張道霞

[摘 ?要] 轉(zhuǎn)化既是重要的數(shù)學(xué)思想，也是學(xué)生必備的數(shù)學(xué)技能. 文章以類(lèi)比、數(shù)形等常見(jiàn)轉(zhuǎn)化策略為例，闡述了轉(zhuǎn)化在揭示問(wèn)題本質(zhì)、優(yōu)化解題策略、提升解題能力等方面的積極作用. 因此教學(xué)中教師要重視培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化意識(shí)和轉(zhuǎn)化能力，以此來(lái)提高其數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 轉(zhuǎn)化;數(shù)學(xué)思維;數(shù)學(xué)素養(yǎng)

數(shù)學(xué)教學(xué)常強(qiáng)調(diào)解題能力的提升，但解題能力實(shí)為一種轉(zhuǎn)化能力，即將陌生難懂轉(zhuǎn)化為熟悉易懂，將抽象轉(zhuǎn)化為直觀，將順向思維轉(zhuǎn)化為逆向思維等，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的恰當(dāng)轉(zhuǎn)化提升解題能力. 數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化的方法較多，筆者不一一列舉，本文選取了幾個(gè)常見(jiàn)的轉(zhuǎn)化方法進(jìn)行剖析，以期引起同行的重視.

[?]類(lèi)比轉(zhuǎn)化

類(lèi)比是數(shù)學(xué)教學(xué)的常用手段，通過(guò)對(duì)屬性相近問(wèn)題的類(lèi)比，不僅可以讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)間的內(nèi)在聯(lián)系，又可以發(fā)現(xiàn)其本質(zhì)的區(qū)別，從而讓新知與舊知在碰撞中不斷沉淀和升華.

案例1：探究幾何概型計(jì)算公式

如圖1，AB是一條長(zhǎng)3米的線段，線段AB上的5個(gè)等分點(diǎn)P，P，P，P，P將線段分成6等份，現(xiàn)從5點(diǎn)中任取一點(diǎn)，求其到頂點(diǎn)A和頂點(diǎn)B的距離不少于1米的概率.

為了激發(fā)學(xué)生探究的熱情，加快探究的速度，教師設(shè)計(jì)了如下問(wèn)題情境：

師：請(qǐng)說(shuō)出基本事件及其總數(shù)（問(wèn)題簡(jiǎn)單，很快有了答案）

生1：基本事件為取點(diǎn)，總數(shù)是5.

師：若記“選取的點(diǎn)到頂點(diǎn)A和頂點(diǎn)B的距離都不少于1米”為事件A，則滿足事件A的總數(shù)有多少個(gè)？

生2：有3個(gè)，即P，P，P.

師：誰(shuí)能求出P（A）呢？

生3：P（A）=.

師：通過(guò)上面的問(wèn)題，你能總結(jié)一下該概率模型有什么特點(diǎn)嗎？（同學(xué)們開(kāi)始討論并進(jìn)行總結(jié)和歸納）

生4：其基本事件是有限的，且每個(gè)事件發(fā)生的概率是相同的.

師：總結(jié)得很好，我們稱(chēng)這樣的概率模型為古典概型.

師：如圖2，若是在AB上任取一點(diǎn)，那么會(huì)發(fā)生什么變化呢？

通過(guò)與上面問(wèn)題相類(lèi)比，學(xué)生發(fā)現(xiàn)雖然基本事件都為取點(diǎn)，并且發(fā)生的可能性是相等的，但滿足該事件的點(diǎn)卻有無(wú)限多個(gè)，因此該概率模型不再是古典概型.

師：若記“選取的點(diǎn)到頂點(diǎn)A和頂點(diǎn)B的距離都不少于1米”為事件B，若繼續(xù)用古典概型可以得出答案嗎？

生5：P（B）=事件B的個(gè)數(shù)÷基本事件的總數(shù)，但兩者都是無(wú)數(shù)個(gè)，故無(wú)法算出.

師：很好！參考圖1，你知道任取的點(diǎn)對(duì)應(yīng)哪部分線段嗎？

生6：應(yīng)該是線段PP.

