楊 帆

(南開大學(xué) 哲學(xué)院， 天津 300350)

羅素悖論的發(fā)現(xiàn)引起了人們對集合論作為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的懷疑，甚至導(dǎo)致了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。一切后續(xù)的集合論研究都不能回避這個(gè)悖論，于是出現(xiàn)了ZF集合論(Zermelo-Fraenkel set theory)和NBG集合論(von Neumann-Bernays-G?del set tehroy)等公理化集合論來解決悖論，它們都對樸素集合論作出了修正。ZF集合論給出的方案是將能夠?qū)е裸Ｕ摰母爬ㄔ瓌t限制為分離公理，即將“如果φ(x)是一個(gè)性質(zhì)，那么就存在一個(gè)集合{x|φ(x)}”修正為“如果φ(x)是一個(gè)性質(zhì)，那么對任意的A存在一個(gè)集合{x∈A|φ(x)}”，這樣就確保每一個(gè)新的集合都是已經(jīng)存在的集合的子集，羅素集R={x|x?x}不復(fù)存在；NBG集合論則引入類的概念，并區(qū)分了集合和真類，集合可以屬于其他集合，而真類不屬于任何集合。這樣，羅素悖論中所有滿足某個(gè)條件的集合所構(gòu)成的集合便不存在，它被定義為真類，由此解決了悖論。

上述兩種公理化集合論的解悖方案分別是對概括原則進(jìn)行限制與區(qū)分集合和真類的定義。替換經(jīng)典邏輯則是第三種思路。隨著非經(jīng)典邏輯研究的興起，構(gòu)造各種非經(jīng)典集合論的嘗試也相繼出現(xiàn)[1]。這些非經(jīng)典集合論多能結(jié)合底層邏輯的特點(diǎn)來解決羅素悖論。目前，國內(nèi)已經(jīng)有學(xué)者開展非經(jīng)典集合論在解悖方面的研究，主要涉及模態(tài)集合論[2]、弗協(xié)調(diào)集合論[3]和直覺主義集合論[4]等幾種非經(jīng)典集合論。但是，國內(nèi)關(guān)于模糊集合論(fuzzy set theory)解決羅素悖論的論述尚不多。模糊集合論是一種非經(jīng)典集合論，雖然創(chuàng)立的初衷是為了刻畫工程中遇到的不精確現(xiàn)象，但為了保證能夠作為模糊數(shù)學(xué)堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)，它依然要探討如何去解決羅素悖論。

本文的創(chuàng)新之處在于探索了各種模糊集合論系統(tǒng)對羅素悖論的解決，綜合地分析并比較了它們的解悖方案，并以此來說明模糊集合論能夠作為模糊數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)而存在。第一節(jié)闡述多值邏輯對羅素悖論的回應(yīng)，第二節(jié)從底層邏輯和方法論兩個(gè)方面闡述模糊集合論公理化的基礎(chǔ)，第三節(jié)分析ZF型模糊集合論、模糊類型論和樸素模糊集合論的構(gòu)造過程，第四節(jié)對這幾種構(gòu)造的解悖方案進(jìn)行分析和比較。

一、多值邏輯對羅素悖論的回應(yīng)

如果要討論模糊集合論對羅素悖論的解決，就無法繞開它的思想來源——多值邏輯(many-valued logic)對羅素悖論的回應(yīng)。作為非經(jīng)典邏輯的一種，多值邏輯對經(jīng)典邏輯中的二值原則持?jǐn)U張的態(tài)度，認(rèn)為命題不只可以取真和假兩個(gè)值，例如三值邏輯認(rèn)為命題可以有第三個(gè)值，有窮值邏輯認(rèn)為命題有n個(gè)值(n是任意的自然數(shù))，無窮值邏輯認(rèn)為命題有可數(shù)無窮多個(gè)值或不可數(shù)無窮多個(gè)值。多值邏輯最初還被認(rèn)為可以替換樸素集合論中的經(jīng)典邏輯來解決羅素悖論。與ZF集合論和NBG集合論的解悖思路不同，多值邏輯既不對概括原則作出任何限制，也不區(qū)分集合和真類的定義，而是將樸素集合論的底層邏輯替換為多值邏輯，例如鮑契瓦爾(D.A.Bochvar)的三值邏輯。如此一來，羅素悖論依然存在，但是這個(gè)命題被指派了第三值，因此并不構(gòu)成經(jīng)典意義上的悖論。

