繆敏珠 黃興豐

摘要：已有的很多研究表明，學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)時(shí)，從關(guān)系到對(duì)象的認(rèn)識(shí)，要經(jīng)歷一段曲折而艱辛的歷程。為了促進(jìn)學(xué)生從關(guān)系到對(duì)象的發(fā)展，可以利用長(zhǎng)度模型（如紙帶、刻度尺）過渡，最終讓學(xué)生在數(shù)射線（數(shù)軸的非負(fù)半軸）上找到表示分?jǐn)?shù)的點(diǎn)。對(duì)此，從滬教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的分?jǐn)?shù)內(nèi)容出發(fā)，研究學(xué)生理解數(shù)射線上的分?jǐn)?shù)有何基礎(chǔ)和困難，教師如何設(shè)計(jì)這一內(nèi)容的教學(xué)等。

關(guān)鍵詞：數(shù)射線;分?jǐn)?shù);滬教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材;學(xué)情分析;教學(xué)設(shè)計(jì)

分?jǐn)?shù)既可以表示部分與整體的關(guān)系，也可以作為一個(gè)對(duì)象表示現(xiàn)實(shí)世界中的量。已有的很多研究表明，學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)時(shí)，從關(guān)系到對(duì)象的認(rèn)識(shí)，要經(jīng)歷一段曲折而艱辛的歷程。為了促進(jìn)學(xué)生理解分?jǐn)?shù)從關(guān)系到對(duì)象的發(fā)展，可以利用長(zhǎng)度模型（如紙帶、刻度尺）過渡，最終讓學(xué)生在數(shù)射線（數(shù)軸的非負(fù)半軸）上找到表示分?jǐn)?shù)的點(diǎn)。而且，線上的點(diǎn)與數(shù)的關(guān)系，正是學(xué)生發(fā)展有理數(shù)概念和進(jìn)一步領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合思想的重要載體。對(duì)此，我們從滬教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材出發(fā)展開了教學(xué)研究。

一、滬教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的分?jǐn)?shù)內(nèi)容：沒有把“數(shù)射線上的分?jǐn)?shù)”作為重要的概念來設(shè)計(jì)

盡管《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》和《上海市中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（試行稿）》對(duì)“數(shù)射線上的分?jǐn)?shù)”均無明確的要求，但是滬教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中有相關(guān)的內(nèi)容——這大概是教材編者對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)的拓展延伸。

滬教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材把分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)大致劃分為兩個(gè)階段。

在三年級(jí)第二學(xué)期，教材設(shè)計(jì)“分蛋糕”“分紙帶”“分糖果”等平均分活動(dòng)，借助實(shí)物和圖形，幫助學(xué)生具體而直觀地認(rèn)識(shí)幾分之一（分?jǐn)?shù)單位）和幾分之幾（一般分?jǐn)?shù)）。由此可以推測(cè)，學(xué)生在平均分的基礎(chǔ)上建立起對(duì)分?jǐn)?shù)概念的初步認(rèn)識(shí)，通過具體、直觀的模型理解分?jǐn)?shù)的含義。教材中常用的分?jǐn)?shù)模型有兩類：一類是連續(xù)量模型，包括圓形（面積）模型（如蛋糕、比薩）和線形（長(zhǎng)度）模型（如紙帶、刻度尺）;另一類是離散量模型，如一些糖果、一群鴨子。之后，教材還基于自然數(shù)與分?jǐn)?shù)的比較，通過分?jǐn)?shù)單位的疊加，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)“幾個(gè)幾分之一就是幾分之幾”;并借助分?jǐn)?shù)單位的概念，幫助學(xué)生建立真分?jǐn)?shù)大小序列的概念，逐漸開始用分?jǐn)?shù)表示現(xiàn)實(shí)世界中的量。

