侯衛(wèi)婷

[摘 ?要] 數(shù)學(xué)抽象，既是數(shù)學(xué)科學(xué)的一個(gè)特點(diǎn)，也是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一個(gè)重要組成部分.如何讓核心素養(yǎng)從理論走向?qū)嵺`，從頂層設(shè)計(jì)到基層落地，既需要學(xué)習(xí)也需要實(shí)踐，一線數(shù)學(xué)教師尤其需要在實(shí)踐中總結(jié)如何讓普適的理論變成可操作、可重復(fù)、可檢驗(yàn)的教學(xué)環(huán)節(jié).

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)抽象;函數(shù)的零點(diǎn);實(shí)踐研究

問(wèn)題源起，如何讓頂層設(shè)計(jì)扎實(shí)落地

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與數(shù)學(xué)教育的終極目標(biāo)有關(guān)，是對(duì)培養(yǎng)的描述：會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界. 數(shù)學(xué)的眼光是指數(shù)學(xué)抽象（符號(hào)意識(shí)、數(shù)感）、直觀想象（幾何直觀、空間想象能力），保證數(shù)學(xué)的一般性;數(shù)學(xué)的思維是指邏輯推理能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，保證數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性;數(shù)學(xué)的語(yǔ)言是指數(shù)學(xué)模型（模型思想）、數(shù)據(jù)分析（數(shù)據(jù)分析觀念），保證數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性.

數(shù)學(xué)抽象，包括數(shù)感和符號(hào)意識(shí)，是指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的思維過(guò)程，包括：從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，用數(shù)學(xué)符號(hào)或者數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)予以表征（概念內(nèi)涵）. 數(shù)學(xué)抽象的具體內(nèi)容為：獲得數(shù)學(xué)概念和規(guī)則;提出數(shù)學(xué)命題和模型;形成數(shù)學(xué)方法與思想;認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系.

作為新一期課改的關(guān)鍵詞，核心素養(yǎng)正以多種多樣的方式走進(jìn)一線教師的視野. 而作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一的數(shù)學(xué)抽象，對(duì)所有一線數(shù)學(xué)教師來(lái)說(shuō)，既熟悉又陌生.一方面，抽象作為數(shù)學(xué)學(xué)科的一大特點(diǎn)，是所有數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)過(guò)程中時(shí)時(shí)刻刻都要面對(duì)和經(jīng)歷的一種體驗(yàn)，它已經(jīng)內(nèi)化為一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“范式”，是數(shù)學(xué)共同體的一種共識(shí). 另一方面，數(shù)學(xué)抽象從一種思維方式到一個(gè)概念，如何解讀;從一種過(guò)程體驗(yàn)到一種能力獲得，如何培養(yǎng);從一個(gè)頂層設(shè)計(jì)到基層落地，如何執(zhí)行. 這些問(wèn)題由務(wù)虛到務(wù)實(shí)，從感性到理性，從理論到實(shí)踐，都對(duì)一線數(shù)學(xué)教師提出了挑戰(zhàn).

數(shù)學(xué)抽象能力，作為培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的總體指向之一，當(dāng)然不是一節(jié)課、一個(gè)章節(jié)的教學(xué)目標(biāo)，它的培養(yǎng)必然是循序漸進(jìn)、螺旋上升的. 但同時(shí)，這些大目標(biāo)又必須內(nèi)化到每一章知識(shí)、每一節(jié)內(nèi)容中去，只有以知識(shí)為載體，以課堂為抓手，在每一節(jié)課中都不斷啟發(fā)、不斷滲透、不斷訓(xùn)練，才能讓學(xué)生從朦朧的感覺(jué)轉(zhuǎn)向理性的思辨進(jìn)而走向自覺(jué)的批判. 以下，筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，談一談自己對(duì)這些問(wèn)題的思考.

課堂實(shí)錄

《蘇教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)（必修1）》“2.5.1 函數(shù)的零點(diǎn)”教學(xué)片段.

