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例析高考新題型的命制與解答策略
——以2020年新高考Ⅰ卷(供山東省使用)多選題為例

2021-04-15 08:14江蘇曾小娟
教學考試(高考數(shù)學) 2021年1期
關鍵詞:命制選擇題選項

江蘇 曾小娟

隨著《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版2020年修訂)》的頒布,高考的改革也不斷深入.為了能更好地考查學生的數(shù)學素養(yǎng),高考試卷的新題型也不斷涌現(xiàn),比如2020年新高考Ⅰ卷(供山東省使用)中就出現(xiàn)了多項選擇題.多項選擇題,相對于單項選擇題而言,考查容量大、涉及知識點多、解題思路廣、數(shù)學思想豐富,又因多級得分模式能對考生多層次區(qū)分,所以多選題對能力的考查更加深入,要求學生具備完整、細致、全面的思維品質;多項選擇題出現(xiàn)在高考題中,可以增強數(shù)學考試的選拔功能,實現(xiàn)考試目標,但目前市面上模擬卷中出現(xiàn)的一些多項選擇題的命制很牽強,比如以下兩道試題:

(1)若圓(x-a)2+(y-a)2=1(a>0)上總存在點到原點的距離為3,則實數(shù)a的取值范圍不可能是

( )

(2)下列說法正確的是

( )

A.直線x-y-2=0與兩坐標軸圍成的三角形的面積是2

B.點(0,2)關于直線y=x+1的對稱點為(1,1)

C.在△ABC中,若A

很顯然第一題就是對現(xiàn)有的單項選擇題直接進行否定而得到,而第二題就是把一些知識點湊在一起、把幾個不相關的真命題和假命題放在一起,類似拼盤式得到大雜燴型的試題.那么優(yōu)秀的多選題究竟該如何命制呢?引起了筆者進一步思考.

多項選擇題應該是數(shù)學核心素養(yǎng)的集中展示,可以是基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗等四基的體現(xiàn),也可以是發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題等四能的考查;可以直接考查學生的基礎知識、基本技能的掌握情況,也可以考查基本思想和基本活動經驗,測評學生分析問題和解決問題的能力,還可以設計新運算、新概念等新情境問題,測評學生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力.筆者認為多項選擇題的每一個選項之間應該具有知識的內在聯(lián)系或者思想方法的相通性.筆者通過研究2020年新高考Ⅰ卷(供山東省使用)的多項選擇題及北京、浙江、天津等高考卷中的多空型填空題,同時研究了歷年物理等學科高考試題多項選擇題的命制方式,基于主干知識、基本思想方法、學生素養(yǎng)等三個方向,結合2020年新高考Ⅰ卷(供山東省使用)談談多項選擇題的命制方式及相應的解題策略.

1.命制方式

1.1基于主干知識命制試題

高中階段,數(shù)學的主干知識主要有預備知識(集合、簡易邏輯、不等式等)、函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計、數(shù)學建?;顒优c數(shù)學探究活動等內容,基于主干知識命制多項選擇題就是基于以上幾塊主干知識點發(fā)散出多個選項進行命制,可以分為相同知識點的命制和不同知識點的命制.相同知識點的命制是基于主干知識命制多項選擇題最基本的方式,而不同知識點的命制需考慮其內在聯(lián)系,這種命制方式恰好體現(xiàn)了高考在知識點的交匯處命題的習慣,這種綜合性也恰好能考查考生的數(shù)學思維能力及靈活運用所學知識解決問題的能力.

【例1】(2020·新高考Ⅰ卷(供山東省使用)·11)已知a>0,b>0,且a+b=1,則

( )

評注:本題是基于不等式這塊的主干知識,結合了基本不等式、指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的單調性,發(fā)散出多個選項進行命制,可以根據(jù)a+b=1,結合基本不等式及二次函數(shù)知識進行求解,主要考查不等式的性質,考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).

命制題1:已知函數(shù)f(x)=2x,g(x)=2x-8,則下列結論正確的是

( ).

