四川省攀枝花市老年科學(xué)技術(shù)工作者協(xié)會 張喜安

康托集合論的基本觀點(diǎn)是：一個無窮集合可以和它的一個真子集一一對應(yīng)，部分可以和全體相等。這個觀點(diǎn)正是康托集合論的一個定理，現(xiàn)在我們稱這個定理為康托集合論的基本定理，為了論述得方便，我們把這個定理及其證明引述如下：

康托集合論的基本定理 令a，b為實(shí)數(shù)，并且a＜b，則[a，b]的基數(shù)等于[0，1]的基數(shù)。

證明：令y=f(x)=a+(b-a)x，顯然y=f(x)為[0，1]→[a，b]的雙射函數(shù)，這就證明了[a，b]的基數(shù)等于[0，1]的基數(shù)。

這個定理表明一個無窮集合可以和它的一個真子集一一對應(yīng)，部分可以和全體相等。例如，由于存在函數(shù)y=2x為[0，1]→[0，2]的雙射函數(shù)，所以[0，1]和[0，2]為一一對應(yīng)的關(guān)系，這時無窮集合[0，2]和它的真子集[0，1]一一對應(yīng)，部分[0，1]和全體[0，2]相等。

為了證明康托集合論是錯誤的，我們將以具體的例子來證明康托集合論的基本定理的證明不能成立。

再有，在[0，1]在x軸上，[0，2]在y軸上，在y=2x的時候，[0，1]和[0，2]是一一對應(yīng)的關(guān)系，這時，我們還要注意到，在y=x的條件下，[0，1]和[0，2]卻是非一一對應(yīng)的關(guān)系。這時我們要問，[0，1]和[0，2]是一一對應(yīng)的關(guān)系，還是非一一對應(yīng)的關(guān)系？這表明，康托的兩個集合間一一對應(yīng)的定義是不能判斷兩個實(shí)數(shù)點(diǎn)的集合是不是一一對應(yīng)的關(guān)系。同時我們還要注意到，康托集合論的兩個集合間一一對應(yīng)的定義是一個全稱量詞命題，如果這個命題是正確的，它就不可能存在相反的命題，但是在y=x的條件下，[0，1]和[0，2]就是非一一對應(yīng)的關(guān)系，這就是一個相反的命題，這個事實(shí)說明，康托集合論的兩個集合間一一對應(yīng)的定義是錯誤的。這個定義是康托集合論的基礎(chǔ)，它是錯誤的，說明康托集合論也就是錯誤的。

根據(jù)以上的分析，我們可以得出結(jié)論，康托集合論的基本定理的證明不能成立，因此康托集合論是錯誤的理論。