1. 函數(shù)零點(diǎn)的教學(xué)

師：能把這個(gè)判斷方法推廣到所有函數(shù)嗎？

生3：如果一個(gè)函數(shù)在起點(diǎn)處的函數(shù)值和終點(diǎn)處的函數(shù)值一正一負(fù)，這個(gè)函數(shù)就有零點(diǎn).

師：很好，但太口語(yǔ)化了，我們還需要更精準(zhǔn)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言. 主體結(jié)構(gòu)已經(jīng)搭建出來(lái)了，我們一起來(lái)進(jìn)一步地優(yōu)化它.

設(shè)計(jì)意圖：在問(wèn)題1中直接提出“零點(diǎn)存在”定理是困難的，根據(jù)認(rèn)知理論，學(xué)生在這里沒(méi)有發(fā)展新方法的需求. 這種需求只存在于從已知到未知的問(wèn)題之中，也就是問(wèn)題2. “零點(diǎn)存在”定理在高中教學(xué)中，只能是一種歸納的結(jié)果，原因有二：一是限于高中數(shù)學(xué)知識(shí)的廣度和深度，“零點(diǎn)存在”定理中所涉及的“連續(xù)”只能是一種感性直覺(jué);二是教學(xué)過(guò)程是從幾個(gè)特殊的例子中直接給出了一般性結(jié)論而沒(méi)有證明過(guò)程，就高中生的學(xué)習(xí)水平而言，這樣的抽象已經(jīng)足夠了.

一些思考，實(shí)踐優(yōu)位仍是不二法門

一線數(shù)學(xué)教師的教育理論必須緊跟實(shí)踐. 現(xiàn)在是信息大爆炸的時(shí)代，各種各樣的教育理論被大量引進(jìn)國(guó)內(nèi)，教師在最近十年里一定被培訓(xùn)過(guò)、學(xué)習(xí)過(guò)多種教育理論，而且常常是“你方唱罷我登場(chǎng)”，讓人目不暇接;課堂教學(xué)改革的呼聲也日漸高漲，諸如“在家看視頻，在課上答疑”“課上只允許講15分鐘”，等等. 這一切都讓教師無(wú)所適從，覺(jué)得自己不會(huì)教書了;又或者產(chǎn)生了一種撕裂感，“理論學(xué)習(xí)，教學(xué)改革”最終和常規(guī)課堂教學(xué)完全脫節(jié)了，一切又回到了起點(diǎn). 如何處理好理論與實(shí)踐的關(guān)系？尤其是新一期課改中關(guān)于核心素養(yǎng)這樣的頂層設(shè)計(jì)如何在教學(xué)實(shí)踐中落地？怎么把學(xué)生關(guān)鍵能力的培養(yǎng)轉(zhuǎn)化成基本的教學(xué)單元？怎么理解多次課程改革中前后相繼的關(guān)系和層層遞進(jìn)的培養(yǎng)目標(biāo)的宏旨？一線數(shù)學(xué)教師應(yīng)該把握好理論與實(shí)踐的關(guān)系，充分發(fā)揮自己的實(shí)踐優(yōu)勢(shì)，在實(shí)踐中感悟理論，檢驗(yàn)理論，最終為理論打上自己個(gè)性化理解和實(shí)踐的標(biāo)簽. 鄭毓信教授在其著作《科學(xué)哲學(xué)十講》中介紹了科學(xué)哲學(xué)發(fā)展的三階段，從一開始的元理論階段，到現(xiàn)代的范式階段，再到后現(xiàn)代的理論源于實(shí)踐. 如果類比這個(gè)過(guò)程，那么我們的科學(xué)教育顯然也走到了后現(xiàn)代. 理論應(yīng)該是實(shí)踐的服務(wù)者和總結(jié)者，教師應(yīng)該用實(shí)踐來(lái)檢驗(yàn)自己理論學(xué)習(xí)中的同與異.同時(shí)，教師的實(shí)踐也存在弱點(diǎn)，那就是從實(shí)踐中我們首先獲得的只能是經(jīng)驗(yàn)，而這些經(jīng)驗(yàn)往往是個(gè)性化的，甚至在這個(gè)班能用，另一個(gè)班就用不了;這節(jié)課（這個(gè)知識(shí)點(diǎn)）能用，下節(jié)課（另一個(gè)知識(shí)點(diǎn)）就不能用了. 這類經(jīng)驗(yàn)的重復(fù)積累不能讓我們得到一般化的教學(xué)能力，所以才要學(xué)習(xí)、借鑒理論，從理論中找到提升自身教學(xué)能力的法則和依據(jù).