A.若h(x)=f(x)g(x),則函數(shù)h(x)的最小值為16

B.若h(x)=f(x)|g(x)|,則函數(shù)h(x)的值域為R

C.若h(x)=|f(x)|-|g(x)|,則函數(shù)h(x)有且僅有一個零點

D.若h(x)=|f(x)|-|g(x)|,則|h(x)|≤16恒成立

評注:本題是筆者所在學校的一次周測試題,答案選BCD,是基于函數(shù)知識,以f(x)=2x,g(x)=2x-8為條件,涵蓋4個不同的函數(shù)的屬性(如定義域、值域、奇偶性、單調性、周期、零點等),很好地考查了函數(shù)的性質,考查了學生數(shù)學運算、邏輯推理的核心素養(yǎng).

1.2基于數(shù)學思想方法命制試題

數(shù)學基本思想方法主要有數(shù)形結合、化歸與轉化、分類討論、方程、建模、類比、歸納推理、極限等.基于思想方法命制試題就是基于以上重要的數(shù)學思想或解決一類問題的通性通法發(fā)散出多個選項進行命制,可以分為基于重要數(shù)學思想方法的命制和基于研究問題的一般方法的命制.基于重要的數(shù)學思想方法是基于數(shù)學思想方法命制多選題最基本的方式,而研究類似問題的相同的思想方法的命制,需考慮研究新問題與研究老問題之間思想方法的內在聯(lián)系,這種命制方式恰好體現(xiàn)了高考考查學生數(shù)學思維能力及靈活運用所學知識解決問題的能力.

【例2】(2020·新高考Ⅰ卷(供山東省使用)·10)如圖是函數(shù)y=sin(ωx+φ)的部分圖像,則sin(ωx+φ)=

( )

【例3】(2020·新高考Ⅰ卷(供山東省使用)·9)已知曲線C:mx2+ny2=1.

( )

A.若m>n>0,則C是橢圓,其焦點在y軸上

D.若m=0,n>0,則C是兩條直線

評注:本題考查研究曲線的一般方法及曲線方程的特征,側重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng);熟知常見曲線方程的特點及其之間的區(qū)別是求解本題的關鍵,可以結合選項逐項分析進行求解.

( )

A.曲線C關于坐標原點對稱

B.曲線C恰好經過6個整點(即橫、縱坐標均為整數(shù)的點)

C.曲線C上任意一點到原點的距離的最小值為2

D.曲線C所圍成的區(qū)域的面積小于4

1.3基于數(shù)學素養(yǎng)命制試題

高中數(shù)學的解題首要任務是讓學生的解題能力得到培養(yǎng),課標對培養(yǎng)學生能力的要求,由開始的“四基”到“四能”,演變到現(xiàn)在的“六大核心素養(yǎng)”;多項選擇題應該是數(shù)學六大核心素養(yǎng)的集中展示,不僅可以考查“四基”,更能很好地考查“四能”等,基于數(shù)學素養(yǎng)命制試題就是以開放性問題、探索性問題、新定義性問題出現(xiàn),考查學生的數(shù)學六大核心素養(yǎng).學生通過對此類問題的解決,學會用數(shù)學的眼光看客觀世界,用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界,用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界.

( )

A.若n=1,則H(X)=0

B.若n=2,則H(X)隨著p1的增大而增大

D.若n=2m,隨機變量Y所有可能的取值為1,2,…,m,且P(Y=j)=pj+p2m+1-j(j=1,2,…,m),則H(X)≤H(Y)

解析:對于A選項,若n=1,則i=1,p1=1,所以H(X)=-(1×log21)=0,所以A選項正確.對于B選項,若n=2,則i=1,2,p2=1-p1,

所以H(X)=-[p1·log2p1+(1-p1)·log2(1-p1)],

則H(X)隨著n的增大而增大,所以C選項正確.

對于D選項,若n=2m,隨機變量Y的所有可能的取值為1,2,…,m,且P(Y=j)=pj+p2m+1-j(j=1,2,…,m).

所以H(X)>H(Y),所以D選項錯誤,故選AC.

點評:本題考查對新定義“信息熵”的理解和運用,考查學生分析、思考和解決問題的能力,涉及對數(shù)運算和對數(shù)函數(shù)及不等式的基本性質的運用,可以結合選項逐項分析進行求解,對于A選項,求得H(X),由此判斷出A選項的正確性;對于B選項,利用特殊值法進行排除;對于C選項,計算出H(X),利用對數(shù)函數(shù)的性質可判斷出C選項的正確性;對于D選項,計算出H(X),H(Y),利用基本不等式和對數(shù)函數(shù)的性質判斷出D選項的正確性.

2.解答策略

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