)踐驗(yàn)證，完成后反饋，逐一展示學(xué)生作品（如圖7）。

圖7

通過(guò)邊展示邊討論邊演示，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)：只要消失的路線和新增的路線同樣長(zhǎng)，螞蟻消耗的能量柱就同樣多。

（設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過(guò)猜測(cè)、操作、驗(yàn)證、交流，逐步發(fā)現(xiàn)撲克牌數(shù)量在減少，大小、形狀在變化，但邊的總長(zhǎng)度之和也就是周長(zhǎng)，沒(méi)有發(fā)生變化。）

3.小組合作玩游戲，應(yīng)用數(shù)學(xué)模型

（四）整理學(xué)習(xí)方法，拓展學(xué)習(xí)內(nèi)容

教師引導(dǎo)：通過(guò)今天這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？你能運(yùn)用今天學(xué)習(xí)到的方法去研究抽牌游戲的另一種現(xiàn)象嗎？（能量柱發(fā)生變化的情況）

（設(shè)計(jì)意圖：在本節(jié)課的最后環(huán)節(jié)，教師引導(dǎo)學(xué)生將獲得的數(shù)學(xué)知識(shí)、方法和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)類比應(yīng)用到新的學(xué)習(xí)內(nèi)容中，使他們的能力和思維真正獲得提升。）

【教學(xué)反思】

（一）設(shè)趣設(shè)疑，讓學(xué)習(xí)過(guò)程更加自主

1.從學(xué)習(xí)形式上激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣

貼近學(xué)生現(xiàn)實(shí)生活的問(wèn)題，往往更能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣?！俺榕朴螒颉睆膶W(xué)生非常熟悉的撲克牌出發(fā)，讓學(xué)生研究由撲克牌組成的圖形的一周之長(zhǎng)。這是基于學(xué)生生活基礎(chǔ)，學(xué)生能夠探究也樂(lè)于探究的問(wèn)題。學(xué)生投入的學(xué)習(xí)狀態(tài)為后續(xù)建構(gòu)模型做好了積極的心理準(zhǔn)備。

2.從內(nèi)在設(shè)計(jì)上喚醒學(xué)生學(xué)習(xí)的欲望

如果說(shuō)“游戲”這種活動(dòng)形式是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的外在因素，那么設(shè)置好的游戲內(nèi)容則是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng)力的內(nèi)在因素?！俺榕朴螒颉逼瘘c(diǎn)低開(kāi)放度大，撲克牌數(shù)量從6 張逐步拓展到12 張，抽牌活動(dòng)從抽掉1 張牌逐步拓展到抽掉2 張牌、5 張牌甚至更多。在所研究的要素逐步增加的過(guò)程中，學(xué)生的思維也在接受更高層次的挑戰(zhàn)，而每一次活動(dòng)又都能讓學(xué)生“跳一跳，摘到桃子”。這樣的內(nèi)容設(shè)計(jì)既避免了游戲的單調(diào)和無(wú)聊，又提升了學(xué)生的思維水平。

（二）有效溝通，讓模型構(gòu)建更富內(nèi)涵

1.讓推理成為溝通的手段

猜想和驗(yàn)證是比較常見(jiàn)的研究方式，也是發(fā)展學(xué)生思維與推理能力的重要手段。在“抽牌游戲”中，學(xué)生思考、表達(dá)抽掉撲克牌消耗的能量是否發(fā)生變化的過(guò)程本質(zhì)上就是推理的過(guò)程，借助“能量柱”對(duì)“抽掉若干張撲克牌”前后圖形的周長(zhǎng)變化情況進(jìn)行描述，不僅形象生動(dòng)、寓教于樂(lè)，且與周長(zhǎng)概念的本質(zhì)和轉(zhuǎn)化思想非常契合。

2.讓想象成為構(gòu)建的橋梁

想象是發(fā)展學(xué)生空間觀念的一種重要方式。在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)有意識(shí)地關(guān)注學(xué)生想象能力的培養(yǎng)，無(wú)論是獨(dú)立研究，還是互動(dòng)交流，教師都要引導(dǎo)學(xué)生先想象“抽掉牌”以后圖形的樣子，想象什么變了什么沒(méi)變，然后再與實(shí)際的運(yùn)動(dòng)結(jié)果進(jìn)行比較，通過(guò)不斷完善、調(diào)整的過(guò)程，積累線段平移的想象經(jīng)驗(yàn)，讓想象成為促進(jìn)學(xué)生知識(shí)建構(gòu)的橋梁。

（三）多次“重構(gòu)”，讓學(xué)生理解更趨深刻

1.對(duì)標(biāo)原型，讓課堂更有數(shù)學(xué)味

“抽牌游戲”是在學(xué)生學(xué)習(xí)周長(zhǎng)內(nèi)容之后補(bǔ)充的一節(jié)變式拓展課，游戲中所涉及的“能量柱”信息和周長(zhǎng)的概念相吻合。這一設(shè)計(jì)旨在幫助學(xué)生建立牢固的周長(zhǎng)概念認(rèn)知基礎(chǔ)，并通過(guò)拿掉牌（減少面）的體驗(yàn)為后續(xù)面積概念的學(xué)習(xí)夯實(shí)基礎(chǔ)，以降低學(xué)生在兩個(gè)概念區(qū)分上的難度。

2.突顯矛盾，讓思維主動(dòng)碰撞

學(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)程是一個(gè)打破原有知識(shí)結(jié)構(gòu)、建立新知識(shí)結(jié)構(gòu)的過(guò)程。“打破”的關(guān)鍵在于制造認(rèn)知沖突。整節(jié)課的教學(xué)主要有兩處認(rèn)知沖突：一是從6 張撲克牌中任意抽取1 張，消耗的能量柱是否發(fā)展變化；二是從12 張撲克牌中抽取6 張牌（學(xué)生生成的抽法），消耗的能量柱是否發(fā)生變化。第一處沖突和學(xué)生追求唯一答案的解題習(xí)慣有關(guān)，抽取1 張牌后能量柱總數(shù)不變的抽取方法存在著多種情況，這可以打破學(xué)生被“唯一答案”的思維禁錮；第二處沖突和學(xué)生原有的生活經(jīng)驗(yàn)有關(guān)，抽掉6 張牌后，直覺(jué)經(jīng)驗(yàn)告訴他們，圖形“變小了”，而實(shí)際上能量柱總數(shù)沒(méi)有發(fā)生變化，這可以喚起學(xué)生尋求原因的好奇心。這些認(rèn)知沖突進(jìn)一步激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)和表達(dá)的意愿，為學(xué)生的思維發(fā)展提供了幫助。

從拓展課《抽牌游戲》開(kāi)發(fā)的過(guò)程中可以得出拓展課開(kāi)發(fā)的一種策略，即教師要根據(jù)學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握情況，針對(duì)他們學(xué)習(xí)中的易錯(cuò)點(diǎn)開(kāi)發(fā)拓展課教學(xué)內(nèi)容。比如計(jì)量單位及進(jìn)率換算、立體圖形表面積與體積變式等問(wèn)題中也都存在著學(xué)生普遍的易錯(cuò)點(diǎn)，可以有針對(duì)性地進(jìn)行拓展課開(kāi)發(fā)。教師要形成從開(kāi)發(fā)一節(jié)課到開(kāi)發(fā)一類課的思維方式，讓拓展課的開(kāi)發(fā)顯現(xiàn)出事半功倍的效果。