閆 欣 汪曉勤 (華東師范大學教師教育學院 200062)

1 引言

集合作為現(xiàn)代數(shù)學的基本語言，可以簡潔、準確地概括、表達數(shù)學內(nèi)容．在19世紀之前，雖然set作為一個名詞經(jīng)常出現(xiàn)在人們的生活中，但其含義類似于collection，概念模糊，并無確切的定義．19世紀70年代，德國數(shù)學家康托爾(Cantor，1845—1918)創(chuàng)立了集合論．他在解決涉及無限量的數(shù)學問題時，跳出傳統(tǒng)的數(shù)集研究，提出了一般性的集合概念．無窮概念抽象而準確的表達、無窮集合與其真子集的一一對應、由羅素悖論引發(fā)的第三次數(shù)學危機，促使集合論一步一步走向公理化，同時也促進其他數(shù)學領域如微積分、實變函數(shù)論、代數(shù)拓撲等的發(fā)展[1]．經(jīng)過半個世紀的演變，集合論在20世紀20年代的數(shù)學理論體系中已經(jīng)擁有無可比擬的重要地位，現(xiàn)代數(shù)學各個分支幾乎所有成果都離不開嚴格的集合論支撐．

人教版數(shù)學教科書將集合定義為研究對象組成的總體，并設置了判斷某些元素的全體是否組成集合的課后習題．作為高中數(shù)學的第一節(jié)課，集合不僅銜接了初中數(shù)學與高中數(shù)學，也體現(xiàn)了高中數(shù)學更加抽象、嚴謹?shù)乃季S要求．有學生不免會問：學習集合有什么用？為什么要在高中第一節(jié)課學習集合？數(shù)學里的“集合”與我們?nèi)粘Ｉ钪惺熘摹凹稀庇惺裁磪^(qū)別？教師也會思考：在課堂教學中，如何更好地刻畫集合的概念、理清集合的關系、把握集合的運算？

為了解決以上問題，我們需要了解集合概念的歷史．集合概念在數(shù)學教科書中的演變過程反映了人們在認識上逐漸完善的過程．同時，參考早期教科書，也是站在前人肩膀上，可以幫助我們從更高的視角來更好地講授集合概念．

基于此，本文考察了1954—1963年間出版的14種美國代數(shù)教科書中與集合相關的內(nèi)容，試圖解答以下問題：美國早期教科書呈現(xiàn)了有關集合的哪些內(nèi)容？又是如何呈現(xiàn)的？與當前的教科書有何不同？對當前的教學有何啟示？

2 教科書的選取

本文從相關數(shù)據(jù)庫中選取了14種美國早期代數(shù)教科書為研究對象，其中出版于1958,1959和1961年的各1種，出版于1954和1963年的各2種，出版于1960年的有3種，出版于1962年的有4種．

考察14種美國早期代數(shù)教科書中集合的相關內(nèi)容，其中8種分布在介紹集合及其相關內(nèi)容的章節(jié)中，如集合和數(shù)軸、命題、變量、函數(shù)；其余6種分布在將集合視為預備知識的章節(jié)中，如自然數(shù)、數(shù)學語言、概率、等價關系、函數(shù)．14種教科書中，11種含有獨立介紹集合的小節(jié)；3種沒有獨立介紹集合的章節(jié)，集合的相關概念出現(xiàn)在其他章節(jié)里，如數(shù)學符號與運算、概率事件、等價關系等．14種教科書中，集合的相關內(nèi)容主要可分為以下四個板塊：集合的定義、集合的表示、集合的關系、集合的運算．

3 集合的概念

3.1 集合概念的引入

作為通常的生活用語，set一詞于英國數(shù)學家弗倫德(Frend,1757—1841)的《代數(shù)學原理》中已出現(xiàn)，之后，它常常被數(shù)學教科書所采用．現(xiàn)代數(shù)學意義上的“集合”(德文menge，法文 ensemble)一詞源于集合論創(chuàng)立者康托爾．在英文中，作為數(shù)學專有名詞的set一詞直到20世紀初才出現(xiàn)．

到了20世紀中葉，集合概念進入數(shù)學教科書．一些教科書在引入集合概念時，往往會交代學習該概念的緣由，主要包括集合的地位、意義、用途等，見表1．

表1 集合概念的引入

多數(shù)教科書都論及集合論在數(shù)學上的重要地位．Koo，Burchenal，Blyth還解釋了用set而不用collection來表達數(shù)學上的“集合”的緣由：人們默認collection是由相似的物品組成，比如玩具、郵票、硬幣，有“收集”之意；而set可以由完全沒有任何相似之處的物品組成，因而更符合數(shù)學上的涵義[12]．