然而，事實(shí)遠(yuǎn)非如此簡單。莫紹揆證明，僅將樸素集合論的經(jīng)典邏輯替換為有窮值邏輯n(3≤n<ω)，仍然會導(dǎo)致悖論[5]。不過，這個(gè)結(jié)論不能推廣到無窮值邏輯。那么無窮值邏輯就因此而值得信賴了嗎？鄭毓信等人證明，任何一個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)，只要包括概括原則、分離規(guī)則、同一律、自然數(shù)系統(tǒng)且承認(rèn)無窮多個(gè)集合可以構(gòu)造并集，就會導(dǎo)致悖論，即使將經(jīng)典邏輯替換為無窮值邏輯也無法避免[6]。杜國平等人進(jìn)而將這個(gè)結(jié)論推廣到任意值邏輯上[7]。杜國平由此斷定，無法通過對樸素集合論的底層邏輯進(jìn)行替換來解決羅素悖論[8]。

多值邏輯對羅素悖論的回應(yīng)之所以失敗，是因?yàn)檫@樣的回應(yīng)是不完備的，即僅將底層邏輯替換為多值邏輯，而沒有深入考察集合論隨之而來的變化。如果不放棄以多值邏輯替換底層邏輯的思路，那么集合論層面就不應(yīng)局限在固有的樸素集合論上，而應(yīng)尋求與多值邏輯相一致的某種新型非經(jīng)典集合論。只要構(gòu)造出基于多值邏輯的非經(jīng)典集合論，就可以繼續(xù)對羅素悖論的解決進(jìn)行合理的探索。幸運(yùn)的是，實(shí)際應(yīng)用中已發(fā)展出一種基于多值邏輯的非經(jīng)典集合論，即模糊集合論，并且它能夠從理論上回應(yīng)羅素悖論。

二、模糊集合論公理化的基礎(chǔ)

模糊集合論的概念最早是扎德(L.A.Zadeh)在其1965年的論文《模糊集合》(Fuzzysets)中提出的[9]，用以處理不精確現(xiàn)象，它表現(xiàn)出了對經(jīng)典集合論的擴(kuò)張。這種擴(kuò)張?bào)w現(xiàn)在模糊集合論對屬于關(guān)系的重新解釋上。在經(jīng)典集合論中，一個(gè)元素要么屬于一個(gè)集合，要么不屬于一個(gè)集合，沒有其他情形。扎德創(chuàng)立的模糊集合論則不同，他認(rèn)為屬于關(guān)系可以用隸屬度(membership degree)的概念來刻畫。簡單來說，就是對論域X，存在一個(gè)從X到實(shí)區(qū)間[0,1]的映射μA，稱作隸屬函數(shù)(membership function)，它代表著一個(gè)模糊集合A。X中的元素x在μA映射下的像μA(x)就是x的隸屬度。這樣，模糊集合A可以表示為A={(x,μA(x))|x∈X}。一個(gè)元素是按一定的隸屬度屬于一個(gè)集合的，這個(gè)隸屬度是在[0,1]上取值的。顯然，隸屬度的取值有不可數(shù)無窮多個(gè)，這與多值邏輯中的不可數(shù)無窮值邏輯的真值集相契合。

模糊集合論的底層邏輯是多值邏輯，因此二者有著極其密切的聯(lián)系。但是，模糊集合論從兩個(gè)方面超越了多值邏輯：一是從模糊限制的角度發(fā)展了多值邏輯的語義學(xué)，使其能夠刻畫不精確概念；二是它有著更為廣泛的應(yīng)用，在模糊控制、模糊識別和專家系統(tǒng)等領(lǐng)域都有重要價(jià)值。隨著模糊集合論在實(shí)際應(yīng)用中的逐漸成熟，對它的理論基礎(chǔ)，即公理化系統(tǒng)之需求也日漸迫切。較之于扎德所創(chuàng)立的經(jīng)典模糊集合論，公理化模糊集合論蘊(yùn)含了更多的邏輯基礎(chǔ)和哲學(xué)上的考量。我們將從底層邏輯和方法論兩個(gè)角度來分析模糊集合論公理化的基礎(chǔ)。

