山東 秦 振

數(shù)學(xué)應(yīng)用題是指用數(shù)學(xué)的思想方法將一個(gè)表面上非數(shù)學(xué)問題或非完全的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為完全數(shù)學(xué)形式化的問題.應(yīng)用題的內(nèi)容十分廣泛，解題方法靈活，難度較大、能力要求較高.解應(yīng)用題需要在陌生的情景中理解、分析所給的問題，并能通過題目中提供的信息，利用化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題，然后選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法解決問題.

解決應(yīng)用題的思路方法：一是要認(rèn)真仔細(xì)地分析問題，弄清題意，理清問題中的已知條件以及要求解的結(jié)論，分清題目中的已知量和未知量及它們之間的關(guān)系；二是用數(shù)學(xué)語言表達(dá)實(shí)際問題中的相關(guān)信息，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的數(shù)學(xué)問題——即數(shù)學(xué)建模；三是將得到的數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為“常規(guī)”的數(shù)學(xué)問題，然后根據(jù)問題的特點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思想方法和解題技巧解決問題，得到相應(yīng)的結(jié)果；四是對得到的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，做出解釋或預(yù)測，給出答案.

下面結(jié)合例題介紹應(yīng)用題的常見類型及其解法.

一、函數(shù)的應(yīng)用

函數(shù)知識內(nèi)容豐富，在現(xiàn)實(shí)生活中應(yīng)用廣泛，諸如我們經(jīng)常遇到的成本最低、利潤最高、產(chǎn)出最大、用料最省、效益最大等應(yīng)用問題，通常可以先轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，再利用函數(shù)的性質(zhì)解決.

【例1】如果你有一筆資金用于投資，現(xiàn)在有三種方案供你選擇，這三種方案的回報(bào)如下：

方案一：每天回報(bào)40元；

方案二：第一天回報(bào)10元，以后每天比前一天多回報(bào)10元；

方案三：第一天回報(bào)0.4元，以后每天的回報(bào)比前一天翻一番.

請問，你會選擇哪種投資方案？

【分析】先根據(jù)題意建立三種投資方案對應(yīng)的函數(shù)模型，再比較它們的增長情況，為選擇投資方案提供依據(jù).

解:設(shè)第x天所得回報(bào)是y元，根據(jù)題意，可得

方案一:可以用函數(shù)f1(x)=40(x∈R+)進(jìn)行描述；

方案二:可以用函數(shù)f2(x)=10x(x∈R+)進(jìn)行描述；

方案三:可以用函數(shù)f3(x)=0.4×2x-1(x∈R+)進(jìn)行描述.

在同一坐標(biāo)系分別作出這三個(gè)函數(shù)圖象，如圖所示.

由圖象可知，每天所得回報(bào)，在1～4天，方案一最多，在第5～8天，方案二最多，第9天開始，方案三最多.

天累計(jì)回報(bào)方案1234567891011一4080120160200240280320360400440二103060100150210280360450550660三0.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2818.8

再看累計(jì)回報(bào)數(shù)，如上表所示，投資7天以下(不含7天)，應(yīng)選擇第一種投資方案；投資7天，選擇第一、二種方案均可；投資8～10天，應(yīng)選擇第二種方案；投資11天(含11天)以上，則應(yīng)選擇第三種投資方案.

【評注】通過建立相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)，確定變量的限制條件，利用函數(shù)圖象、函數(shù)變量表以及函數(shù)性質(zhì)，是解決函數(shù)型應(yīng)用問題的基本方法.

二、不等式(組)的應(yīng)用

數(shù)學(xué)知識之間的轉(zhuǎn)化基本上就是等量轉(zhuǎn)化和不等關(guān)系轉(zhuǎn)化，因此在求某些量的范圍或最值時(shí)，一般要建立不等式模型.

【例2】建筑學(xué)規(guī)定，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積，但按采光標(biāo)準(zhǔn)，窗戶面積與地板面積的比不應(yīng)小于10%，并且這個(gè)比越大，住宅的采光條件越好.問同時(shí)增加相等的窗戶面積和地板面積，住宅的采光條件是變好了，還是變壞了？請說明理由.

【分析】要確定住宅的采光條件是變好了，還是變壞了，就是要比較原來窗戶面積和地板面積的比值與窗戶面積和地板面積增加以后的比值誰大、誰小.若是原來的面積比值大，則采光條件變壞了；如果是增加了面積以后的窗戶面積和地板面積的比值大，則采光條件變好了.

【評注】本題告訴我們，采光條件的好壞由窗戶面積與地板面積比值的大小來衡量，并且是這個(gè)比值越大，采光條件越好，但是要注意建筑學(xué)的規(guī)定：這個(gè)比值應(yīng)小于1.