在四年級(jí)第一學(xué)期，教材借助具體實(shí)物，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)比較同分母或同分子分?jǐn)?shù)的大小，并且認(rèn)識(shí)相等分?jǐn)?shù);在涂一涂、畫一畫或利用分?jǐn)?shù)單位推算的過程中，引導(dǎo)學(xué)生初步學(xué)會(huì)計(jì)算分母在20以內(nèi)的同分母分?jǐn)?shù)的加減。在這個(gè)階段，教材在線形（長(zhǎng)度）模型的基礎(chǔ)上引入“分?jǐn)?shù)墻”（不同分?jǐn)?shù)單位線形模型的疊加），由此對(duì)分?jǐn)?shù)大小比較和加減計(jì)算進(jìn)行整理，直觀建立起分?jǐn)?shù)大小比較和加減計(jì)算的統(tǒng)一模型。不僅如此，教材還在最后的“整理和提高”單元中，把數(shù)射線作為工具，用來比較同分母或同分子分?jǐn)?shù)的大小、計(jì)算同分母分?jǐn)?shù)的加減。

從上述梳理中我們發(fā)現(xiàn)，教材利用具體、直觀的面積模型、長(zhǎng)度模型和離散數(shù)量模型，幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)概念的兩個(gè)側(cè)面：從部分與整體的關(guān)系定義分?jǐn)?shù)，由分?jǐn)?shù)單位的計(jì)數(shù)表示作為對(duì)象的分?jǐn)?shù)。但是，教材僅把由長(zhǎng)度模型進(jìn)一步抽象得到的數(shù)射線作為工具，用來比較同分母或同分子分?jǐn)?shù)的大小、計(jì)算同分母分?jǐn)?shù)的加減，并沒有把數(shù)射線上的分?jǐn)?shù)作為重要的概念來設(shè)計(jì)。

二、學(xué)生理解“數(shù)射線上分?jǐn)?shù)”的基礎(chǔ)

在文獻(xiàn)研究中我們發(fā)現(xiàn)，關(guān)于“數(shù)射線上的分?jǐn)?shù)”，美國(guó)的州際核心數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（Common Core State Standards for Mathematics）有相關(guān)表述：（1）把數(shù)射線上從0到1的線段等分成若干份，取其中一份，將該線段的一個(gè)端點(diǎn)和原點(diǎn)對(duì)齊，另一個(gè)端點(diǎn)在數(shù)射線上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)就表示幾分之一;（2）把數(shù)射線上從0到1的線段等分成若干份，取其中幾份，將該線段的一個(gè)端點(diǎn)和原點(diǎn)對(duì)齊，另一個(gè)端點(diǎn)在數(shù)射線上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)就表示幾分之幾。而且，編寫組解讀在數(shù)射線上表示分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)進(jìn)階時(shí)，強(qiáng)調(diào)了如下兩點(diǎn)：第一，長(zhǎng)度模型可以看作數(shù)射線的直觀模型;第二，學(xué)生測(cè)量長(zhǎng)度的經(jīng)驗(yàn)是理解數(shù)射線上分?jǐn)?shù)的基礎(chǔ)。

對(duì)此，滬教版教材事實(shí)上也已經(jīng)做好了準(zhǔn)備：

第一，關(guān)于數(shù)射線。在一年級(jí)第一冊(cè)“10以內(nèi)的數(shù)”單元中，就已經(jīng)引入數(shù)射線，使用數(shù)射線表示整數(shù)的次序及大小的比較;在后面整數(shù)的加、減法以及乘法計(jì)算中，不斷使用數(shù)射線幫助學(xué)生直觀地理解計(jì)算過程。從這個(gè)視角來看，數(shù)射線作為一種工具或模型，四年級(jí)學(xué)生是比較熟悉的。

第二，關(guān)于長(zhǎng)度測(cè)量。在一年級(jí)第二冊(cè)“幾何小實(shí)踐”單元中，就已經(jīng)引入長(zhǎng)度測(cè)量：從學(xué)生在日常生活中積累的大量關(guān)于比較物體長(zhǎng)短的感性經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生對(duì)熟悉的事物做長(zhǎng)度的比較和測(cè)量，通過操作活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)對(duì)于同一物體，所用的測(cè)量工具（標(biāo)準(zhǔn)）不同，測(cè)出的結(jié)果也不一致，由此引起認(rèn)知沖突，從而體會(huì)到統(tǒng)一度量單位的重要意義，知道長(zhǎng)度單位的重要作用，認(rèn)識(shí)長(zhǎng)度單位米和厘米，認(rèn)識(shí)米尺和厘米尺，學(xué)會(huì)用它們來測(cè)量……從這個(gè)視角來看，四年級(jí)學(xué)生已經(jīng)能夠運(yùn)用正確的方法測(cè)量物體的長(zhǎng)度，了解測(cè)量長(zhǎng)度時(shí)需要注意的0、長(zhǎng)度、刻度三要素：測(cè)量對(duì)象一端與0刻度對(duì)齊，另一端對(duì)應(yīng)的刻度就是其長(zhǎng)度。

