曹露乙

(廣東省佛山科學技術學院 廣東 佛山 528011)

1.引言

不管新高考如何改革，數學歸納法這一章節(jié)知識依然是教學重點。因為它不僅有助于數列、不等式等題型的解決，更能培養(yǎng)學生思維的嚴謹性。但目前對于數學歸納法教學，幾乎是“三段式”程序的機械傳授，學生也是生搬硬套的機械學習，或許題目可以做，但學生并不懂為何要這樣證明，更不懂它的中心思想是什么，實質是什么，最終也就沒實現有意義學習。

2.有意義學習理論

奧蘇貝爾提出的有意義學習是針對機械學習而言的，是指在學習知識過程中，將以符號表示的新知識與學習者認知結構中已經存在的相應概念進行實質性的和非人為的聯系。所謂實質性聯系是指符號為代表的新知概念與學習者現有認知結構中的表象、概念、命題建立內在聯系；非人為聯系指符號所代表的新知與認知結構中的表象建立邏輯連接。[1]奧蘇泊爾強調新舊知識的聯系與同化。

3.數學歸納法理論結構

數學歸納法是特殊的歸納法，因為其本質采用的是演繹證明。一般來說，所有與自然數有關的命題都可以用數學歸納法來證明。[2]如果要證明一個與正整數n有關的命題，記為P(n)，則數學歸納法可按以下步驟：

(1)證明當n取第一個值n0時命題成立；

(2)假設n=k(k≥0)時命題成立，能夠推導出n=k+1時命題也成立；

(3)綜上兩個步驟，就可斷定命題對從n0開始的所有正整數n都成立。

綜上可見，這是一個由“個別—特殊—一般”的推理形式，符合歸納推理的程序。但數學歸納法它的邏輯更嚴謹，最后一步還需要演繹推理加以證明，只能說歸納法作為數學歸納法的必要前提，歸納為應用數學歸納法去證明相應的結論打下了基礎，其本身還是嚴格的演繹推理過程。

4.當前數學歸納法教學中存在的問題

4.1 分不清歸納、歸納法、數學歸納法。許多老師在講數學歸納法時，都沒有提歸納、歸納法、數學歸納法三者間的關聯，以至于學生覺得是同一個概念。歸納是基于邏輯思維得出結論的過程。歸納法是人們在日常生活中使用的一種推理證明方法，其結構是似真的。數學歸納法是一種演繹方法，它的結論是真的。三者依次遞進，依托向上，走向更嚴謹、更科學的方向。

4.2 難以理解用有限步推理來代替無限步推理的思想。數學歸納法不是不完全歸納法，不能通過前幾項就歸納出結論。也不是完全歸納法，它不能把無窮多個數都列盡。但它卻使用了有限次的驗證(P(n0))和一次邏輯推理(P(k)成立→P(k+1)成立)，代替無限次的驗證，通過演繹的證明，推導出結果的正確性，從而實現了從無限到有限的轉化，這也是數學歸納法的實質。

4.3 學生不理解“假設結論成立，然后再去證明結論成立”?！皃(k+1)的證明過程建立在p(k)上，p(k)未被預先證明，并且在推理過程中也同樣不加證明，為何如此假設？”以上的困惑來源于教師在講授時沒分析“包含關系”。數學歸納法的目的不是證明p(k)和p(k+1)分別成立，而是它們之間是否存在包含關系，該包含的關系能夠推演出命題為真值，這與p(k)和p(k+1)是否成立沒有關系[3]。

4.4 遞推關系證明的數學困難。學生在學習“三段式”后，明白只要生搬硬套使p(k+1)成立，題目就迎刃而解了，從而造成許多的假證明，沒有理解真正的內在關系，最終造成機械學習。

5.有意義學習在數學歸納法中的應用

針對以上數學歸納法教學現存缺陷，筆者試圖通過以下教學案例，使學生在進行數學歸納法學習中實現有意義學習。

5.1 創(chuàng)設情境，引入新知。

情景一：之前學習過歸納推理時，遇到這樣一個問題：

問題一：大家是如何求的呢？

問題二：當時猜想正確嗎？n取無窮可以證明嗎？

這里的提問與學生認知發(fā)生沖突，學生會意識到正整數無窮，無法一一檢驗。

問題三：怎樣才能進行無限的驗證呢？亟待找到新的方法。

5.2 問題鏈驅動，激發(fā)思辨。

問題四：在之前學習中，有遇到過類似的問題嗎？

情景二：以“求f(x)=x2單調區(qū)間”為例。

①方法一：畫圖法。取值帶入，描點作圖，找出圖像上的單調增區(qū)間和單調減區(qū)間。對于無窮遠的實數，依然不知是否成立。

②方法二：求導法。對函數進行求導，當x>0時，f(x)′>0，是增區(qū)間，當x<0時，f(x)′<0，是減區(qū)間。

問題五：由這個例子，可以得到什么啟發(fā)?

