安徽 徐 雙

在高三的教學(xué)過程中，筆者發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生對(duì)于函數(shù)單調(diào)性的討論，尤其是含參函數(shù)單調(diào)性的討論感到困惑，不知道從哪里開始討論，或者討論不全面.筆者結(jié)合自己在教學(xué)中的感悟，對(duì)含參函數(shù)單調(diào)性的常見問題進(jìn)行了歸納總結(jié).

原函數(shù)的單調(diào)性取決于導(dǎo)函數(shù)值的正負(fù)，所以，原函數(shù)單調(diào)性的討論本質(zhì)上就是在定義域內(nèi)討論導(dǎo)函數(shù)f′(x)>0或f′(x)<0的問題，即不等式問題.而不等式與函數(shù)一脈相承，導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)是導(dǎo)函數(shù)值正負(fù)的臨界值，所以我們要研究導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，即方程f′(x)=0的根，一般會(huì)出現(xiàn)定義域內(nèi)無根、一根、兩根的情況，超過兩根的情況不常見，在這里不再論述.下面筆者將從方程f′(x)=0為單根和雙根兩種情況進(jìn)行論述，雙根型又分為二次函數(shù)(可因式分解)型、二次函數(shù)(不可因式分解)型、指數(shù)雙根型和混合雙根型四種情況，具體又從方程f′(x)=0是否有根、根是否在定義域內(nèi)、若有兩根，兩根的大小等三個(gè)方面分別進(jìn)行闡述.

一、單根型

所謂單根型，即方程f′(x)=0只有單根的情況，這種情況我們只需討論方程f′(x)=0是否有根，如果定義域有限制，還要進(jìn)一步討論這個(gè)根是否在定義域內(nèi).

例1.已知函數(shù)f(x)=ex-ax(a∈R).

(1)若x∈R，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(2)若x∈[0,1]，討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.

分析：第(1)問定義域沒有特殊限制，我們只需要考慮f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)=ex-a是否有零點(diǎn).先假設(shè)它有零點(diǎn)，解f′(x)=0得x=lna，它有意義時(shí)需要a>0，也就是說a>0時(shí)導(dǎo)函數(shù)有零點(diǎn)x=lna，進(jìn)而原函數(shù)的單調(diào)性就會(huì)在x=lna左右端發(fā)生變化，反之a(chǎn)≤0時(shí)，導(dǎo)函數(shù)f′(x)無零點(diǎn)，連續(xù)函數(shù)在定義域內(nèi)無零點(diǎn)，說明它的函數(shù)值符號(hào)不變，即恒正或者恒負(fù).那么我們得到，當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在(-∞,lna)上單調(diào)遞減，在(lna,+∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增.

第(2)問有定義域的限制，我們令導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)x=lna在(0,1)內(nèi)，解得1

從上面例1的分析過程可以看出，我們討論的標(biāo)準(zhǔn)分別為導(dǎo)函數(shù)是否有變號(hào)零點(diǎn)以及變號(hào)零點(diǎn)是否在定義域內(nèi)，抓住影響原函數(shù)單調(diào)性的最關(guān)鍵因素——導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，就能找到所要討論的參數(shù)臨界值，讓問題得以解決.

二、雙根型

方程f′(x)=0有兩個(gè)根的情況較復(fù)雜，根據(jù)決定導(dǎo)函數(shù)值符號(hào)的式子的形式，我們進(jìn)一步分為二次函數(shù)(可因式分解)型、二次函數(shù)(不可因式分解)型、指數(shù)雙根型和混合雙根型四種情況，下面依次論述.

1.二次函數(shù)(可因式分解)型

這種情況我們要考慮方程f′(x)=0是否有根，根是否在定義域內(nèi)以及兩根的大小，二次項(xiàng)系數(shù)若含參數(shù)，也要對(duì)它進(jìn)行討論，這里面說到的幾種情況可能會(huì)出現(xiàn)一個(gè)或者多個(gè)，需要根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行討論.

分析：方程f′(x)=ax2-(a+1)x+1=(ax-1)(x-1)，本題中定義域沒有特殊限制，需要從三個(gè)方面進(jìn)行討論：方程f′(x)=0是否有根、二次項(xiàng)系數(shù)以及兩根大小.由前兩個(gè)方面可以把a(bǔ)分為a<0,a=0和a>0三種情況，根據(jù)兩根大小又可以把a(bǔ)>0進(jìn)一步分為01三種情況，這樣我們就把參數(shù)a分為a<0,a=0,01五種情況.討論結(jié)果如下：

②當(dāng)a=0時(shí)，f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減，在(-∞,1)上單調(diào)遞增；

④當(dāng)a=1時(shí)，f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增；

2.二次函數(shù)(不可因式分解)型

當(dāng)不能利用因式分解來求方程f′(x)=0的根時(shí)，我們要對(duì)判別式進(jìn)行討論，來判斷導(dǎo)函數(shù)是否有變號(hào)零點(diǎn)，并用求根公式把零點(diǎn)表示出來，若二次項(xiàng)系數(shù)含參數(shù)還要對(duì)它進(jìn)行討論，因?yàn)樗鼤?huì)影響多項(xiàng)式的次數(shù)以及二次函數(shù)的開口方向，進(jìn)而影響到原函數(shù)的單調(diào)性，若定義域有限制，還要討論導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)是否在定義域內(nèi)，至于它們的大小及正負(fù)，則可由二次項(xiàng)系數(shù)及韋達(dá)定理來判斷，不需要單獨(dú)進(jìn)行討論.