以數(shù)學(xué)抽象為例，難道是從本次課改我們才開始教數(shù)學(xué)抽象的嗎？顯然不是. 那么此前教師對(duì)數(shù)學(xué)抽象是怎么理解的，又是如何進(jìn)行教學(xué)實(shí)踐的？對(duì)于頂層設(shè)計(jì)中的表述，教師理解嗎？認(rèn)同嗎？與自己的實(shí)踐相對(duì)照，哪些做對(duì)了，哪些做錯(cuò)了？哪些做多了，哪些做少了？哪些做好了，哪些做壞了？只有通過(guò)實(shí)踐，教師對(duì)于理論的認(rèn)識(shí)才能深入. 史寧中教授關(guān)于數(shù)學(xué)抽象有這樣的表述：“數(shù)學(xué)抽象有兩次抽象的過(guò)程，第一次是從感性具體到理性具體，第二次是從理性具體到理性抽象.”如何在實(shí)踐中讓學(xué)生有序地感受這兩次抽象的過(guò)程？以本課為例，為了抽象出函數(shù)零點(diǎn)的概念，首先要讓學(xué)生在具體的方程與函數(shù)之間產(chǎn)生對(duì)應(yīng)，所以使用學(xué)生最熟悉的二次方程與二次函數(shù)為例，讓學(xué)生解出方程的根，在圖上寫出函數(shù)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo). 這種對(duì)應(yīng)是顯然的，兩個(gè)具體的例子就能讓學(xué)生抽象出這么一個(gè)結(jié)論：所有二次方程的根（如果有的話）與二次函數(shù)在x軸上的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是對(duì)應(yīng)的. 這就是從感性具體到了理性具體. 既然二次方程與二次函數(shù)有這樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系，那么其他類型的方程與函數(shù)呢？于是再次通過(guò)具體的例子，學(xué)生又能進(jìn)行一次抽象：所有方程的根（如果有的話）與相應(yīng)的函數(shù)在x軸上的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是對(duì)應(yīng)的. 這就是從理性具體到了理性抽象.思維導(dǎo)圖如圖1、圖2所示.

在方程中，這個(gè)數(shù)（函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）叫作方程的根;在函數(shù)中，這個(gè)數(shù)（函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）叫作函數(shù)的零點(diǎn). （新定義）這就是筆者對(duì)兩次抽象的理解，是否正確，效果如何，這些都需要在實(shí)踐中進(jìn)一步地去確認(rèn). 實(shí)踐給了我們解讀理論的絕佳素材.

弗賴登塔爾認(rèn)為，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有這么一個(gè)漸進(jìn)的過(guò)程：常識(shí)—數(shù)學(xué)知識(shí)—新常識(shí)—新數(shù)學(xué)知識(shí)……遷移到數(shù)學(xué)抽象，就與史寧中教授所說(shuō)的兩次抽象有了相似之處. 他們都表達(dá)了對(duì)數(shù)學(xué)抽象方式的“抽象”——拾級(jí)而上.基于這樣的理解，我們就要去收集大量的教學(xué)資源，對(duì)資源分“級(jí)”，對(duì)每一級(jí)資源基于抽象的定位進(jìn)行教學(xué)方式的設(shè)計(jì)、實(shí)踐和反思. 簡(jiǎn)而言之，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象是一個(gè)系統(tǒng)的建構(gòu)過(guò)程，既要把它放在數(shù)學(xué)素養(yǎng)這個(gè)大系統(tǒng)中，也要凸顯數(shù)學(xué)抽象這個(gè)子系統(tǒng)的特點(diǎn).