(一)底層邏輯：基本三角范數(shù)邏輯

G?del三角范數(shù)：T(x,y)=min(x,y)；

乘積三角范數(shù)：T(x,y)=x·y。

(二)方法論：公理化與形式主義

一般的數(shù)學(xué)理論有三層結(jié)構(gòu)：形式邏輯、基礎(chǔ)理論、具體學(xué)科。在模糊數(shù)學(xué)中，作為形式邏輯一層的數(shù)理模糊邏輯如前所述已經(jīng)非常豐富，而具體學(xué)科自扎德創(chuàng)立以來一直發(fā)展迅速，相對薄弱的是基礎(chǔ)理論，即一種能夠?qū)С瞿：龜?shù)學(xué)的公理化模糊集合論。結(jié)合基礎(chǔ)理論亟需發(fā)展的態(tài)勢，貝侯內(nèi)克(L.Běhounek)和辛圖拉(P.Cintula)給出了模糊集合論公理化的指導(dǎo)思想，稱作“形式主義命令”(formalistic imperative)[11]。基于哈耶克對數(shù)理模糊邏輯的研究，貝侯內(nèi)克和辛圖拉認(rèn)為要研究模糊數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)理論，首先需要以一種模糊邏輯為底層邏輯來研究形式化和公理化的理論，而非特定的模型。由于模仿經(jīng)典邏輯的傳統(tǒng)語法已被數(shù)理模糊邏輯證明是可行的，因此延續(xù)這一思路進(jìn)而構(gòu)造模糊集合論似乎也是值得嘗試的。

貝侯內(nèi)克和辛圖拉聲稱一種公理化模糊集合論可以簡單地在某種模糊邏輯上增加二元屬于謂詞而構(gòu)造，而不必提出任何新的屬于謂詞。在這一情形下，許多經(jīng)典集合論中的構(gòu)造和證明都將成立，無需推倒重建。這個(gè)說法主要針對的是早期夏平(E.W.Chapin)等人(1)由于涉及的文獻(xiàn)較多，此處不再羅列，具體可參見戈特瓦爾德(S.Gottwald)對此的統(tǒng)一評述[12]?；诮?jīng)典邏輯構(gòu)造模糊集合論時(shí)為刻畫含混性而引入新的三元屬于謂詞，其中第三元表示隸屬度，這樣隸屬度在模糊集合論中就作為一個(gè)新的對象來處理。但按照貝侯內(nèi)克和辛圖拉的思路，隸屬度不必作為一個(gè)新的對象引入到模糊集合論中，只需“隱藏”在元語言層面即可。我們知道經(jīng)典邏輯是模糊邏輯的擴(kuò)張，因此也就可以視作是模糊邏輯的一個(gè)特例，以經(jīng)典邏輯為底層邏輯而構(gòu)造的模糊集合論只能視作是對模糊現(xiàn)象的一個(gè)經(jīng)典模型解釋，不能稱其為真正的模糊化方法。而如果能夠在模糊邏輯上構(gòu)造模糊集合論，那么經(jīng)典模型就同樣可以作為特例被容納于其中。

這一說法確立了一種構(gòu)造模糊集合論的方案，即選擇一個(gè)合適的模糊邏輯系統(tǒng)作為底層邏輯，通過增加二元屬于謂詞，然后引入經(jīng)典集合論的公理系統(tǒng)，得到一個(gè)新的公理化模糊集合論。雖然扎德的經(jīng)典模糊集合論具有一定的現(xiàn)實(shí)意義，但他創(chuàng)立模糊集合論的過程并不是從一種模糊邏輯開始的。貝侯內(nèi)克和辛圖拉認(rèn)為，我們更需要的是一種表達(dá)力極強(qiáng)的底層邏輯，而非對集合論的完全模仿。這主要表達(dá)了兩層含義：第一，扎德創(chuàng)立的模糊集合論只是將經(jīng)典集合論中的概念模糊化了，其結(jié)果仍然停留在基礎(chǔ)理論這一層，沒有深入到底層邏輯；第二，真正構(gòu)造模糊集合論必須選取數(shù)理模糊邏輯中表達(dá)力足夠強(qiáng)的系統(tǒng)。從他們的主張出發(fā)構(gòu)造的公理化模糊集合論，為了能作為模糊數(shù)學(xué)的哲學(xué)和理論基礎(chǔ)，面臨的首要問題就是如何解決羅素悖論。

三、模糊集合論的構(gòu)造

模糊集合論的構(gòu)造過程與經(jīng)典集合論頗有相似之處，但其底層邏輯和具體問題又不盡相同。下面我們將考察三類已有的模糊集合論系統(tǒng)。

(一)ZF型模糊集合論的方案

ZF集合論對羅素悖論的解決方案比較經(jīng)典，也廣為數(shù)學(xué)界和邏輯學(xué)界所接受，將ZF集合論的公理系統(tǒng)移植到非經(jīng)典集合論中是很自然的思路。在仿照ZF集合論來構(gòu)造公理化模糊集合論的方法中，比較有價(jià)值的是竹內(nèi)外史(Gaisi Takeuti)和千谷慧子(Satoko Titani)基于G?del邏輯給出的方案，以及哈耶克和漢尼科娃(Z.Haniková)基于BL邏輯給出的方案。