三、學(xué)生理解“數(shù)射線上分?jǐn)?shù)”的困難

滬教版教材一年級(jí)就引入了數(shù)射線，用于認(rèn)識(shí)整數(shù)及其次序，進(jìn)行加減運(yùn)算;而且介紹了長(zhǎng)度測(cè)量的方法，為學(xué)生在數(shù)射線上找分?jǐn)?shù)提供了可類比遷移的固著點(diǎn)。那么，學(xué)生在四年級(jí)學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)之后，在數(shù)射線上表示分?jǐn)?shù)還會(huì)存在困難嗎？對(duì)此，我們?cè)O(shè)計(jì)了三個(gè)部分的教學(xué)前測(cè)試題：（1）用直觀模型（面積、長(zhǎng)度、數(shù)量）表示分?jǐn)?shù);（2）在數(shù)射線上表示整數(shù);（3）在數(shù)射線上表示分?jǐn)?shù)。由此，我們對(duì)上海市靜安區(qū)一所小學(xué)四年級(jí)一個(gè)班的38名學(xué)生進(jìn)行了測(cè)試。

結(jié)果表明，第一部分試題，學(xué)生的正確率幾乎是100%。特別是在標(biāo)有17米長(zhǎng)度的紙帶圖形上找37米的長(zhǎng)度時(shí)，學(xué)生表現(xiàn)出對(duì)分?jǐn)?shù)概念的兩種理解。第一，部分與整體的關(guān)系。恰好有一半學(xué)生先將紙帶7等分，再取其中的3份。第二，分?jǐn)?shù)單位的計(jì)數(shù)。另一半學(xué)生直接利用17米重復(fù)測(cè)量三次，得到37米，即通過分?jǐn)?shù)單位構(gòu)造同分母的其他分?jǐn)?shù)。

第二部分試題，只有4位學(xué)生發(fā)生錯(cuò)誤。

上述測(cè)試結(jié)果說明，學(xué)生已經(jīng)初步建立了良好的分?jǐn)?shù)概念，同時(shí)比較熟悉數(shù)射線上的整數(shù)。

然而，第三部分試題出現(xiàn)了截然不同的測(cè)試結(jié)果：

首先，給定數(shù)射線的原點(diǎn)和1的位置，在數(shù)射線上找13的位置。13位學(xué)生找到了表示13的點(diǎn)，他們能夠在單位“1”的基礎(chǔ)上找到表示幾分之一的點(diǎn);7位學(xué)生標(biāo)出了從原點(diǎn)開始表示13的線段，他們能夠找到表示幾分之一的線段，但是沒有把它對(duì)應(yīng)到數(shù)射線上的一個(gè)點(diǎn);3位學(xué)生標(biāo)出了表示13的中間的那條線段，他們能夠找到表示幾分之一的線段，但是沒有讓它的一端從原點(diǎn)開始，另一端點(diǎn)落到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)上;另外的15位學(xué)生發(fā)生了各種錯(cuò)誤，其中有少數(shù)直接放棄?？梢?，盡管用直觀模型表示分?jǐn)?shù)時(shí)，所有的學(xué)生都能找到對(duì)應(yīng)的量，在數(shù)射線上表示整數(shù)時(shí)，幾乎所有的學(xué)生都很自然地把數(shù)和點(diǎn)對(duì)應(yīng)了起來，但是在數(shù)射線上表示分?jǐn)?shù)時(shí)，學(xué)生出現(xiàn)了困難。究其原因，可能是把長(zhǎng)度模型中用分?jǐn)?shù)表示長(zhǎng)度（線段）關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)射線上用分?jǐn)?shù)表示位置（點(diǎn)）對(duì)象，以及增加了平均分單位“1”這一步驟，給學(xué)生遷移測(cè)量長(zhǎng)度時(shí)需要注意的關(guān)鍵要素0、長(zhǎng)度、刻度之間的關(guān)系得到數(shù)射線上原點(diǎn)、線段與對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的關(guān)系帶來了干擾。

