董金華

[摘 ?要] 創(chuàng)新是時(shí)代發(fā)展的標(biāo)志，是時(shí)代進(jìn)步的必然趨勢(shì)，創(chuàng)新是人類共同關(guān)注的熱門話題，而創(chuàng)新能力的培養(yǎng)不是一蹴而就的，需要在教學(xué)過程中不斷滲透. 作為基礎(chǔ)學(xué)科之一的數(shù)學(xué)，自然擔(dān)負(fù)著培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的重任. 因此，在數(shù)學(xué)概念、定理、例題等教學(xué)過程中，要重視對(duì)學(xué)生已有知識(shí)的拓展，為學(xué)生的創(chuàng)新思維插上飛翔的翅膀.

[關(guān)鍵詞] 創(chuàng)新;教學(xué)過程;拓展

在教學(xué)中，若僅僅依賴于模仿和記憶，不僅效率低下，而且因?yàn)樾问絾我唬沟谜n堂枯燥乏味. 因此為促進(jìn)課堂內(nèi)容豐富化、教學(xué)生動(dòng)化，滿足學(xué)生多樣化學(xué)習(xí)的需求，教師需要改變傳統(tǒng)的以“教師講授為主”的授課模式，讓動(dòng)手實(shí)踐、自主探究和合作交流等多種教學(xué)模式走進(jìn)課堂，以使學(xué)生養(yǎng)成自主學(xué)習(xí)、獨(dú)立思考的好習(xí)慣. 自主學(xué)習(xí)后，學(xué)生會(huì)涌現(xiàn)出許多新想法、新思路，為創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)奠定了基礎(chǔ). 當(dāng)然，學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力的養(yǎng)成需要長(zhǎng)期的積累，需要教師的引導(dǎo)和激發(fā). 筆者結(jié)合教學(xué)案例，淺析在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的幾個(gè)有效途徑，以期共鑒.

[?]拓展例題，讓創(chuàng)新意識(shí)扎根

創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)不是靠幾道新穎別致的題目就可以養(yǎng)成，也不是“從無到有”才叫創(chuàng)新，其實(shí)創(chuàng)新源于學(xué)習(xí)中的日積月累，只有達(dá)到量的積累才會(huì)有質(zhì)的飛躍，因此，在教學(xué)中，要在扎實(shí)的基礎(chǔ)上逐漸培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí). 數(shù)學(xué)例題作為典型試題，是經(jīng)過專家的精挑細(xì)選，仔細(xì)推敲的，具有代表性和典型性，因此在培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維時(shí)，要重視例題的拓展. 教師常采用將例題進(jìn)行變式處理，通過多角度思考和多方位練習(xí)來培養(yǎng)學(xué)生思維的多樣性和創(chuàng)新性.

例1：已知A（-3，-4），B（6，3）到直線l：ax+y+1=0的距離相等，求a的值.

題目分析：要解此題，只要根據(jù)已知條件，分別求出A點(diǎn)到直線l和B點(diǎn)到直線l的距離，解方程即可求解. 由=，解得a=-，或a=-.

變式1：求過點(diǎn)P（0，-1），且與A（-3，-4），B（6，3）距離相等的直線m的方程.

變式2：設(shè)點(diǎn)A（2，1），B（-1，5）到直線m的距離均為，則這樣的直線m有多少條？若距離為2時(shí)又有幾條呢？

變式3：設(shè)點(diǎn)A（2，1）到直線l的距離等于1，點(diǎn)B（-1，5）到直線l的距離等于5，這樣的直線l有幾條呢？

通過學(xué)生熟悉的例題進(jìn)行變式拓展，讓學(xué)生意猶未盡，探究的熱情被激發(fā)了，對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解更加深入了，從而完善了學(xué)生的認(rèn)知.