竹內(nèi)外史和千谷慧子以一種多值邏輯，即G?del邏輯為底層邏輯，吸納了直覺主義集合論(intuitionistic set theory)的思想[13]，構(gòu)造了一種直覺主義模糊集合論ZFIF。ZFIF的公理有直覺主義集合論ZFI的公理加上依賴選擇公理和雙重否定公理。關(guān)鍵的步驟是用∈-歸納公理替代基礎(chǔ)公理，這一替代是對集合論中能夠蘊(yùn)涵排中律的公理進(jìn)行修正。而雙重否定公理補(bǔ)充了G?del邏輯中否定算子所不具有的對合性(involutivity)，即φ?﹁﹁ψ。后來，他們又使用ukasiewicz邏輯聯(lián)結(jié)詞和乘積邏輯的合取聯(lián)結(jié)詞，提出一種新的底層邏輯FL(fuzzy logic)[14]，F(xiàn)L可以包含G?del邏輯。由此，他們構(gòu)造了一種ZF型模糊集合論FZF，F(xiàn)ZF公理與ZFIF的公理基本一致。

受ZFIF和FZF的啟發(fā)，哈耶克和漢尼科娃從一階基本模糊邏輯BLΔ?出發(fā)，引入Δ算子，構(gòu)造了一個(gè)ZF型模糊集合論FST(fuzzy set theory)[15]。他們認(rèn)為，竹內(nèi)外史和千谷慧子的工作的缺陷在于“沒有區(qū)分多值邏輯的特征，即合取聯(lián)結(jié)詞的非冪等性(non-idempotence)”[15]273。FST的公理有外延公理、空集公理、對集公理、并集公理、弱冪集公理、無窮公理、分離公理、收集公理、∈-歸納公理和支集存在公理等。

(二)模糊類理論的方案

雖然ZF集合論是比較經(jīng)典和公認(rèn)的一種思路，但是將ZF集合論移植到模糊集合論仍然會導(dǎo)致一些問題。例如，ZF型模糊集合論所依賴的底層邏輯無法推廣等。從方法論層面來看，這會使得某些模糊集合論不足以構(gòu)造出模糊數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)，于是我們轉(zhuǎn)向另一種方案。

FCT是一個(gè)一階理論，扎德的模糊數(shù)學(xué)已經(jīng)容納于其中。但它可以繼續(xù)向高階理論擴(kuò)張，以容納更高階的數(shù)學(xué)理論。比如，二階FCT包含兩種變元：類和類族(family)，并定義一個(gè)新的屬于謂詞∈表示“類屬于類族”，然后有類族的概括公理和外延公理；三階FCT同樣也包含兩種變元：類族和類族的族，再定義一個(gè)新的屬于謂詞∈表示“類族屬于類族的族”，然后有類族的族的概括公理和外延公理……如此可將理論擴(kuò)張為n階，屬于謂詞∈表示“n-1階變元屬于n階變元”。每一階的FCT語言和公理都是相同的，只有變元會有所變化。

(三)回到樸素集合論的方案

除了通過公理化方法構(gòu)造模糊集合論外，還可以選取一條回歸康托爾樸素集合論的路徑，這就是哈耶克以ukasiewicz邏輯為底層邏輯而構(gòu)造的C集合論(Cantor-ukasiewicz set theory)[17]。他將這種方法稱作是與FST“完全不同的”[17]763，C集合論是由將康托爾的樸素集合論中的經(jīng)典邏輯替代為ukasiewicz邏輯而構(gòu)造出來的，其思想來源于懷特(R.B.White)對無窮值ukasiewicz邏輯上概括原則的一致性證明[18]。

四、模糊集合論解決羅素悖論的方案分析

基本模糊邏輯BL已經(jīng)成為模糊邏輯領(lǐng)域中公認(rèn)的基礎(chǔ)邏輯系統(tǒng)，由此出發(fā)而構(gòu)造的幾種模糊集合論，以及它們對羅素悖論的解決方案則各有異同。這一節(jié)我們將具體分析以上三類模糊集合論對羅素悖論的解決。

竹內(nèi)外史和千谷慧子所提出的ZFIF和FZF系統(tǒng)，是模糊集合論的研究進(jìn)程中最先借鑒直覺主義集合論對基礎(chǔ)公理處理的方案。ZFIF和FZF保留了ZF集合論原有的分離公理，因此能夠避免悖論。在哈耶克提出BL從而將幾種多值邏輯系統(tǒng)視作其擴(kuò)張后，以BLΔ?為底層邏輯來構(gòu)造一種“更為基本”的集合論就成了可能。接下來我們主要分析模糊集合論FST是如何解決羅素悖論的。