其次，給定數(shù)射線的原點(diǎn)和1、4的位置，在數(shù)射線上找34的位置。只有2位學(xué)生找到了表示34的點(diǎn)。24位學(xué)生把在這個(gè)點(diǎn)放在3和4之間。他們的誤解可能在于兩個(gè)方面。第一，表示單位“1”的量。在之前接觸的所有模型中，無論是面積、長(zhǎng)度還是數(shù)量，總是把所有的作為一個(gè)整體，看作單位“1”。于是，學(xué)生很自然地把從原點(diǎn)到4這個(gè)點(diǎn)的長(zhǎng)度看成單位“1”。事實(shí)上，哪個(gè)量作為單位“1”是分?jǐn)?shù)表示的關(guān)鍵：即使是相同的量，在不同的單位“1”下，分?jǐn)?shù)表示也是不相同的。然而，在這些模型中，并不一定要把整體作為單位“1”，我們可以任意規(guī)定單位“1”。比如，一個(gè)正方形等分成4個(gè)小正方形，如果整個(gè)大正方形作為單位“1”，則每個(gè)小正方形可以表示14;如果整個(gè)正方形的一半作為單位“1”，則每個(gè)小正方形可以表示12。這個(gè)和整數(shù)的表示在本質(zhì)上是完全一致的。一開始表示整數(shù)時(shí)，我們極其自然地把一當(dāng)作計(jì)數(shù)單位，甚至毫無察覺。后來，在十進(jìn)制下，我們把10個(gè)一作為一個(gè)復(fù)合的單位十。以后還有更大的單位百、千、萬等。第二，分?jǐn)?shù)的大小。估計(jì)很多人會(huì)十分驚訝：四年級(jí)學(xué)生學(xué)完了這么多分?jǐn)?shù)的知識(shí)，怎么可能還不知道34比1小呢？然而，在新的情境中，學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)大小的認(rèn)識(shí)和表示分子和分母的整數(shù)“無縫對(duì)接”了起來（也可以說是混用了“分?jǐn)?shù)視角”和“整數(shù)視角”），得到了“34就在3和4之間”的結(jié)果。

再次，給定數(shù)射線的原點(diǎn)和13的位置，在數(shù)射線上找34的位置。沒有學(xué)生能找到表示34的點(diǎn)。這是我們預(yù)料之中的。解決這個(gè)問題，一種方法是，首先由13找到單位“1”，然后在單位“1”的基礎(chǔ)上構(gòu)造新的分?jǐn)?shù)單位14;另外一種方法是，在相等分?jǐn)?shù)的概念下，先找到這兩個(gè)分?jǐn)?shù)13=412，34=912的共同單位112可以通過四等分13實(shí)現(xiàn)，再構(gòu)造新的分?jǐn)?shù)單位14也可以不構(gòu)造14，直接利用112。無論采用哪種方法，學(xué)生都會(huì)遭遇極大的挑戰(zhàn)。

四、“數(shù)射線上的分?jǐn)?shù)”教學(xué)設(shè)計(jì)

我們針對(duì)美國(guó)州際核心數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的內(nèi)容要求，基于滬教版教材的編排以及上海學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和困難，設(shè)計(jì)了“數(shù)射線上的分?jǐn)?shù)”的教學(xué)。

（一）復(fù)習(xí)引入

在引入環(huán)節(jié)，首先出示四道辨析題（如圖1所示），幫助學(xué)生回憶數(shù)射線的三要素，即原點(diǎn)、方向和單位長(zhǎng)度。這里，相對(duì)而言，第4條數(shù)射線是最合適的：第1條數(shù)射線可以用原點(diǎn)這個(gè)要素排除，第2條數(shù)射線可以用方向這個(gè)要素排除，第3條數(shù)射線可以用單位長(zhǎng)度這個(gè)要素排除。