師：如圖3，將P和P轉(zhuǎn)化為C，D，則C，D為線段AB的三等分點(diǎn). 線段AB上的點(diǎn)為基本事件的總數(shù)，線段CD上的點(diǎn)為事件B的總數(shù). 根據(jù)這個(gè)條件，是否可以將“無(wú)限”轉(zhuǎn)化為“有限”呢？

生7：是否可以將個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為份數(shù)呢？

在猜想、嘗試、爭(zhēng)論下，學(xué)生將1份線段長(zhǎng)度上的無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)看為一個(gè)整體，進(jìn)而得出P（B）=. 通過(guò)類(lèi)比使學(xué)生的思路更清晰，對(duì)古典概型的成立條件有了更加深入的了解，同時(shí)對(duì)非古典概型的轉(zhuǎn)化也有效地提升了學(xué)生思維的變通性，因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中要讓學(xué)生多觀察、多聯(lián)想、多類(lèi)比，進(jìn)而讓學(xué)生獲得更好的數(shù)學(xué)體驗(yàn)，提升學(xué)習(xí)信心.

[?]數(shù)形轉(zhuǎn)化

數(shù)中有形可以使數(shù)更加直觀，形中有數(shù)會(huì)使形更加具體，兩者相互依存，協(xié)同發(fā)展. 教師在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、挖掘等手段讓數(shù)與形完美融合，即通過(guò)數(shù)形轉(zhuǎn)化將未知轉(zhuǎn)化為符合學(xué)生認(rèn)知的，與已有經(jīng)驗(yàn)匹配的數(shù)量關(guān)系，從而提升解題能力，活化思維.

案例2：已知a>0且a≠1，f（x）=x2-ax，當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)，均有f（x）<，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

題目給出后，大多數(shù)學(xué)生應(yīng)用了直接代入法，即將f（x）=x2-ax代入條件f（x）<，得x2-ax<，但代入后，如何解呢？學(xué)生感覺(jué)無(wú)從下手，看來(lái)若本題單純從數(shù)的角度出發(fā)難以解決，因此需要另辟蹊徑. 形往往是數(shù)的最直觀表達(dá)方式，通過(guò)數(shù)形轉(zhuǎn)化往往會(huì)收獲到意外的驚喜，故學(xué)生嘗試從形的角度去思考問(wèn)題，但不等式x2-ax<的左邊既有二次式又有指數(shù)式，這樣的圖形很難找出，思維再次受阻，需要進(jìn)行轉(zhuǎn)化，如何才能將其轉(zhuǎn)化為熟悉的模型呢？教師留時(shí)間給學(xué)生進(jìn)行分組探究，最終找到解決問(wèn)題的方案.

生1：可以將原不等式x2-ax<進(jìn)行變形，得x2-

師：非常好. 通過(guò)生1的轉(zhuǎn)化，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的，夠得著的模型了. 那么現(xiàn)在是否可以直接畫(huà)出圖形呢？

生2：根據(jù)不等式與函數(shù)的關(guān)系可知，在區(qū)間I上，若f（x）

師：很好，請(qǐng)大家畫(huà)出函數(shù)圖像. （教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分組繪制，接下來(lái)展示成果，如圖4）

圖像畫(huà)出后，學(xué)生根據(jù)圖像尋找解題信息，即若當(dāng)01時(shí)，f（-1）

，1∪（1，2）.

數(shù)形轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)的重要思想之一，本題從數(shù)出發(fā)，在求解碰壁后，用形的觀點(diǎn)來(lái)重新審視題目，通過(guò)對(duì)數(shù)的轉(zhuǎn)化和重組，將其轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的函數(shù)模型，進(jìn)而將抽象、復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為直觀、簡(jiǎn)單的幾何圖形，從而找到了解決問(wèn)題的方法. 在此過(guò)程中，充分地讓學(xué)生體驗(yàn)了數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢(shì)，讓學(xué)生在交流和溝通中學(xué)會(huì)了分析和探索，使學(xué)生真正地理解了轉(zhuǎn)化是為何而轉(zhuǎn).

[?]辯證轉(zhuǎn)化

已知與未知、部分與整體、動(dòng)與靜、具體與抽象等數(shù)學(xué)內(nèi)容往往既對(duì)立又統(tǒng)一，其有明顯的界線，但又有密不可分的聯(lián)系，只有將其辯證統(tǒng)一才能順利解決問(wèn)題，因此，當(dāng)正面思維受阻時(shí)不妨換個(gè)角度，大膽地嘗試，打破原有思維的束縛，逆向而行，從反面的角度思考和解決問(wèn)題，也許會(huì)出奇制勝.