一方面，F(xiàn)ST的構(gòu)造是從經(jīng)典的ZF集合論出發(fā)，借鑒直覺主義集合論中的思想，對能夠蘊(yùn)涵排中律的公理進(jìn)行修正。蘊(yùn)涵排中律的公理，即基礎(chǔ)公理，在直覺主義集合論中會導(dǎo)致悖論。而在模糊集合論中，基礎(chǔ)公理會使得屬于關(guān)系弱化為明確的，亦即二值的，整個(gè)集合論失去了模糊性，這樣FST就無法對多值模型作出解釋。所以，F(xiàn)ST中用∈-歸納公理替代了基礎(chǔ)公理。而分離公理確保了每一個(gè)新的集合都必須是從已存在的集合中構(gòu)造的，這避免了樸素集合論中的羅素集出現(xiàn)。另一方面，F(xiàn)ST的底層邏輯是BLΔ?，它延續(xù)了多值邏輯的思想，即對經(jīng)典邏輯中二值原則的擴(kuò)張，所以底層邏輯的語義是多值的。

以上兩個(gè)方面表明，F(xiàn)ST的解悖思路既確保了不存在羅素集，又保證了對多值模型的解釋，由此排除了羅素悖論。FST是從ZF集合論的角度，立足于形式主義的主張來消解悖論。實(shí)際上，用ZF集合論處理悖論也一直是集合論研究領(lǐng)域的主流。不過，F(xiàn)ST更關(guān)注的是ZF集合論的元數(shù)學(xué)性質(zhì)，它在作為模糊數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)時(shí)具有一定局限性，譬如無法構(gòu)造一些模糊數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)。

與FST相比能夠推導(dǎo)出模糊數(shù)學(xué)的FCT則是從變元和謂詞的定義角度消解悖論，它對屬于謂詞∈的定義非常嚴(yán)格，從而排除了羅素集出現(xiàn)的可能，因此也不需要對概括公理做任何的修正。FCT在定義屬于謂詞時(shí)很明確地指出，謂詞∈前面的變元必須是對象，后面的變元必須是類，F(xiàn)CT既不考慮類與類之間的關(guān)系，也不考慮對象與對象之間的關(guān)系[16]43。羅素悖論要求的“所有不以自身為元素的集合”在FCT中是不符合謂詞∈的定義的，而奇異收集所說的“所有不以自身為元素的集合的集合”在FCT中只能是“所有不以自身為元素的對象的類”。無論何種，都說明羅素集在FCT中不存在，這樣就避免了羅素悖論。FCT對于羅素悖論的解決與NBG集合論有一些相似之處，例如對所處理的對象進(jìn)行分層，但它對屬于謂詞的定義明顯要強(qiáng)于NBG集合論，它只承認(rèn)對象屬于類的合法性。如果考慮將FCT推廣到高階的情形，很明顯n階FCT對于變元有清晰的分層，羅素悖論中對于“所有n-1階變元的收集”將是一個(gè)n階變元，它并不會導(dǎo)致悖論。

五、結(jié)語

杜國平將羅素悖論的架構(gòu)梳理為：概括原則+集合論的基本定義+經(jīng)典邏輯→矛盾[8]4。本文主要討論的3種模糊集合論則恰好從這3個(gè)方面各自對羅素悖論進(jìn)行了回應(yīng)：FST通過公理化的方法對概括原則進(jìn)行限制，F(xiàn)CT在關(guān)于集合的基本定義上更加嚴(yán)格，而C則是將樸素集合論的經(jīng)典邏輯進(jìn)行了替換，但C所謂的解悖方案目前還是一個(gè)假設(shè)，關(guān)于它的一致性依然是一個(gè)開放性問題。

羅素悖論是集合論和邏輯哲學(xué)中的一個(gè)重要問題。模糊集合論在其發(fā)展和解決羅素悖論的過程中，基本離不開對具有多值語義的模糊邏輯的依賴。模糊理論的學(xué)者們建立了一個(gè)個(gè)非平凡的理論，并在哲學(xué)上得到了合理的解釋。在研究特定的模糊現(xiàn)象時(shí)人們會進(jìn)行建模，而模糊集合論則是這些特定建模的一般化理論。從多值邏輯到模糊集合論的進(jìn)程，雖然還有許多問題需要探討，但模糊集合論已經(jīng)較好地處理了羅素悖論，使其能夠作為模糊數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)而存在，為進(jìn)一步的理論研究和實(shí)際應(yīng)用提供了必要的支撐。