3.2 集合的定義

多數(shù)教科書引入集合概念后，對其進行了定義．表2給出了教科書中若干典型的定義．

由2表可見，Rosenbaum強調(diào)了集合元素的“確定性”，即：對于任何一個集合，都有相關標準來判斷一個元素是否屬于該集合，并稱之為“完備的集合定義”[13]．14種教科書中，有6種體現(xiàn)了集合元素的“確定性”．

表2 集合的定義

但除了“確定性”，早期教科書很少涉及集合元素的其他性質(zhì)，只有2種教科書間接體現(xiàn)了“無序性”，2種教科書間接體現(xiàn)了“互異性”．Kelley舉例論述了三種性質(zhì)[4]．

3.3 集合的表示

在14種教科書中，11種使用大寫字母A，B，C，…來表示集合，8種用小寫字母a，b，c，…來表示元素，6種采用了“屬于”和“不屬于”的符號(a∈A，a?A)．

集合的表示方法有“自然語言”“列舉法”和“描述法”三類.其中，“自然語言”即為通過日常語句概括、描述、表示集合的共同特征；“列舉法”即為一一枚舉集合中的元素，并用花括號將其括起來，如果元素過多且符合某項特征規(guī)律，可使用省略號；“描述法”即為僅使用抽象的數(shù)學符號來概括、描述、表示集合的共同特征．

在14種教科書中，7種使用了自然語言，10種使用了列舉法，2種使用了描述法．由于自然語言能幫助學生準確概括集合的共同特征，列舉法能幫助學生清晰準確地逐個給出集合中的元素，因此多種教科書同時使用了自然語言和列舉法．但由于描述法的抽象程度較高，鮮有教科書采用．Artin同時采用了三種表示方法，并以Z表示整數(shù)集，Q表示有理數(shù)集，R表示實數(shù)集，C表示復數(shù)集[14]．

3.4 集合的分類

少數(shù)教科書從集合論的視角給出了有限集和無限集的定義．Levi將有限集定義為“可以與標準集{1，2，3，…，n}建立一一對應關系的集合”，將無限集定義為“可以與自己的真子集建立一一對應關系的集合”[2]．SMSG將有限集定義為“可以從頭至尾一一數(shù)出其中的元素的集合”，將無限集定義為“不能從頭至尾一一數(shù)出其中的元素的集合”[11]．Haag則將有限集定義為“不能與自己的真子集建立一一對應關系的集合”[5]．Levi還給出了基數(shù)的概念：“與標準集{1，2，3，…，n}建立一一對應關系的集合的基數(shù)為n．”[2]

4 集合的關系與運算

4.1 集合之間的關系

13種教科書給出了子集的定義：若集合A中的所有元素都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B的子集．

關于真子集，Levi給出定義：“若集合A是集合B的子集，且B中存在某個元素x不是A的元素，則稱集合A是集合B的真子集．”[2]Haag給出定義：“集合A是集合B的子集，且A和B不相等，則集合A是集合B的真子集．”[5]

6種教科書采用了包含關系的符號，即：若集合A是集合B的子集，則B包含A，即A?B,B?A．Rosenbaum則用A?B表示“A是B的子集”，A?B表示“A是B的真子集”[13]．

關于集合的相等，Levi給出的定義為“若構成兩個集合的元素相同，則稱兩個集合相等”[2]；Artin的定義為“集合A包含集合B，集合B包含集合A，則集合A和集合B相等”[14]．

關于空集，Levi的定義為“不含任何元素的集合”[2]，而Artin的定義為“集合A相對于集合A的補集”[14]．SMSG特別指出：集合{0}不是空集，它包含了元素0[11][15]；Kelley指出：空集不代表無，就像“一個空盒子不同于完全沒有盒子”一樣；同時，空集也不等于以空集為元素的集合[4]．Koo，Burchenal，Blyth Delia交代了空集符號?及其讀法[12]．

一些教科書給出了有關子集和空集的性質(zhì)：

·空集是任何集合的一個子集[15]；

·任何一個集合都是其自身的一個子集[15]；

·一個集合的最大子集是它本身，最小的子集是空集[4]；

·空集的子集只有空集[4]；

·若A是B的子集，B是C的子集，則A是C的子集[4]；

·若集合A的真子集是空集，則A只有一個元素[2]．

此外，3種教科書還給出了集合之間的一一對應關系：對于集合A中的每個元素，都有集合B中的某個元素與之對應，反之亦然，且一個集合中的不同元素不會有另一個集合中的同一個元素與之對應．

4.2 集合的運算

表3～5分別給出了早期教科書中的并集、交集和補集的不同定義．Levi給出了任意數(shù)量的集合的并集、交集定義[2]；Miller，Green在概率論樣本空間的基礎之上，類比數(shù)字的加法、乘法給出集合的并集、交集定義，并以數(shù)字0類比空集，數(shù)字1類比樣本空間[10]．