教學(xué)中最重要的一點(diǎn)，是讓學(xué)生意識(shí)到，在數(shù)射線上找自然數(shù)是從“0”出發(fā)向右、以“1”為基本單位的——1個(gè)“1”是1，2個(gè)“1”是2，3個(gè)“1”是3，以此類推。這時(shí)，需要注意的是，學(xué)生在數(shù)射線上找自然數(shù)時(shí)，常常關(guān)注對(duì)應(yīng)的線段（長(zhǎng)度），比如說“從0開始向右數(shù)1段”“從0開始向右數(shù)3段”等，甚至有時(shí)手上指著的其實(shí)是對(duì)應(yīng)的點(diǎn)。對(duì)此，教師需要強(qiáng)調(diào)數(shù)射線上的點(diǎn)（位置）與數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系（可以聯(lián)系長(zhǎng)度測(cè)量的方法）：每個(gè)數(shù)都有其特定的位置，一個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)數(shù)。教師可以用手指一指點(diǎn)的位置，并說一說這個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)，如“這個(gè)點(diǎn)表示的是1”“這個(gè)點(diǎn)表示的是3”。這樣，才能為學(xué)生后續(xù)在數(shù)射線上找分?jǐn)?shù)，理解分?jǐn)?shù)是自然數(shù)的擴(kuò)充做好準(zhǔn)備。

（二）在數(shù)射線上找分?jǐn)?shù)

探究1在數(shù)射線上可以用點(diǎn)表示1、2、3、4這些自然數(shù)，那么最近學(xué)習(xí)的分?jǐn)?shù)能不能也在數(shù)射線上找到相對(duì)應(yīng)的點(diǎn)呢？比如12、14這兩個(gè)點(diǎn)在哪里？

基于上述第三部分試題第1題和第2題的測(cè)試結(jié)果（數(shù)射線上的分?jǐn)?shù)表示的是一段長(zhǎng)度還是一個(gè)點(diǎn)？從哪一個(gè)點(diǎn)開始向右數(shù)？究竟把哪一部分看作整體？分?jǐn)?shù)與整數(shù)的大小關(guān)系如何？），我們?cè)O(shè)計(jì)了“探究1”，引導(dǎo)學(xué)生在知道數(shù)射線上包括單位“1”在內(nèi)的多個(gè)自然數(shù)的情況下，遷移找自然數(shù)的方法，找比較簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)單位。教學(xué)中，教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生注意數(shù)射線上的點(diǎn)（位置）與分?jǐn)?shù)單位之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，而且要幫助學(xué)生理解在數(shù)射線上找分?jǐn)?shù)與在長(zhǎng)度模型中表示分?jǐn)?shù)的另一個(gè)不同：數(shù)射線上表示單位“1”的量只能是從點(diǎn)0到點(diǎn)1的長(zhǎng)度，即單位長(zhǎng)度，否則表示某個(gè)分?jǐn)?shù)的點(diǎn)（位置）就不是確定的，而且分?jǐn)?shù)作為對(duì)象與整數(shù)的大小關(guān)系也是不確定的。以及在數(shù)射線上找分?jǐn)?shù)與找整數(shù)的主要不同：平均分單位“1”，得到分?jǐn)?shù)單位。這時(shí)，教師特別需要注意用多媒體技術(shù)動(dòng)態(tài)演示找分?jǐn)?shù)單位的過程，從而促進(jìn)學(xué)生掌握在數(shù)射線上找分?jǐn)?shù)單位的方法。

探究234這個(gè)點(diǎn)在哪里？

基于上述第三部分試題第2題的測(cè)試結(jié)果，我們?cè)O(shè)計(jì)了“探究2”，引導(dǎo)學(xué)生在知道數(shù)射線上包括單位“1”在內(nèi)的多個(gè)自然數(shù)的情況下，基于找分?jǐn)?shù)單位的方法，找稍微復(fù)雜的一般分?jǐn)?shù)。由于學(xué)生在“探究1”中，經(jīng)歷了找分?jǐn)?shù)單位的過程，這里能夠比較容易地找到一般分?jǐn)?shù)。這時(shí)，教師特別需要注意引導(dǎo)學(xué)生用比較規(guī)范的語言說清楚找一般分?jǐn)?shù)的過程，進(jìn)而充分理解分?jǐn)?shù)序列的概念。