三、數(shù)列的應(yīng)用

我們熟悉的增長率、存款利息、分期付款、期貨貿(mào)易、人口增長等實(shí)際問題通常可以轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題，利用數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)解決.

【例3】學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)可以使我們更聰明，思維更加縝密.在美國廣為流傳的一道數(shù)學(xué)題是：老板給你兩種加工資的方案：一是每年增加薪水1 000元；二是每半年增加300元，請選一種.一般不擅長數(shù)學(xué)的，很容易選擇前者.因?yàn)橐荒昙? 000元總比兩個(gè)半年共加600元要多.其實(shí)，由于加工資是累計(jì)的，時(shí)間越長，第二種方案往往更有利.例如在第二年的年末，根據(jù)第一種方案可以加得1 000+2 000=3 000(元)，而第二種方案第一年加得300+600=900(元)，第二年加得900+1 200=2 100(元).但是到了第三年，第一方案加得1 000+2 000+3 000=6 000(元)，第二方案加得300+600+900+1 200+1 500+1 800=6 300(元)，比方案一多了300元.第四年、第五年會更多，因此，你若能在該公司工作三年以上，則應(yīng)該選擇第二方案.

根據(jù)以上資料，解答下列問題：

(1)如果在該公司工作10年，選擇第二方案比第一方案多加薪多少元？

(2)若第二方案改成每半年增加a元，問a為何值時(shí)，選擇第二方案總是比第一方案多加薪？

【分析】(1)分別計(jì)算出兩種加薪方案的加薪數(shù)額，然后比較.(2)根據(jù)題目提供的信息，分別寫出第n年末兩種方案的加薪數(shù)，再根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為不等式問題解決.

解：(1)在第10年末，由第一方案，得1 000+2 000+3 000+…+10 000=55 000(元).由第二方案，得(300+300×2)+(300×3+300×4)+…+(300×19+300×20)=63 000(元).因?yàn)?3 000-55 000=8 000(元)，所以在該公司工作10年，選擇第二方案比第一方案多加薪8 000元.

【評注】實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為不等式問題后，往往要結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)及不等式的性質(zhì)解決.

四、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，是解決最優(yōu)、最大、最小和比較大小等應(yīng)用問題的有力工具.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題的方法是首先建立函數(shù)模型，寫出函數(shù)關(guān)系y=f(x)；求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x)，解方程f′(x)=0，求出極值點(diǎn)；比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值的大小，然后確定其最值，給出答案.

【例4】某市環(huán)保局調(diào)查了該市水泥廠的污染情況.調(diào)查發(fā)現(xiàn)，水泥廠的煙囪向周圍地區(qū)散落煙塵造成環(huán)境污染.已知A，B兩座水泥廠煙囪相距20 km，其中B煙囪噴出的煙塵是A煙囪的8倍.經(jīng)環(huán)境監(jiān)測表明：落在地面某處的煙塵濃度與該處到煙囪距離的平方成反比，而與煙囪噴出的煙塵量成正比(比例系數(shù)均為k).若C是A，B連線上的點(diǎn)，設(shè)AC=xkm，C點(diǎn)的煙塵濃度記為y.

(1)寫出y與x的函數(shù)表達(dá)式；

(2)是否存在這樣的點(diǎn)C，使該點(diǎn)的煙塵濃度最低？若存在，求出A，C兩地的距離；若不存在，請說明理由.

【分析】(1)由AC=x，可得BC=20-x.根據(jù)“落在地面某處的煙塵濃度與該處到煙囪距離的平方成反比，而與煙囪噴出的煙塵量成正比(比例系數(shù)均為k).”可得函數(shù)表達(dá)式.(2)利用導(dǎo)數(shù)法討論函數(shù)的最小值.

【評注】應(yīng)用導(dǎo)數(shù)法解決實(shí)際問題，首先要根據(jù)題意確定自變量的取值范圍，注意極大值與最大值的關(guān)系，還要驗(yàn)證函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)所對應(yīng)的函數(shù)值的大小.

五、三角函數(shù)的應(yīng)用

有些涉及幾何圖形、角度、航海、測量等方面的問題，可以轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，利用三角函數(shù)的性質(zhì)解決.

【例5】某監(jiān)控室的工作人員，主要是根據(jù)儀表的數(shù)據(jù)變化加以操作控制的，若儀表高m米，底邊距地面n米，如圖所示，工作人員坐在椅子上眼睛距地面的高度為1.2米(n>1.2)，問工作人員坐在什么位置看得最清楚？

【分析】工作人員觀察儀表看得最清楚的位置，就是使∠BAC達(dá)到最大時(shí)點(diǎn)A的位置.由于∠BAC是銳角，因此要使它最大，可以轉(zhuǎn)化為該角的正切最大，即tan∠BAC最大.