案例3：已知3條拋物線的解析式如下：

①y=x2+2ax+a2-a+3;

②y=2x2-（4a-2）x+2a2-a;

③y=x2-（2a+1）x+a2+2.

若三條拋物線中至少有1條與x軸相交，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

若有1條與x軸相交則可以是①與x軸相交，或②，……①②③同時(shí)與x軸相交，所以共有7種可能，故若在此基礎(chǔ)上直接分類(lèi)討論，其分類(lèi)討論的過(guò)程將會(huì)特別復(fù)雜，很容易將思路帶入死胡同，顯然本題從正面入手很難求解. 教師通過(guò)引導(dǎo)，以期學(xué)生找到新的解決方案.

師：從“至少有1條”你可以解讀出什么信息呢？（反應(yīng)快的學(xué)生已經(jīng)有了答案）

生1：3條拋物線都與x軸不相交.

師：很好，轉(zhuǎn)化后7種方案變?yōu)?種，顯然這樣不僅可以提升解題效率，也可以提高解題正確率. 接下來(lái)如何求解呢？

生2：3條拋物線都與x軸不相交，則Δ<0，即：

（2a）2-4（a2-a+3）<0，

[-（4a-2）]2-4·2·（2a2-a）<0，

[-（2a+1）]2-4（a2+2）<0，解得

所以當(dāng)a≤或a≥時(shí)至少有1條與x軸相交.

本題的難點(diǎn)就是將“至少有1條與x軸相交”轉(zhuǎn)化為“3條都與x軸不相交”，通過(guò)對(duì)立的辯證分析，不僅減少了解題步驟，也降低了求解的難度，使求解過(guò)程獲得了柳暗花明的效果.

[?]表征轉(zhuǎn)化

在解答同一問(wèn)題時(shí)往往出現(xiàn)不同的解決方案，其主要原因就是同一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象往往存在著不同的數(shù)學(xué)表征，因?qū)W生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)不同，數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)不同，因此對(duì)信息的加工和反饋也往往不同，那么，為了找到最優(yōu)的解決策略，拓展學(xué)生的視野，教師在教學(xué)時(shí)要善于利用表征轉(zhuǎn)化引導(dǎo)學(xué)生多角度觀察、多角度探究，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為自己熟悉的、等價(jià)的問(wèn)題，以此既可以提升解題能力，也可以培養(yǎng)思維的靈活性.

案例4：不等式ax2+bx-10<0的解集為{x

-2

題目解析：本題若順勢(shì)求解，則需要討論含參數(shù)a，b的二次不等式ax2+bx-10<0的解集，顯然此種方法很煩瑣，不易于控制，因此需要變換角度，轉(zhuǎn)換思路. 若將ax2+bx-10<0轉(zhuǎn)換為ax2+bx-10=0，則根據(jù)解集可知，-2和5就是方程的解，故可以將其從方程的角度重新定位思考，從而尋找最佳解題方案.

解題過(guò)程：根據(jù)不等式ax2+bx-10<0的解集為{x

-2

4a-2b-10=0，即求得a=1，b=-3. 部分學(xué)生也嘗試用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解，兩種方法解題后所得答案相同.

數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)間往往存在著一定的邏輯性和關(guān)聯(lián)性，因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注問(wèn)題間的內(nèi)在聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生從整體和全局去看待問(wèn)題，從而實(shí)現(xiàn)知識(shí)間的合理轉(zhuǎn)化與遷移，提升解題能力. 如本題就利用了不等式和方程間的內(nèi)在聯(lián)系，由不等式的解集聯(lián)想到方程的根，即通過(guò)表征對(duì)已知進(jìn)行加工，通過(guò)視角的轉(zhuǎn)化解決難題，優(yōu)化解題策略.

總之，轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要特征，也是數(shù)學(xué)思想的重要組成部分，教師在教學(xué)中要注重引導(dǎo)和滲透，這樣既培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣，又發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，有利于提升學(xué)生的綜合能力.