雖然這里以教師講授為主，但卻是有意義的接受學習。通過引例，激發(fā)學生思考：能否通過驗證有限步驟的有效性來確保無限步驟的有效性？

5.3 知識遷移，形成概念。為解決“有限步確保無限步的成立”這個問題，接下來利用多媒體演示多米諾骨牌游戲視頻。

情境三：多米諾骨牌實驗

實驗一：老師推倒第1塊多米諾骨牌，然后第2塊，第3塊，第...塊都倒下，實驗成功。

問題六：在什么樣的條件下，出現了這樣的結果？

此時學生心里一定會有答案，即第一塊骨牌倒下，前一個給后一個推倒。根據最近發(fā)展區(qū)理論，讓學生自己總結概念，繼續(xù)類比實驗。

實驗二：教師沒有推倒第1塊骨牌，接著第2塊，第3塊，第...塊都沒有倒下，實驗失敗。

問題七：對比試驗一與二，分析實驗二失敗原因？

此時學生就會意識到，若想試驗成功，第一要義就是讓第一塊骨牌倒下。

實驗三：將第4塊骨牌和第5塊骨牌拉大間距，使間距大于骨牌橫截面的長，教師推倒第1塊骨牌，接著第2塊，第3塊，第4塊全部倒下，但第5塊并沒有倒下，隨后的也沒有倒下，實驗失敗。

問題八：對比試驗一與三，分析實驗三失敗原因？

根據以上分析，學生明白：實驗成功的第二要義就是相鄰的兩塊骨牌前一塊倒下一定導致后一塊倒下。

針對上述實驗，讓學生總結多米諾骨牌全部倒下的條件：

⑴第一塊要倒下；

⑵當前面一塊倒下時，后面一塊必須倒下；

當滿足這兩個條件后，多米諾骨牌全部都倒下。

根據多米諾骨牌的實驗使學生大概了解了數學歸納法的雛形，也認識到兩個步驟的必要性。但生活情境畢竟不能體現出數學的嚴謹性，還需要遷移到數學問題，對已有的知識進行同化。

回顧：回到情境一，解決數學問題

問題九：受多米諾骨牌的啟發(fā)，能否使情境一得到嚴謹的證明呢？

證明：①我們已經驗證了第一個等式成立。

5.4 反饋練習,鞏固提高。

及時的反饋不僅是對老師教學的鞭策，更能使學生及時了解自己，提高自我效能感，從而提高學生學習動機的認知動力。

6.有意義學習對數學歸納法的啟示

6.1 完善學生頭腦中已有的認知結構，將知識同化升華。數學歸納法在此之前已經或多或少的滲透過，根據高中生身心發(fā)展和記憶的特點，就能夠在頭腦里建立有關數學知識的認知結構，這就為有意義學習做了鋪墊。所以在教學開始前，設計對數列的講解，表明了不完全歸納法的缺陷，既注重了學生的“最近發(fā)展區(qū)”教學，又使學生產生認知沖突，隨后通過多米諾骨牌的游戲，使學生“跳一跳就摘到果子”，總結出概念。根據奧蘇貝爾認知同化理論，學生通過有意義學習，可以將原有的認知結構進行升華，形成新的認知結構。

6.2 數學課堂設計的要有層次性，溝通新舊知識的聯系。奧蘇貝爾提出的先行組織者策略旨在教師通過簡單易懂的講解，使學生利用舊知去同化新知。因此教師在設計導入環(huán)節(jié)時，可以從學生實際情況出發(fā)，盡可能提供起點低、易于學生理解的引導性材料。本文設計的數列作為先行組織者，使學生產生矛盾，接著使用二次函數和多米諾骨牌，引出數學歸納法的重難點，學生在有層次的課堂設計下，進行了有意義學習。

6.3 正確反饋學生學習成效，激發(fā)學習動機。奧蘇貝爾的有意義學習理論同樣強調了學生的學習動機。因此教師在數學歸納法概念教學完成后，典型練習，鞏固訓練必不可少。只有及時反饋學生的學習情況，了解自己的學習效果，才能激發(fā)學生進一步學習的主觀愿望，提高學生的學習動機。[4]