【評注】三角函數(shù)在測距、測角等方面的應(yīng)用比較廣泛，也是最常見的問題.在解決此類應(yīng)用問題時(shí)，應(yīng)熟悉視角、方位角、仰角、俯角等概念，并能熟練應(yīng)用三角函數(shù)的性質(zhì)解決有關(guān)問題.另外，可以研究在家看電視時(shí)，坐在什么位置看得最清楚.

六、線性規(guī)劃的應(yīng)用

在生活實(shí)踐中，經(jīng)常遇到給定人力、物力、財(cái)力資源，讓我們應(yīng)用這些資源，獲得最大效益；或者給定一項(xiàng)任務(wù)，完成任務(wù)的人力、物力、財(cái)力最小.這些實(shí)際問題往往需要應(yīng)用線性規(guī)劃解決.

【例6】某營養(yǎng)師要為某個(gè)兒童預(yù)定午餐和晚餐.已知一個(gè)單位的午餐含12個(gè)單位的碳水化合物，6個(gè)單位的蛋白質(zhì)和6個(gè)單位的維生素C；一個(gè)單位的晚餐含8個(gè)單位的碳水化合物，6個(gè)單位的蛋白質(zhì)和10個(gè)單位的維生素C.另外，該兒童這兩餐需要的營養(yǎng)中至少含64個(gè)單位的碳水化合物，42個(gè)單位的蛋白質(zhì)和54個(gè)單位的維生素C.如果一個(gè)單位的午餐、晚餐的費(fèi)用分別是2.5元和4元，那么要滿足上述的營養(yǎng)要求，并且花費(fèi)最少，應(yīng)當(dāng)為該兒童分別預(yù)定多少個(gè)單位的午餐和晚餐？

【分析】根據(jù)題意設(shè)出相關(guān)變量建立線性約束條件、目標(biāo)函數(shù)，利用線性規(guī)劃的有關(guān)知識，作出可行域，找出最優(yōu)解，再還原為實(shí)際問題.

【評注】線性規(guī)劃的最優(yōu)解往往取在邊界直線的交點(diǎn)處，另外，解決這類問題的易錯(cuò)點(diǎn)是在列約束條件時(shí)漏掉x>0，y>0，且它們都是正整數(shù).

七、解析幾何的應(yīng)用

這類問題通常涉及橋梁、隧道、反光燈、通風(fēng)塔、人造衛(wèi)星運(yùn)行軌跡等實(shí)際問題.解決這類問題的方法是首先弄清題意，建立合理的坐標(biāo)系，將等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的方程(組)，研究曲線方程得到結(jié)論.

【例7】為了在神舟六號飛船返回艙順利到達(dá)地球后及時(shí)將航天員安全救出，地面指揮中心在返回艙預(yù)計(jì)到達(dá)區(qū)域安排三個(gè)救援中心(記為A，B，C)，A在B的正東方向，相距6千米，C在B的北偏西30°方向，相距4千米，P為航天員著陸點(diǎn)，某一時(shí)刻，A接收到P的求救信號，由于B，C兩地比A距P遠(yuǎn)，因此4秒后，B，C兩個(gè)救援中心才同時(shí)接收到這一信號.已知該信號的傳播速度為1千米/秒.

(1)求在A處發(fā)現(xiàn)P的方位角；

(2)若信號從P點(diǎn)的正上空Q點(diǎn)處發(fā)出，則A，B收到信號時(shí)間差變大還是變??？說明理由.

【分析】根據(jù)題意，利用“某一時(shí)刻，A接收到P的求救信號，由于B，C兩地比A距P遠(yuǎn)，因此4秒后，B，C兩個(gè)救援中心才同時(shí)接收到這一信號”轉(zhuǎn)化為方程，構(gòu)建解析幾何模型解決.

解：(1)因?yàn)閨PC|=|PB|，所以P點(diǎn)在線段BC的垂直平分線上，又因?yàn)閨PB|-|PA|=4，所以P點(diǎn)在以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支上.以線段AB中點(diǎn)為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，

(2)如圖所示，

【評注】由于B，C兩地比A地接收到的信號慢4秒，即|PB|-|PA|=4，滿足雙曲線的定義，據(jù)此建立雙曲線模型，使實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解析幾何問題.這類問題在建立數(shù)學(xué)模型時(shí)，要分清物體的運(yùn)動形式和曲線的形狀符合哪一種圓錐曲線的定義或圖形，再根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的曲線方程.

八、立體幾何的應(yīng)用

在工作、生活中經(jīng)常遇到空中觀測、地球的經(jīng)緯度等實(shí)際背景下幾何體的截面積、表面積和體積的計(jì)算，以及空間位置關(guān)系的確定等問題，這些實(shí)際問題一般都能利用立體幾何模型解決.