表3 并集的定義

表4 交集的定義

表5 補集的定義

在定義并集和交集概念的教科書中，有8種采用了符號A∪B和A∩B．Kelley用A～B來表示集合A相對于集合B的補集[4]；Hall和Kattsoff用U-C來表示集合C相對于全集U的補集[7]．Artin討論了任意多個集合的并集、交集和積集[14]．

Kelley使用了韋恩圖來表示交集、并集運算法則和德摩根律[4]，如圖1所示．

圖1 Kelley使用的韋恩圖

Miller,Green強調(diào)韋恩圖的作用：韋恩圖可以使集合運算可視化、直觀展示集合之間的關系，并采用了各類韋恩圖，類比實數(shù)運算法則，推導出一些交集、并集的運算法則[10]，如圖2所示．

圖2 Miller和Simon采用的韋恩圖

Brumfiel利用矩形韋恩圖來表示集合的并集和交集[9]，如圖3所示．

圖3 Brumfiel采用的韋恩圖

除去以上類型的集合運算，4種教科書給出了笛卡兒積集的概念，即：集合A中元素a和集合B中元素b組成的有序數(shù)對(a，b)組成的集合，符號表示為A×B．Brumfiel還指出，如果集合A中有m個元素，集合B中有n個元素，那么集合A×B中有mn個元素，這也是為何稱之為積集并使用乘法符號的原因[9]．

5 集合的應用

表6 集合的應用

早在初中學習初等函數(shù)和不等式時，學生就已知道解集的含義．早期教科書中，SMSG[11]，Haag[5]，Kelley[4]將解集定義為：所有使得開命題變?yōu)檎婷}的元素組成的集合．Hall,Kattsoff通過利用兩個方程的解集的交集求得其公共解[7]．

值得一提的是，部分教科書，如SMSG[11]，Haag[5]，Brumfiel[9]，Hall和Kattsoff[7]等給出了數(shù)集圖象(the graph of a set)的定義：與集合中的數(shù)字相對應的實數(shù)軸上的點組成的集合即為集合的圖象．其中，元素是點的坐標表示，點是元素的圖象表示．Kelley在平面直角坐標系上畫出滿足y=x+1的有序數(shù)對(x，y)的集合的圖象[4]；Hall,Kattsoff將橫軸與縱軸的積集稱為笛卡兒平面，并利用橫實數(shù)軸上、下的點組成的集合與縱實數(shù)軸左、右的點組成的集合的交集表示出第一、第二、第三、第四象限的定義[7]．

6 教學啟示

以上我們看到，關于集合概念，美國早期教科書呈現(xiàn)了引入、定義、性質(zhì)、運算、應用等豐富的內(nèi)容，為今日課堂教學提供了許多啟示．

其一，關于為什么要學習集合，而且為什么要在高中第一節(jié)課學習集合的問題，早期教科書指出，集合是常見的數(shù)學語言，可以對數(shù)學研究對象進行分類歸納，是各個數(shù)學分支(映射函數(shù)、邏輯推理、概率統(tǒng)計)的基礎，在現(xiàn)代數(shù)學中影響深遠．

其二，從早期教科書表示集合的方法可以看出，對于剛剛接觸集合概念的學生來說，列舉法能夠幫助他們清晰、直觀地表示集合，加深集合定義的刻畫；自然語言能夠幫助他們準確、簡潔地表示集合，培養(yǎng)概括數(shù)學對象的能力．描述法在早期教科書中出現(xiàn)較少，這說明描述法對于學生來說可能存在歸納提取、抽象表述元素共同特征等方面的學習障礙．

其三，部分早期教科書通過現(xiàn)實情境來幫助學生理解集合的相關概念和集合之間的關系，如：空集并不代表沒有集合，就像“空盒子不同于沒有盒子”一樣．在集合的教學中，教師可以充分利用現(xiàn)實情境.例如，教師可以這樣打比方：以空集為元素的集合并不等于空集，就像“含有空盒子的抽屜不同于空抽屜”一樣；集合{0}并不等于空集，就像“含有一張標有0的卡片的盒子不是空盒子”一樣．

其四，關于學習集合有什么用的問題，早期教科書給出了不同維度的解答．對學生來說，從短期來看，學習集合可以幫助他們更加清晰地刻畫函數(shù)定義、更加準確地表示方程和不等式的解集、更加嚴謹?shù)赝茖握?；從長期來看，學習集合可以通過進一步建立等價關系從而得到劃分下的商集，進一步論述“無窮”的內(nèi)涵[16]，解答“0和1之間的有理數(shù)多還是無理數(shù)多”等抽象數(shù)學問題．

其五，多數(shù)教科書只強調(diào)集合元素的確定性，而忽略其無序性和互異性，這提示我們，今天的學生也可能會出現(xiàn)同樣的錯誤．教師在課堂上可以通過集合相等的概念讓學生發(fā)現(xiàn)，即使元素順序不同，集合也保持不變；而集合本身的含義就要求其元素兩兩不同．教師也可以設計反例讓學生加以辨析．