分析：f′(x)=ax2-2x+1，因?yàn)槎雾?xiàng)系數(shù)含參數(shù)，所以要把a(bǔ)分成a<0,a=0和a>0三種情況，再根據(jù)判別式Δ=4-4a來確定方程f′(x)=0是否有根，因此，最終把a(bǔ)分成a<0,a=0,0

①當(dāng)a≥1時(shí)，Δ=4-4a≤0,f′(x)≥0恒成立，f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增；

如果原函數(shù)有定義域的限制，可以根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合判別式與韋達(dá)定理來討論方程f′(x)=0的根是否在定義域內(nèi)，也可以解出方程f′(x)=0的根后，令它在定義域內(nèi)去解出參數(shù)的范圍，進(jìn)一步對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，讀者可嘗試解下面的變式.

3.指數(shù)雙根型

指數(shù)雙根型的導(dǎo)函數(shù)的形式為f′(x)=ae2x+bex+c(a≠0)，可類比二次函數(shù)型，分為可因式分解和不可因式分解兩種，也可換元后利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行討論.下面結(jié)合2017年全國(guó)卷Ⅰ文科第21題來進(jìn)行說明.

例4.(2017·全國(guó)卷Ⅰ文·21節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=ex(ex-a)-a2x，討論f(x)的單調(diào)性.

分析：f′(x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a)，首先要看方程(2ex+a)(ex-a)=0是否有根，因?yàn)閑x>0，

所以當(dāng)a>0時(shí)，f′(x)=0有一根x=lna，所以f(x)在(lna,+∞)上單調(diào)遞增，在(-∞,lna)上單調(diào)遞減；

當(dāng)a=0時(shí)，方程f′(x)=2e2x>0恒成立，f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增；

上面例4中的導(dǎo)函數(shù)對(duì)應(yīng)表達(dá)式是可因式分解的，還有不可因式分解的，這時(shí)需要類比二次函數(shù)(不可因式分解)型來討論，必要時(shí)進(jìn)行換元，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行討論，通過下面的例子來看看具體的做法.

例5.(2020·合肥三模文·21節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=ex-e-x,g(x)=ax(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，其中a∈R.試討論函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)的單調(diào)性.

分析：F′(x)=ex+e-x-a，因?yàn)镕′(x)=ex+e-x-a≥2-a，

所以，當(dāng)a≤2時(shí)，F(xiàn)′(x)≥0恒成立，F(xiàn)(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增；

4.混合雙根型

混合雙根型是指導(dǎo)函數(shù)由一次因式與指數(shù)型因式或者對(duì)數(shù)型因式相乘構(gòu)成的，這種情況可類比二次函數(shù)(可因式分解)型來進(jìn)行討論，可能會(huì)涉及導(dǎo)函數(shù)是否有根、根是否在定義域內(nèi)以及兩根大小問題，同時(shí)也要注意每個(gè)因式對(duì)應(yīng)的函數(shù)的單調(diào)性，這會(huì)影響雙根型函數(shù)的“開口”方向.

例6.(2016·全國(guó)卷Ⅰ文·21節(jié)選)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2，討論f(x)的單調(diào)性.

①當(dāng)a≥0時(shí)，f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，在(-∞,1)上單調(diào)遞減；

結(jié)束語

通過上面的題型分類及例題分析，筆者把高考中常見的含參函數(shù)單調(diào)性的討論進(jìn)行了總結(jié)歸納.對(duì)于此類問題的教學(xué)，一定要讓學(xué)生理解單調(diào)性問題的解題關(guān)鍵是導(dǎo)函數(shù)在定義域內(nèi)是否存在變號(hào)零點(diǎn)，導(dǎo)函數(shù)在定義域內(nèi)存在變號(hào)零點(diǎn)，原函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)性就會(huì)發(fā)生改變，反之，連續(xù)的原函數(shù)的單調(diào)性就不會(huì)發(fā)生變化.至于導(dǎo)函數(shù)在定義域內(nèi)是否存在零點(diǎn)，則需要學(xué)生掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)等函數(shù)零點(diǎn)的求解方法，有時(shí)還可能用到零點(diǎn)存在性定理，涉及猜根、卡根及“隱零點(diǎn)”問題，本文不再論述.在討論單調(diào)性時(shí)，可以借助一次函數(shù)和二次函數(shù)，向?qū)W生展示導(dǎo)函數(shù)值正負(fù)的示意圖，幫助學(xué)生理解函數(shù)增減的變化，以便更好地由圖象寫出正確的單調(diào)區(qū)間.