[?]拓展已有認(rèn)知，讓創(chuàng)新意識(shí)抽枝、長(zhǎng)葉

當(dāng)學(xué)生利用已學(xué)知識(shí)解決最近發(fā)展區(qū)問題后，可以嘗試進(jìn)入下一個(gè)發(fā)展區(qū)，以拓展學(xué)生的思維，這也是有效培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)，讓創(chuàng)新意識(shí)抽枝、長(zhǎng)葉的途徑.

例2：如圖1，A，A，B，B分別為橢圓+=1（a>b>0）的四個(gè)頂點(diǎn). 將線段AA稱為橢圓的長(zhǎng)軸，BB稱為橢圓的短軸，是否合理呢？請(qǐng)說下你的理由.

分析：題目源于學(xué)生熟悉的知識(shí)，但要說明其合理性，學(xué)生有些束手無策.

師：因?yàn)锳，A，B，B分別為橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，即四點(diǎn)為橢圓與對(duì)稱軸的四個(gè)交點(diǎn)，也就是說線段AA和BB必然過橢圓的中心，若可以證明AA為過橢圓中心的弦的長(zhǎng)度的最大，BB為過橢圓中心的弦的長(zhǎng)度的最小，是不是就可以解釋了呢？（教師看學(xué)生有些無從下手，給出必要提示）

生1：可以從函數(shù)的觀點(diǎn)出發(fā)，設(shè)ST是過橢圓中心的一條弦，設(shè)點(diǎn)S（x，y），則T（-x，-y），ST=2=2=2（-a≤x≤a）.

顯然，當(dāng)x=0時(shí)，ST最短，最小值為2b;當(dāng)x=±a時(shí)，ST最長(zhǎng)，最大值為2a.

師：很好，這樣就很好地解釋了原命題的合理性.

師：過橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)A，A，B，B作x軸和y軸的平行線，從而形成矩形MNPQ. 該矩形MNPQ為橢圓的外切矩形，該矩形的面積為4ab. 現(xiàn)橢圓保持不變，改變橢圓外切矩形的位置（如圖2），其外切矩形的面積是否發(fā)生變化呢？

教師留給學(xué)生足夠的時(shí)間進(jìn)行思考，以期學(xué)生可以充分利用已有認(rèn)知進(jìn)行自主建構(gòu).

生2：MN和QP，NP和MQ為兩組平行直線，設(shè)直線MN的方程為y=kx+m，則直線QP的方程為y=kx-m;設(shè)直線MQ的方程為y=-x-n，則直線NP的方程為y= -x+n. 將直線MN的方程與橢圓方程聯(lián)立，并根據(jù)Δ=0，得m2=b2+a2k2. 將直線QP的方程與橢圓方程聯(lián)立，其結(jié)果相同. 同理，將直線NP和MQ的方程與橢圓方程聯(lián)立后，得n2=b2+. 由此可得橢圓的外切矩形的面積為：

S=·===.

令t=

k+，則t2≥4，S=4·=4=4，也即4ab≤S≤2（a2+b2）.

師：很好，解題思路清晰，運(yùn)算也很精彩. 根據(jù)生2的推理得出橢圓面積的取值范圍為[4ab，2（a2+b2）].

由對(duì)橢圓長(zhǎng)軸和短軸合理性的探究，變?yōu)殛P(guān)于橢圓外切矩形的問題，讓學(xué)生知曉橢圓的外切矩形的邊若與x軸和y軸分別平行，則其面積為4ab;若位置變化，則其外切矩形面積也隨之發(fā)生變化. 本題關(guān)于直線對(duì)稱性的利用、方程的代入和求解等知識(shí)都是已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，但通過拓展和利用，達(dá)到了錦上添花的效果，不僅對(duì)學(xué)生解題能力是一種鍛煉，對(duì)思維也是一種鍛煉.