【評注】在解決幾何體問題中，所給“數(shù)據(jù)”一般要轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，因此特征三角形的構(gòu)建是解題的重點(diǎn)，而構(gòu)建特征三角形一般從幾何體的高及斜高入手，如本題中的△ABC.另外，本題在求出體積后，因?yàn)樗蟮摹敖涤甑慕邓俊币玫剿捏w積的不變性，因此根據(jù)題意把臺體轉(zhuǎn)化為柱體，進(jìn)而求出降水量.

九、概率統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用

這類問題的背景可以是當(dāng)前的社會熱點(diǎn)問題，也可以是某些“常規(guī)”問題，其特點(diǎn)是需要用概率與統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識和基本方法解決.解決此類問題的方法是分析問題的要求，弄清題意，建立相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)與概率模型，然后選擇適當(dāng)?shù)姆椒ê托再|(zhì)解決.

【例9】工作人員需要進(jìn)入核電站完成某項(xiàng)具有高輻射危險(xiǎn)的任務(wù)，每次只派一個(gè)人進(jìn)去，且每個(gè)人只派一次，工作時(shí)間不超過10分鐘.如果前一個(gè)人10分鐘內(nèi)不能完成任務(wù)則撤出，再派下一個(gè)人.現(xiàn)在一共只有甲、乙、丙三個(gè)人可派，他們各自能完成任務(wù)的概率分別為p1，p2，p3，假設(shè)p1，p2，p3互不相等，且假定各人能完成任務(wù)的事件相互獨(dú)立.

(1)如果按甲最先、乙次之、丙最后的順序派人，求任務(wù)能被完成的概率.若改變?nèi)齻€(gè)人被派出的先后順序，任務(wù)能被完成的概率是否發(fā)生變化？

(2)若按某指定順序派人，這三個(gè)人各自能完成任務(wù)的概率依次為q1，q2，q3，其中q1，q2，q3是p1，p2，p3的一個(gè)排列，求所需派出人員數(shù)目X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望)E(X).

(3)假定1>p1>p2>p3，試分析以怎樣的先后順序派出人員，可使所需派出的人員數(shù)目的均值(數(shù)學(xué)期望)最小.

【分析】(1)直接計(jì)算比較復(fù)雜，可以考慮問題的“反面”；(2)根據(jù)題意列出隨機(jī)變量X的分布列，再利用公式計(jì)算E(X)；(3)根據(jù)“經(jīng)驗(yàn)”，優(yōu)先派出完成任務(wù)概率大的人，可減少所需派出的人員數(shù)目的均值；然后證明.

解：(1)無論以怎樣的順序派出人員，任務(wù)不能完成的概率都是(1-p1)(1-p2)(1-p3)，所以任務(wù)能完成的概率與三個(gè)人被派出的先后順序無關(guān)，并等于1-(1-p1)(1-p2)(1-p3)=p1+p2+p3-p1p2-p2p3-p3p1+p1p2p3.

(2)當(dāng)依次派出的三個(gè)人各自完成任務(wù)的概率分別為q1，q2，q3時(shí)，隨機(jī)變量X的分布列為

X123Pq1(1-q1)q2(1-q1)(1-q2)

所需派出的人員數(shù)目的均值(數(shù)學(xué)期望)是E(X)=q1+2(1-q1)q2+3(1-q1)(1-q2)=3-2q1-q2+q1q2.

(3)由(2)的結(jié)論可知，按甲最先、乙次之、丙最后的順序派人時(shí)，E(X)=3-2p1-p2+p1p2.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，優(yōu)先派出完成任務(wù)概率大的人，可減少所需派出的人員數(shù)目的均值.下面證明：對于p1,p2,p3的任意排列q1,q2,q3，都有3-2q1-q2+q1q2≥3-2p1-p2+p1p2.

因?yàn)?3-2q1-q2+q1q2)-(3-2p1-p2+p1p2)=2(p1-q1)+(p2-q2)-p1p2+q1q2=2(p1-q1)+(p2-q2)-(p1-q1)p2-q1(p2-q2)=(2-p2)(p1-q1)+(1-q1)(p2-q2)≥(1-q1)[(p1+p2)-(q1+q2)]≥0，所以不等式成立.

因此當(dāng)(q1,q2,q3)=(p1,p2,p3)時(shí)，E(X)得到最小，即完成任務(wù)概率大的人優(yōu)先派出，可減小所需派出人員數(shù)目的均值.

【評注】此題考查了相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算，離散型隨機(jī)變量及其分布列，均值等基本知識，同時(shí)考查了在現(xiàn)實(shí)生活中處理問題的能力以及抽象歸納能力、合情推理與演繹推理能力，還考查了數(shù)學(xué)化歸與轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想.