探究3有一條不完整的數(shù)射線，上面除了原點(diǎn)，只標(biāo)出了12的位置，你能不能在這條數(shù)射線上找到23的位置？

基于上述第三部分試題第3題的測(cè)試結(jié)果，我們?cè)O(shè)計(jì)了“探究3”，引導(dǎo)學(xué)生在知道數(shù)射線上的一個(gè)分?jǐn)?shù)的情況下，逆向思考，先找到單位“1”，再找另一個(gè)異分母的分?jǐn)?shù)，從而幫助學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)單位“1”的重要性，并鞏固找分?jǐn)?shù)的方法。這時(shí)，教師特別需要引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)倍數(shù)與平均分的過程中，注意測(cè)量得到的具體長(zhǎng)度與抽象表示的數(shù)之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系。

探究4你能不能在這條數(shù)射線上找到54的位置？

“探究4”是拓展性的探究活動(dòng)，意在引導(dǎo)學(xué)生基于找真分?jǐn)?shù)的方法，找更復(fù)雜的假分?jǐn)?shù)。教學(xué)中，教師要特別強(qiáng)調(diào)對(duì)“分?jǐn)?shù)是分?jǐn)?shù)單位的計(jì)數(shù)”的理解，從而幫助學(xué)生順利遷移找一般的真分?jǐn)?shù)的方法。當(dāng)然，這里還可以增加一個(gè)變式——在數(shù)射線上除了原點(diǎn)，只標(biāo)出2（或其他非單位“1”的整數(shù)）的位置，從而強(qiáng)化學(xué)生找單位“1”的意識(shí)。

（三）追問升華

在課尾，追問學(xué)生：“你能說一說自然數(shù)與分?jǐn)?shù)之間的聯(lián)系嗎？”引導(dǎo)學(xué)生理解：1個(gè)1個(gè)地?cái)?shù)就有了自然數(shù)，“1”是自然數(shù)的單位;不滿“1”時(shí)，就要把“1”平均分，得到分?jǐn)?shù)單位，1個(gè)1個(gè)地?cái)?shù)分?jǐn)?shù)單位就有了分?jǐn)?shù)。在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生有效溝通自然數(shù)與分?jǐn)?shù)之間的聯(lián)系，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)數(shù)系的擴(kuò)充。

五、“數(shù)射線上的分?jǐn)?shù)”教學(xué)反饋

教學(xué)“數(shù)射線上的分?jǐn)?shù)”兩周后，我們?cè)俅螌?duì)學(xué)生進(jìn)行了測(cè)試，結(jié)果發(fā)現(xiàn)：（1）給定數(shù)射線的原點(diǎn)和1的位置，有92%的學(xué)生能找到14的位置;（2）給定數(shù)射線的原點(diǎn)和1、2、3、4的位置，有71%的學(xué)生能找到23的位置;（3）給定數(shù)射線的原點(diǎn)和13的位置，有92%的學(xué)生能找到23的位置;（4）給定數(shù)射線的原點(diǎn)和14的位置，只有16%的學(xué)生能找到45的位置。

這說明，經(jīng)過教學(xué)，學(xué)生對(duì)數(shù)射線上分?jǐn)?shù)的理解已經(jīng)有了很大程度的提高，但是在知道數(shù)射線上一個(gè)分?jǐn)?shù)的情況下找另一個(gè)異分母的分?jǐn)?shù)，還是感到困難——即使他們已參與過類似的探究。這進(jìn)一步啟發(fā)我們，只安排一課時(shí)，學(xué)生并不能充分掌握“數(shù)射線上的分?jǐn)?shù)”這一內(nèi)容，還需要增加一課時(shí)，重點(diǎn)幫助學(xué)生鞏固在數(shù)射線上找分?jǐn)?shù)的方法，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)射線比較分?jǐn)?shù)的大小，計(jì)算同分母分?jǐn)?shù)的加減。

參考文獻(xiàn)：

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