[?]拓展數(shù)學(xué)模型，讓創(chuàng)新意識(shí)開花、結(jié)果

數(shù)學(xué)問題的研究往往需要很多思維活動(dòng)，例如：分析、推理、比較等，通過探究和挖掘問題的本質(zhì)從而找到解決問題的方法，化特殊為一般，化復(fù)雜為簡(jiǎn)單. 而在這一思維過程中，數(shù)學(xué)模型發(fā)揮著巨大的作用，因其可以將實(shí)際問題中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)提取出來，通過分析和整理，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)去解決實(shí)際的問題，成為連接現(xiàn)實(shí)世界和數(shù)學(xué)世界的紐帶，因此，要培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，離不開數(shù)學(xué)建模意識(shí)的培養(yǎng)和拓展.

例3：假設(shè)X，Y是兩個(gè)相互影響的種群，設(shè)X種群隨時(shí)間變化的數(shù)量為{a}，Y種群隨時(shí)間變化的數(shù)量為，其滿足關(guān)系式

師：對(duì)于變換次數(shù)少的情況，可以避免計(jì)算特征值和特征向量而直接計(jì)算，不失為一個(gè)好的辦法，生1面對(duì)復(fù)雜的計(jì)算也顯得游刃有余，精神可嘉. 但是若變換次數(shù)多，計(jì)算量會(huì)變大，該方法從效率上來講是不太完美的，優(yōu)勢(shì)也就減弱了.

若拋開本題的兩個(gè)種族相互制約的影響，單純從線性關(guān)系數(shù)列的角度去考慮，如何將矩陣變換轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)列的通項(xiàng)問題呢？為了讓學(xué)生進(jìn)一步完善該認(rèn)知，教師又給出了一道相似的問題.

師：設(shè)數(shù)列{a}和滿足a=1，b=0，且

問題給出后，學(xué)生經(jīng)過交流討論給出了兩個(gè)解題思路：①首先得出a=14a-a-6，接下來利用特征根的方法求數(shù)列{a}的通項(xiàng);②按照剛剛例題的思路進(jìn)行模仿，得出這個(gè)關(guān)系式

-4，但是進(jìn)行到這一步后就不知道該如何下手了，右側(cè)的列向量顯然已經(jīng)成了干擾. 教師沒有直接給出計(jì)算過程，而是提出問題“滿足條件a=pa+q（p≠0，q≠0）的這個(gè)數(shù)列通項(xiàng)，是如何得出的？”學(xué)生回憶之前的方法是將常數(shù)q分解到a和a中，將其轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列再求解.

在教師的提示下，學(xué)生借鑒上面的處理方法，驗(yàn)算后得出

由二項(xiàng)式展開得（2+）n+（2-）n=c·3k·2n-2k為整數(shù)，這是個(gè)完全平方數(shù).

在本題的證明中，既應(yīng)用了上面例題的解題思路，又引入了對(duì)a=pa+q（p≠0，q≠0）這個(gè)數(shù)列通項(xiàng)的思考，充分地利用了已有的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行拓展. 教學(xué)中，教師對(duì)學(xué)生的思路給予了積極肯定的評(píng)價(jià)，在思維受阻時(shí)用問題引導(dǎo)學(xué)生利用已有數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解題，這樣的積極評(píng)價(jià)和引導(dǎo)既有利于弘揚(yáng)學(xué)生張揚(yáng)的個(gè)性，又有利于學(xué)生創(chuàng)新思維的培養(yǎng).

總之，民族進(jìn)步和國(guó)家的發(fā)展都離不開創(chuàng)新，要?jiǎng)?chuàng)新就需要?jiǎng)?chuàng)新人才的培養(yǎng)，創(chuàng)新人才的培養(yǎng)需要滲透創(chuàng)新教育，而創(chuàng)新教育應(yīng)源于教學(xué)活動(dòng)，因此，在教學(xué)中，教師要不失時(shí)機(jī)地進(jìn)行引導(dǎo)，通過變式問題、模型拓展等教學(xué)手段發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí). 創(chuàng)新教育不是針對(duì)個(gè)別學(xué)優(yōu)生的，要重視全體的共同提高，因此，在教學(xué)中，教師要從本班的學(xué)情出發(fā)，采用分層次的問題，引導(dǎo)學(xué)生逐漸提升，做到“因材施教”.